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Superfícies Mínimas Obtidas Através da Transformada de Ribaucour Disney Douglas de Lima Oliveira Junho - 2003.

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1 Superfícies Mínimas Obtidas Através da Transformada de Ribaucour Disney Douglas de Lima Oliveira Junho

2 Conteúdo Um pouco de geometria diferencial Um pouco de geometria diferencial Superfícies Mínimas Superfícies Mínimas Histórico Histórico Transformada de Ribaucour Transformada de Ribaucour Superfícies associadas a Superfície de Enneper Superfícies associadas a Superfície de Enneper Superfícies Mínimas associadas ao Catenóide Superfícies Mínimas associadas ao Catenóide

3 Curvas Uma curva regular é um conjunto uni- dimensional C que é suave em todos os seus pontos. Uma curva regular é um conjunto uni- dimensional C que é suave em todos os seus pontos. Uma conseqüência da suavidade é que a reta (secante) que passa por dois pontos p 1, p 2 C se aproxima de uma posição limite quando p 1 e p 2 tendem para um ponto p 2 C. Uma conseqüência da suavidade é que a reta (secante) que passa por dois pontos p 1, p 2 C se aproxima de uma posição limite quando p 1 e p 2 tendem para um ponto p 2 C. Tal posição limite é chamada a (reta) tangente a C no ponto p. Tal posição limite é chamada a (reta) tangente a C no ponto p.

4 Figura 1

5 Aplicação tangente Seja C uma curva em um plano P. Escolhamos um sentido de percurso para C e um sentido de rotação em P; diremos então que C e P estão orientados. Seja C uma curva em um plano P. Escolhamos um sentido de percurso para C e um sentido de rotação em P; diremos então que C e P estão orientados. Associemos a cada p C um vetor tangente unitário e 1 (p) na orientação de C. Associemos a cada p C um vetor tangente unitário e 1 (p) na orientação de C. Seja S 1 um círculo de raio um e centro 0 em P. A aplicação tangente T:C S 1 é definida associando a cada p C a extremidade de e 1 (p), quando a sua origem é transladada para 0 Seja S 1 um círculo de raio um e centro 0 em P. A aplicação tangente T:C S 1 é definida associando a cada p C a extremidade de e 1 (p), quando a sua origem é transladada para 0

6 Figura 2

7 Curvatura Sejam p e q dois pontos próximos de C e seja s o comprimento de arco em C de p a q, onde s é positivo se p se desloca para q na orientação da curva. Sejam p e q dois pontos próximos de C e seja s o comprimento de arco em C de p a q, onde s é positivo se p se desloca para q na orientação da curva. Indiquemos por o ângulo de T(p) a T(q), na orientação do plano P. Indiquemos por o ângulo de T(p) a T(q), na orientação do plano P. Como conseqüência da suavidade de C, existe o limite Como conseqüência da suavidade de C, existe o limite e seu valor é a curvatura de C em p.

8 Figura 3

9 Sinal da curvatura

10 Superfície Uma superfície (regular) é um conjunto bi- dimensional que é suave em todos os seus pontos. Em particular dados três pontos p 1,p 2,p 3 S, o plano determinado por estes pontos tem uma posição limite quando p 1, p 2 e p 3 tendem para um ponto p S. Uma superfície (regular) é um conjunto bi- dimensional que é suave em todos os seus pontos. Em particular dados três pontos p 1,p 2,p 3 S, o plano determinado por estes pontos tem uma posição limite quando p 1, p 2 e p 3 tendem para um ponto p S. Este plano é chamado o plano tangente T p S a S em p. Este plano é chamado o plano tangente T p S a S em p. Pela própria construção, T p S contém as tangentes às curvas em S passando por p. Pela própria construção, T p S contém as tangentes às curvas em S passando por p.

11 Figura 5

12 Superfície fechada Uma superfície que é limitada (isto é, está contida no interior de uma bola de raio suficientemente grande) e não tem fronteira é chamada uma superfície fechada. Uma superfície que é limitada (isto é, está contida no interior de uma bola de raio suficientemente grande) e não tem fronteira é chamada uma superfície fechada. Esferas e elipsóides são superfícies fechadas. Cilindros e parabolóides infinitos não são fechadas por não serem limitadas. Por outro lado, uma parte do cilindro e uma parte do parabolóide não são fechadas por possuírem pontos na fronteira. Esferas e elipsóides são superfícies fechadas. Cilindros e parabolóides infinitos não são fechadas por não serem limitadas. Por outro lado, uma parte do cilindro e uma parte do parabolóide não são fechadas por possuírem pontos na fronteira.

13 Figura 6

14 Parametrização Para uma curva C, digamos, em R 3, uma parametrização significa escolher coordenadas cartesianas x,y,z em R 3, e que as coordenadas x(t), y(t), z(t) de um ponto da curva são dadas como funções do parâmetro t que percorrem um intervalo I da reta. Para uma curva C, digamos, em R 3, uma parametrização significa escolher coordenadas cartesianas x,y,z em R 3, e que as coordenadas x(t), y(t), z(t) de um ponto da curva são dadas como funções do parâmetro t que percorrem um intervalo I da reta. Para uma superfície S R 3, isto significa que as coordenadas x(u,v), y(u,v), z(u,v) de um ponto da superfície são funções de dois parâmetros u,v; neste caso, o par (u,v) percorre o domínio aberto U de um plano no qual introduzimos u e v como coordenadas Para uma superfície S R 3, isto significa que as coordenadas x(u,v), y(u,v), z(u,v) de um ponto da superfície são funções de dois parâmetros u,v; neste caso, o par (u,v) percorre o domínio aberto U de um plano no qual introduzimos u e v como coordenadas Assim uma curva pode ser representada por uma aplicação : I R 3, e uma superfície como uma aplicação X : U R 3 Assim uma curva pode ser representada por uma aplicação : I R 3, e uma superfície como uma aplicação X : U R 3

15 Condição de regularidade A condição de regularidade de uma curva se exprime dizendo que o vetor tangente (t) = (x(t), y(t), z(t)) 0 t I. A condição de regularidade de uma curva se exprime dizendo que o vetor tangente (t) = (x(t), y(t), z(t)) 0 t I. Para superfície pode ser expressa fixando (u 0, v 0 ) U e requerendo que os vetores tangentes às curvas u X(u, v 0 ), v X(u 0, v ), isto é, que os vetores Para superfície pode ser expressa fixando (u 0, v 0 ) U e requerendo que os vetores tangentes às curvas u X(u, v 0 ), v X(u 0, v ), isto é, que os vetores sejam L.I. (u 0, v 0 ) U sejam L.I. (u 0, v 0 ) U

16 Curvatura normal Sejam p S, onde S R 3 é uma superfície orientada, e N(p) o vetor normal a S em p, na orientação de S e seja v uma vetor unitário do plano tangente T p S. Sejam p S, onde S R 3 é uma superfície orientada, e N(p) o vetor normal a S em p, na orientação de S e seja v uma vetor unitário do plano tangente T p S. O Plano P v que contém v e N, corta a superfície S segundo uma curva plana C v, chamada secção normal de S em p segundo v. O Plano P v que contém v e N, corta a superfície S segundo uma curva plana C v, chamada secção normal de S em p segundo v. A curvatura normal k v de S em p é definida como o valor absoluto da curvatura de C v com um sinal positivo, se N está voltado para a concavidade de C v, e negativa caso contrário. A curvatura normal k v de S em p é definida como o valor absoluto da curvatura de C v com um sinal positivo, se N está voltado para a concavidade de C v, e negativa caso contrário. Temos que k v = k -v Temos que k v = k -v

17 Curvatura (fig)

18 Curvaturas principais Quando P v gira em torno de N, v descreve um círculo de raio um em T p S. Quando P v gira em torno de N, v descreve um círculo de raio um em T p S. É possível mostrar que k v depende continuamente de v S 1 e, portanto, atinge um máximo k 1 e um mínimo k 2 em S 1 É possível mostrar que k v depende continuamente de v S 1 e, portanto, atinge um máximo k 1 e um mínimo k 2 em S 1 As curvaturas k 1 e k 2 são chamadas curvaturas principais As curvaturas k 1 e k 2 são chamadas curvaturas principais As direções correspondentes ( os vetores unitários correspondentes) são chamadas direções principais. As direções correspondentes ( os vetores unitários correspondentes) são chamadas direções principais.

19 KH Euler provou que, conhecidas as curvaturas k 1 e k 2 e o ângulo que faz v, digamos, com a direção correspondente a k 1, k v é dada por Euler provou que, conhecidas as curvaturas k 1 e k 2 e o ângulo que faz v, digamos, com a direção correspondente a k 1, k v é dada por k v = k 1 cos 2 + k 2 sen 2 k v = k 1 cos 2 + k 2 sen 2 Portanto k 1 e k 2 determinam todas as curvaturas normais em p. Portanto k 1 e k 2 determinam todas as curvaturas normais em p. Chamamos curvatura gaussiana de S em p o produto K = k 1 k 2 Chamamos curvatura gaussiana de S em p o produto K = k 1 k 2 Chamamos curvatura média a média aritmética Chamamos curvatura média a média aritmética

20 Aplicação normal de Gauss Seja S uma superfície orientada e S 2 (1) uma esfera de raio um e centro 0. A aplicação normal (ou aplicação esférica ou aplicação de Gauss) N : S S 2 (1) é definida fazendo corresponder a cada p S a extremidade do vetor unitário normal N(p) da orientação de S, quando a origem de N(p) é transferida para o centro 0 de S 2 (1) Seja S uma superfície orientada e S 2 (1) uma esfera de raio um e centro 0. A aplicação normal (ou aplicação esférica ou aplicação de Gauss) N : S S 2 (1) é definida fazendo corresponder a cada p S a extremidade do vetor unitário normal N(p) da orientação de S, quando a origem de N(p) é transferida para o centro 0 de S 2 (1)

21 Figura 8

22 Figura 9

23 Fig 10

24 Área Quando nas vizinhanças de um ponto p S, a aplicação normal é biunívoca, podemos tomar um domínio limitado D S em torno de p, e medir a área de sua imagem N(D). Quando nas vizinhanças de um ponto p S, a aplicação normal é biunívoca, podemos tomar um domínio limitado D S em torno de p, e medir a área de sua imagem N(D). Dizemos que a área de N(D) é positiva se a fronteira de N(D) é percorrido no mesmo sentido que a fronteira de D Dizemos que a área de N(D) é positiva se a fronteira de N(D) é percorrido no mesmo sentido que a fronteira de D Indiquemos por A a área de D e por à a área de N(D) Indiquemos por A a área de D e por à a área de N(D)

25 K(p) Seja p S. Se não existe uma região D em torno de p na qual N é biunívoca, fazemos K(P) = 0. Caso contrário, define-se K(P) como o limite Seja p S. Se não existe uma região D em torno de p na qual N é biunívoca, fazemos K(P) = 0. Caso contrário, define-se K(P) como o limite Obsevamos que esta definição é o análogo para superfícies da definição de curvatura para curvas planas (no caso de curvas planas, poderíamos ter tomado a aplicação normal sem alterar o resultado) e áreas no lugar de comprimentos. Obsevamos que esta definição é o análogo para superfícies da definição de curvatura para curvas planas (no caso de curvas planas, poderíamos ter tomado a aplicação normal sem alterar o resultado) e áreas no lugar de comprimentos.

26 Figura 10

27 Superfície Mínima Definimos superfície mínima como as superfícies com curvatura média nula. Definimos superfície mínima como as superfícies com curvatura média nula. Fisicamente isto significa que para um determinado limite uma superfície mínima não pode ser modificada sem aumentam a área da superfície Fisicamente isto significa que para um determinado limite uma superfície mínima não pode ser modificada sem aumentam a área da superfície As superfícies mínimas satisfazem à equação As superfícies mínimas satisfazem à equação

28 (cont.) Encontrar uma superfície de área mínima com borda específica e constante é um problema de cálculo das variações, conhecido como Problema de Plateau Encontrar uma superfície de área mínima com borda específica e constante é um problema de cálculo das variações, conhecido como Problema de Plateau As superfícies mínimas também podem ser caracterizadas como superfícies de área mínima para uma dada borda fixa. As superfícies mínimas também podem ser caracterizadas como superfícies de área mínima para uma dada borda fixa. Observe que uma esfera é uma superfície mínima no sentido de reduzir a área da superfície em relação ao volume, o que não a qualifica como uma superfície mínima no sentido de nossa definição. Observe que uma esfera é uma superfície mínima no sentido de reduzir a área da superfície em relação ao volume, o que não a qualifica como uma superfície mínima no sentido de nossa definição.

29 Histórico A história das superfícies mínimas inicia com Lagrange A história das superfícies mínimas inicia com Lagrange Em sua famosa autobiografia publicada em 1762, Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo das variações. Em sua famosa autobiografia publicada em 1762, Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo das variações. Euler (1740) por meio da rotação da catenária em relação ao eixo central obteve uma superfície de revolução que ele chamou de allyside, posteriormente renomeada de catenóide por Plateau. Euler (1740) por meio da rotação da catenária em relação ao eixo central obteve uma superfície de revolução que ele chamou de allyside, posteriormente renomeada de catenóide por Plateau. Costuma-se dizer que o catenóide é a única superfície mínima de revolução. Costuma-se dizer que o catenóide é a única superfície mínima de revolução.

30 Catenóide

31 Meusnier Meusnier (1776) obteve uma outra solução da eq. (0), introduzindo a condição adicional que as curvas de nível f(x, y) = cosnt. fossem retas. Meusnier (1776) obteve uma outra solução da eq. (0), introduzindo a condição adicional que as curvas de nível f(x, y) = cosnt. fossem retas. A solução neste caso, é um helicóide A solução neste caso, é um helicóide O helicóide pode ser descrito da seguinte forma: O helicóide pode ser descrito da seguinte forma:

32 Descrição Considere uma hélice que se enrola em um cilindro circular reto. Considere uma hélice que se enrola em um cilindro circular reto. Por cada ponto da hélice, passe uma reta que encontra perpendicularmente o eixo do cilindro Por cada ponto da hélice, passe uma reta que encontra perpendicularmente o eixo do cilindro Quando o ponto descreve a hélice, esta reta descreve uma superfície chamada helicóide. Quando o ponto descreve a hélice, esta reta descreve uma superfície chamada helicóide.

33 Cilindro

34 Helicóide O helicóide possui a propriedade provada por Cartan em 1842, que ela é (exceto o plano) a única superfície mínima regrada (isto é, por cada ponto da superfície passa uma reta contida na superfície).

35 Sherk Sherk (1835) obteve novas superfícies, o que lhe valeu um prêmio da Academia de Ciências de Paris. Sherk (1835) obteve novas superfícies, o que lhe valeu um prêmio da Academia de Ciências de Paris. Ele introduziu na eq. (0) a condição que as variáveis podiam ser separadas. Ele introduziu na eq. (0) a condição que as variáveis podiam ser separadas. Mais precisamente ele supôs que f(x,y) = g(x) + h(y). Mais precisamente ele supôs que f(x,y) = g(x) + h(y).

36 Superfície de Sherk

37 Enneper Enneper em 1864 descreveu uma superfície como imagem de uma aplicação X : R 2 R 3 do plano R 2, com coordenadas (u,v), no espaço R 3, com coordenadas x,y,z dadas por : Enneper em 1864 descreveu uma superfície como imagem de uma aplicação X : R 2 R 3 do plano R 2, com coordenadas (u,v), no espaço R 3, com coordenadas x,y,z dadas por : Observamos que a superfície de Enneper só envolve somas e produtos. Neste sentido, ela é mais simples que as superfícies mínimas apresentadas até agora, cujas representações são dadas por funções transcendentes (isto é, que envolvem de maneira essencial a função exponencial). Observamos que a superfície de Enneper só envolve somas e produtos. Neste sentido, ela é mais simples que as superfícies mínimas apresentadas até agora, cujas representações são dadas por funções transcendentes (isto é, que envolvem de maneira essencial a função exponencial).

38 Superfície de Enneper

39 Plateau Plateau (1873) realizou experiências com membranas e bolhas de sabão, convencendo os matemáticos da existência de uma solução para o problema de determinar a superfície de área mínima sujeita a determinado bordo fixo. Plateau (1873) realizou experiências com membranas e bolhas de sabão, convencendo os matemáticos da existência de uma solução para o problema de determinar a superfície de área mínima sujeita a determinado bordo fixo.

40 Película de sabão É possível mostrar que essa superfície de equilíbrio tem curvatura média H =0. Isso decorre de uma fórmula, devida a Laplace, que diz que a pressão em cada ponto exercida pela superfície sobre o meio ambiente é dirigida na direção da normal à superfície e proporcional a H É possível mostrar que essa superfície de equilíbrio tem curvatura média H =0. Isso decorre de uma fórmula, devida a Laplace, que diz que a pressão em cada ponto exercida pela superfície sobre o meio ambiente é dirigida na direção da normal à superfície e proporcional a H Como a superfície está em equilíbrio, tal pressão, donde H, se anula em todos os pontos Como a superfície está em equilíbrio, tal pressão, donde H, se anula em todos os pontos

41 Película de sabão (fig)

42 Resolução do problema Weierstrass (1861) criou uma representação (parametrização de Weierstrass) que permite construir uma superfície em termo de duas funções Weierstrass (1861) criou uma representação (parametrização de Weierstrass) que permite construir uma superfície em termo de duas funções Douglas (1931) e Radó (1930), solucionaram o problema de Plateau tendo a brilhante idéia de, ao invés de minimizar a área, minimizar a função de energia de Dirichlet. Douglas (1931) e Radó (1930), solucionaram o problema de Plateau tendo a brilhante idéia de, ao invés de minimizar a área, minimizar a função de energia de Dirichlet. Courant (1950) Reformulou a teoria de Douglas e Radó. Courant (1950) Reformulou a teoria de Douglas e Radó. Wilson (1970) e Gulliver (1973) mostraram que a solução mínima não possuía singularidades. Wilson (1970) e Gulliver (1973) mostraram que a solução mínima não possuía singularidades.

43 Superfície de Costa Em 1982, em sua Tese de Doutorado no IMPA, Celso José da Costa obteve as equações do terceiro exemplo longamente procurado. Em 1982, em sua Tese de Doutorado no IMPA, Celso José da Costa obteve as equações do terceiro exemplo longamente procurado. Trabalhando com a representação de Weierstrass para funções definidas em um toro, Costa obteve uma superfície mínima completa conformemente equivalente ao toro menos três pontos. Dois dos fins da superfície são do tipo catenóide ( no sentido em que se afastam para o infinito) e o terceiro fim se aproxima assimtoticamente de um plano que está a uma distância finita (tais fins são chamados planares) Trabalhando com a representação de Weierstrass para funções definidas em um toro, Costa obteve uma superfície mínima completa conformemente equivalente ao toro menos três pontos. Dois dos fins da superfície são do tipo catenóide ( no sentido em que se afastam para o infinito) e o terceiro fim se aproxima assimtoticamente de um plano que está a uma distância finita (tais fins são chamados planares)

44 Transformada de Ribaucour Seja M uma superfície orientavel do R 3, sem pontos umbílicos, cuja função de Gauss denotamos por N. Dizemos que é associado a M pela transformada de Ribaucour, se e somente se, existe uma função diferenciável h definida em M e um difeomorfismo tal que Seja M uma superfície orientavel do R 3, sem pontos umbílicos, cuja função de Gauss denotamos por N. Dizemos que é associado a M pela transformada de Ribaucour, se e somente se, existe uma função diferenciável h definida em M e um difeomorfismo tal quea) onde é a função de Gauss de onde é a função de Gauss de b) O subconjunto p + h(p)N(p), p M, é uma subvariedade de dimensão 2 c) preserva linhas de curvatura

45 Teorema 1 Seja M uma superfície do R 3, sem pontos umbílicos, cujo Gauss é N. Sejam e i, as direções principais ortonormais, i as correspondentes curvaturas principais. A superfície é associada a M através da transformada de Riboucour, se e somente se M e são associadas a esfera congruente, cuja função raio h :M R satisfaz 1 + h i 0 e Seja M uma superfície do R 3, sem pontos umbílicos, cujo Gauss é N. Sejam e i, as direções principais ortonormais, i as correspondentes curvaturas principais. A superfície é associada a M através da transformada de Riboucour, se e somente se M e são associadas a esfera congruente, cuja função raio h :M R satisfaz 1 + h i 0 e onde onde e ij são as formas de conexão de e i. e ij são as formas de conexão de e i.

46 Proposição 1 Suponha que h é uma função não nula que satisfaz a equação (1), então Suponha que h é uma função não nula que satisfaz a equação (1), então é uma 1-forma fechada e existe uma função não nula, definida em um domínio simplesmente conexo, tal que é uma 1-forma fechada e existe uma função não nula, definida em um domínio simplesmente conexo, tal que Para cada função não nula h, a qual é uma solução de (1), consideramos como acima e definimos Para cada função não nula h, a qual é uma solução de (1), consideramos como acima e definimos Com esta notação Com esta notação Além disso, a equação (1) é equivalente ao sistema linear dado pelo seguinte resultado Além disso, a equação (1) é equivalente ao sistema linear dado pelo seguinte resultado

47 Proposição 2 A função h é uma solução de (1) definida sobre um domínio simplesmente conexo, se e somente se, h = / W onde e W são funções que satisfazem A função h é uma solução de (1) definida sobre um domínio simplesmente conexo, se e somente se, h = / W onde e W são funções que satisfazem

48 Teorema 2 Seja M e superfícies orientáveis do R 3, sem pontos parabólicos. Assumindo que é associado a M pela transformada de Ribaucour, tal que as linhas normais intersectam a uma função distância h. Se h = / W não é constante ao longo das linhas de curvatura e as funções i, e W satisfazem a relação Seja M e superfícies orientáveis do R 3, sem pontos parabólicos. Assumindo que é associado a M pela transformada de Ribaucour, tal que as linhas normais intersectam a uma função distância h. Se h = / W não é constante ao longo das linhas de curvatura e as funções i, e W satisfazem a relação W 2 = 2c W, W 2 = 2c W, onde c é uma constante real, então é uma superfície mínima, se e somente se M é mínima. onde c é uma constante real, então é uma superfície mínima, se e somente se M é mínima.

49 Proposição 3 Considere a superfície de Enneper parametrizada por Considere a superfície de Enneper parametrizada por A superfície parametrizada é uma superfície mínima localmente associada a X pela transformada de Ribaucour como no Teorema 2 se, e somente se, por um movimento rígido de R 3,

50 Superfície mínima associada a superfície de Enneper com c = 1

51 Superfícies associadas ao catenóide

52 Referências Carmo, M. do, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976 Carmo, M. do, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976 Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial, Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial, Unb 1990 Unb 1990 Gray, A., Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRC Press 2000 Gray, A., Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRC Press 2000 Nitsche, J., Lectures on minimal Surfaces, Cabridge University Press 1989 Nitsche, J., Lectures on minimal Surfaces, Cabridge University Press 1989 Corro, A, Tenenblat, K., Minimal Surfaces Obtained by Ribaucour Trasnformations, Geometric Dedicata, 2003 Corro, A, Tenenblat, K., Minimal Surfaces Obtained by Ribaucour Trasnformations, Geometric Dedicata, 2003


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