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Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington.

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Apresentação em tema: "Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas Lineares Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada

2 Sites de Buscas 2

3 Objetivo dos sites de buscas: atribuir a uma página uma nota com relação a uma dada consulta, bem como retornar os resultados com as páginas com notas maiores em primeiro lugar. 3

4 Classificação Baseada em Conteúdos Frequência de palavras Quantidade de vezes que uma determinada palavra aparece em uma página Web. Aquelas com frequência maior são consideradas mais relevantes.. 4

5 Classificação Baseada em Conteúdos. 5

6 Posição no documento classificar páginas com notas maiores se os termos aparecerem mais próximo do topo da página. 6

7 Classificação Baseada em Links Externos Links externos levar em consideração as informações que outras páginas fornecem a respeito de uma determinada página (quem criou o link e o que disseram a respeito dela); páginas com conteúdos duvidosos provavelmente não serão mencionadas (não terão links externos).

8 Classificação Baseada em Links Externos Contagem Simples de Links usar como critério de classificação o número total de links que apontam para uma página em questão. problema: alguém pode criar diversos sites apontando para uma página que queira promover. o usuário pode estar interessado em resultados que tenham atraído a atenção de páginas populares.

9 Classificação Baseada em Links Externos O Filipe é um excelente jogador de futebol! Esse tem futuro !

10 Classificação Baseada em Links Externos O Renan também tem futuro. O Israel, o Sandro e Wellington então, entende Jô? Alex, o que você colocou na caneca?

11 Classificação Baseada em Links Externos Google - Pagerank desenvolvido por Larry Page e Sergey Brin;Larry Page Sergey Brin é um método que classificada documentos da web por sua importânca ou relevância através de um número; essa importância dá pelo número de votos (links) que uma página recebe; também analisa a página que envia o voto.

12 Classificação Baseada em Links Externos Google – Pagerank fórmula: PR(P) = pagerank da página P P i = página P i que tem link para a página P c(P i ) = número de links da página P i p = fator de amortecimento (damping)

13 Classificação Baseada em Links Externos Exemplo: p=0.85 Sistema com três incógnitas: PR(A), PR(B) e PR(C). SoluçãoSolução: PR(A) = 1,16 PR(B) = 0,64 PR(C) = 1,19

14 Classificação Baseada em Links Externos O sistema pode ter milhões ou bilhões de variáveis; Métodos para resolução de sistemas lineares: Métodos diretos: Método de Eliminação de Gauss e Fatoração LU Métodos iterativos

15 Sistemas Lineares Considere o sistema linear Onde: a ij são os coeficientes do sistema x j são as incógnitas b j são as constantes

16 Sistemas Lineares Podemos escrever o sistema na forma matricial (Ax=b)

17 Método de Eliminação de Gauss Teorema: Seja Ax=b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações descritas abaixo, obtemos um novo sistema Ax=b equivalente ao sistema Ax=b. a) trocar duas linhas;

18 Método de Eliminação de Gauss b) multiplicar uma equação por uma constante não nula; c) adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação; +

19 Método de Eliminação de Gauss Considere o sistema

20 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=0 onde:

21 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=1 Linha 2 Linha 1 L 1 1 = L 0 1 +

22 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=1 Linha 3 +

23 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=1 Linha 4 +

24 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=2 Linha 3 Linha 1 L 2 1 = L 1 1 Linha 2 L 2 2 = L 1 2 +

25 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=2 Linha 4 +

26 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=3 Linha 4 Linha 1 L 3 1 = L 2 1 Linha 2 L 3 2 = L 2 2 Linha 3 L 3 3 = L 2 3 +

27 Método de Eliminação de Gauss Assim, o sistema original é equivalente

28 Método de Eliminação de Gauss Exercício 1: Resolva o sistema linear utilizando o método de Eliminação de Gauss.

29 Método de Eliminação de Gauss Etapa k=0Etapa k=

30 Método de Eliminação de Gauss Solução: Etapa k=3 Etapa k=

31 Método de Eliminação de Gauss Algoritmo Qual o papel de cada etapa k no método de Eliminação de Gauss? Quantas etapas são necessárias no método de Eliminação de Gauss num sistema nxn? Laço de Repetição: k variando de 1 até n-1

32 Método de Eliminação de Gauss Algoritmo Em cada etapa k, as linhas abaixo da diagonal principal são atualizadas. Numa etapa k, quais linhas serão atualizadas? Laço de repetição: i variando de (k+1) até n. Para cada linha i, deve-se calcular o multiplicador m para que todos os elementos j sejam atualizados, coluna por coluna. Para a linha i, quais colunas serão atualizadas? Laço de repetição: j variando de k até n.

33 Método de Eliminação de Gauss Algoritmo Para k=1 até n-1 Para i=k+1 até n m=a ik /a kk Para j=k até n a ij = a ij - m* a kj Fim b i = b i – m* b k Fim Resumo: k = quantidade de etapas (de 1 até n-1) i = linhas alteradas na etapa k (de k+1 até n) Para cada linha deve ser calculado o multplicador m j = elementos que serão alterados na linha i na etapa k (de k até n) Atualizar o coeficiente a ij Atualizar a constante b i

34 Método de Eliminação de Gauss Vamos agora desenvolver o algoritmo para resolver o sistema triangular superior:

35 Método de Eliminação de Gauss

36

37 Assim temos:

38 Sistema Triangula Superior De modo geral, num sistema nxn o valor de x i é determinado por:

39 Sistema Triangular Superior Algoritmo x n = b n /a nn Para i = n-1 até 1 soma = 0 Para j = i+1 até n soma = soma + a ij * x j Fim x i = (b i -soma)/a ii Fim

40 Método de Eliminação de Gauss Estratégia de Pivotamento O algoritmo para o método de Eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores em cada iteração. O termo a kk é denominado pivô. O que acontece se o pivô for nulo?

41 Método de Eliminação de Gauss Pivotamento Parcial no início de cada etapa k, escolher como pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes a ik, i=k,...,n; trocar as linhas k e i se for necessário.


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