DEA-Data Envelopment Analysis

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1 DEA-Data Envelopment Analysis
Marco Aurélio Reis dos Santos

2 Sumário Introdução Exemplo de aplicação Análise Envoltória de Dados
Medidas de Desempenho Unidades Tomadoras de Decisão (DMU) Modelo CCR Análise de Sensibilidade Modelo BCC Referências

3 Introdução Objetivo Motivação
Desenvolver modelos matemáticos para tratar de problemas de avaliação de desempenho em organizações produtivas. Motivação Obtenção de uma medida de eficiência a partir de dados reais (sem a utilização de fórmulas teóricas) Otimização da utilização dos recursos Apontar o quanto os níveis de insumos ou produtos podem ser melhorados Apontar quais unidades produtivas são benchmarks (referências) Servir de subsídio para tomada de decisões multicritério por meio da avaliação de desempenho das alternativas de ação.

4 Introdução Origem Surgiu a partir do problema abordado na tese de Ph.D. de Edward Rhodes sob a supervisão de William W. Cooper em 1978 Avaliação do desempenho de Escolas Públicas

5 Unidades diferentes de medidas
Desafio Encontrado Escores aritméticos Melhoria da auto-estima Habilidade psicomotora Nº professores-hora Tempo gasto pela mãe em leituras com o filho Como comparar Eficiências Escolas Públicas Baseados Medidas distintas Unidades diferentes de medidas

6 Sem converter os KPI em uma única unidade de medida
Solução do Desafio Charnes, Cooper e Rhodes propuseram um modelo baseado em Programação Linear Modelo CCR Sem converter os KPI em uma única unidade de medida Eficiência

7 Mais vantagens do Modelo Proposto
Permitiu indicar o quanto cada indicador deveria ser melhorado para que as escolas públicas consideradas ineficientes tornassem eficientes. Permitiu indicar qual combinação de escolas eficientes serviriam como benchmarks para as escolas consideradas ineficientes. Suporte para concepção de ações estratégicas em escolas ineficientes

8 Exemplo de Aplicação Considera-se uma empresa que para conseguir atender a crescente demanda de um determinado produto dependa do fornecimento de peças de nove fornecedores e que estes noves são os únicos fornecedores para este tipo de peça no mercado. Zé da Logística, respeitado gerente de compras desta empresa, visando obter as melhores condições operacionais para o fornecimento destas peças resolve propor a diretoria da empresa que ela ofereça uma assessoria para alguns destes fornecedores. Mas antes disso, ele resolve avaliar as eficiências relativas de cada um destes noves fornecedores por meio do método DEA.

9 Exemplo de Aplicação Zé da Logística considerou os seguintes indicadores de desempenho: Taxa de atendimento do pedido[%] Capacidade de produção do fornecedor [peças] Custo Total=Custo do pedido+Custo de Transporte[$] Lead-time [dias] Obs.:Notem que os indicadores possuem unidades diferentes de medidas

10 Exemplo de Aplicação

11 Exemplo de Aplicação

12 Exemplo de Aplicação

13 Exemplo de Aplicação

14 Exemplo de Aplicação

15 Exemplo de Aplicação

16 Exemplo de Aplicação

17 Exemplo de Aplicação

18 Exemplo de Aplicação Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças Capacidade fornecedor 2 Capacidade fornecedor 3

19 Exemplo de Aplicação Após a apresentação dos resultados do estudo para diretoria da empresa, os membros da diretoria ficaram intricados como Zé da Logística obteve tais resultados. Evidentemente ele não revelou os detalhes do método utilizado! Obs.: Os detalhes de como Zé da Logística aplicou o método serão revelados ao longo do curso!

20 Análise Envoltória de Dados (DEA)
O que é ? É uma técnica que pode ser usada para avaliar o desempenho de sistemas através do conceito de eficiência relativa Aplicações mais comuns: Bancos Hospitais Universidades Indústrias Restaurantes

21 Medidas de desempenho Eficácia: Produtividade:
Considera apenas o que é produzido, sem levar em conta o nível em que os recursos são usados para a produção. Produtividade: É a razão entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir (unidades de medida diferentes para cada caso)

22 Medidas de desempenho Eficiência Técnica:
É um conceito relativo. Compara o que foi produzido, dado os recursos disponíveis, com o que poderia ter sido (melhor) produzido com os mesmos recursos ou que poderia ter sido economizado em recursos para produzir os mesmos produtos.

23 Medidas de desempenho Eficiência Técnica: Segundo Pareto-Koopmans (1951), um vetor input-output é tecnicamente eficiente se e somente se: Nenhum dos outpts seja aumentado sem que nenhum outro output seja reduzido ou algum input necessite ser aumentado. Nenhum dos inputs seja reduzido sem que algum outro input seja aumentado ou algum output seja reduzido. Folgas

24 Medidas de desempenho Eficiência Técnica: Benchmark

25 Medidas de desempenho Análise de eficiência e produtividade:
Na Figura, mostra-se a diferença entre os conceitos de produtividade e eficiência. As unidades B e C são eficientes (uma vez que estão localizadas na fronteira de eficiência). Apenas a unidade C é a mais produtiva.

26 Medidas de desempenho Existem três formas de uma unidade não eficiente tornar-se eficiente. 1. Fixar Produtos (Y) Reduzir os Recursos (X) 2. Fixar Recursos (X) Aumentar os Produtos (Y) 3. Reduzir Recursos (X) Aumentar os Produtos (Y)

27 Unidades Tomadoras de Decisão (Decision Making Units)
Transformação pelas DMU Insumos (inputs) Produtos (outputs) Exemplo: Agências Bancárias, Hospitais, Fornecedores, Escolas etc.

28 Definição das DMU São unidades produtivas e, para poderem
ser analisadas, devem utilizar os mesmos insumos e produzir os mesmos produtos; O número de DMU consideradas deve ser no mínimo duas vezes maior que a soma dos números de produtos e insumos considerados.

29 Características do DEA
Não necessita que os insumos e produtos sejam transformados em uma única unidade de medida (Exemplo: $, %, Quantidade); Possibilita a identificação do nível de ineficiência de cada DMU; Permite a identificação de DMU eficientes que são referências (benchmarks) para aquelas que foram detectadas como ineficientes.

30 Vantagens do DEA Lida com modelos de múltiplas entradas & saídas com variadas unidades de medidas (Exemplo: $, %, Quantidade); As DMU são comparadas diretamente com uma outra DMU ou com uma combinação delas; Considera a possibilidade de que os outliers não representam apenas desvios em relação ao comportamento médio, mas possam ser possíveis benchmarks

31 Exemplo do Zé da Logística
Considerando apenas dois indicadores DMU - Fornecedores Transformação pelas DMU Custo (inputs) Capacidade (outputs)

32 Exemplo do Zé da Logística
DMU Custo Capacidade Produtiva(Peças) Produtividade (Peças/R$) Eficiência Relativa 1 R$ 80,00 3500 43,75 55,68% 2 R$ 60,00 4000 66,67 84,85% 3 R$ 45,00 3000 4 R$ 50,00 2000 40,00 50,91% 5 3300 66,00 84,00% 6 R$ 75,00 4200 56,00 71,27% 7 R$ 70,00 5500 78,57 100,00% 8 R$ 95,00 31,58 40,19% 9 R$ 83,00 4400 53,01 67,47% Máxima Produtividade

33 Exemplo do Zé da Logística
7 4 3 5 2 1 8 9 6 Benchmark para 1 Orientado a input

34 u é a importância relativa do output ; v é a importância relativa
Modelo CCR Output virtual Input virtual Em que: u é a importância relativa do output ; v é a importância relativa do input . Obs.:Modelo com múltiplas soluções ótimas

35 Modelo CCR Se normalizarmos 80v=1 temos v=0,0125; desta forma o modelo se torna linear e passa a ter uma única solução:

36 Modelo CCR Logo: Mínimo Valor

37 referência para o fornecedor 1
Modelo CCR Alvo:Orientado a input: Alvos DMU Virtual Benchmark Importância do fornecedor 7 como referência para o fornecedor 1

38 Modelo CCR Logo pode-se definir eficiência também como sendo: Em que:
ui é a importância relativa do output i; yi é o valor do output i; vj é a importância relativa do input j; xj é o valor do input j; Ow é o Output virtual; Iw é o Input virtual.

39 Medida Radial de Eficiência Técnica
Coeficiente de utilização de recursos (Debreu, 1951): È uma medida radial que busca a máxima redução equiproporcional de todos os inputs ou a máxima expansão equiproporcional de todos os outputs. O uso do coeficiente independe da unidade de medida.

40 Medida Radial de Eficiência Técnica
Orientado a input: Em que: h0 é a medida radial de eficiência técnica; Y é o output vitual; X é o input vitual. Alvo ou Benchmark

41 Medida Radial de Eficiência Técnica
Orientado a output: Em que: h0 é a medida radial de eficiência técnica; Y é o output vitual; X é o input vitual. Alvo ou Benchmark

42 Modelo CCR(orientado a input)
Generalizando o modelo dos multiplicadores tem-se: Onde: Eficiência=h0

43 Modelo CCR(orientado a input)
Normalizando-se tem-se: Folgas Dual

44 Modelo CCR(orientado a output)
Onde: Eficiência=1/h0

45 Modelo CCR(orientado a output)
Normalizando-se tem-se: Dual

46 Fronteira de Eficiência
Modelo CCR Conjunto de Possibilidades de Produção Y Fronteira de Eficiência P(x,y) X

47 Modelo CCR Propriedades de P:
As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P Se uma atividade (x,y) pertence a P, então a atividade (kx,ky) pertence a P para k Propriedade dos retornos constante de escala. Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a P LOGO:

48 Modelo CCR (orientado input)
Modelo Envelope Em que: h0 é a medida radial de eficiência técnica; yi é o valor do output i; xj é o valor do input j; lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0 Primal

49 Modelo CCR (orientado output)
Modelo Envelope Em que: h0 é a medida radial de eficiência técnica; yi é o valor do output i; xj é o valor do input j; lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0 Primal

50 Modelo CCR (orientado input)
Modelo Envelope Alvos DMU Virtual Benchmark Primal

51 Modelo CCR Teorema das Folgas Complementares Logo: ou Primal

52 Modelo CCR (orientado input)
Análise de Sensibilidade Pareto Primal

53 Modelo CCR Uma DMU é Pareto-Koopmans Eficiente se e somente se:
Segunda parte Primal

54 Exemplo do Zé da Logística
Considerando apenas dois indicadores DMU - Fornecedores Capacidade (outputs) Transformação pelas DMU Custo (inputs) Taxa de atendimento (outputs)

55 Exemplo do Zé da Logística

56 Exemplo do Zé da Logística

57 Exemplo do Zé da Logística
d09+d9A , ,1975 Eficiência9 = = = 0,6167

58 Exemplo do Zé da Logística

59 Exemplo do Zé da Logística
Benchmarks

60 Exemplo do Zé da Logística
Taxa de Atendimento

61 Fronteira de Eficiência
Modelo BCC Conjunto de Possibilidades de Produção Y Fronteira de Eficiência P(x,y) X

62 Modelo BCC Propriedades de P:
As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P Se uma atividade (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P e lj (j=1,2,...,n) são escalares não negativos tais que , então pertence a P, propriedade dos retornos de variáveis de escala ou da convexidade Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a P LOGO:

63 Modelo BCC (orientado input)
Modelo Envelope Em que: h0 é a medida radial de eficiência técnica; yi é o valor do output i; xj é o valor do input j; lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0

64 Modelo BCC(orientado a input)
Modelo dos multiplicadores: Em que: uj é a importância relativa do output i; u* é o fator de escala; yjk é o valor do output i para DMU k; vi é a importância relativa do input; xjk é o valor do input j para DMU k.

65 Modelo BCC (orientado output)
Modelo Envelope Em que: h0 é a medida radial de eficiência técnica; yi é o valor do output i; xj é o valor do input j; lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0

66 Modelo BCC(orientado a output)
Modelo dos Multiplicadores: Em que: uj é a importância relativa do output i; v* é o fator de escala; yjk é o valor do output i para DMU k; vi é a importância relativa do input; xjk é o valor do input j para DMU k.

67 Modelo BCC (orientado input)
Interpretação Gráfica

68 Modelo BCC (orientado input)
Interpretação Gráfica Invariante a translações de outputs output’ input

69 Modelo BCC (orientado input)
Interpretação Gráfica

70 Modelo BCC (orientado input)
Interpretação Gráfica Invariante a translações de inputs output input’

71 Exemplo do Zé da Logística
Considerando apenas dois indicadores DMU - Fornecedores Capacidade (output) Custo (inputs) Transformação pelas DMU Taxa de atendimento (output) Lead time (inputs)

72 Exemplo de Aplicação

73 Exemplo de Aplicação

74 Exemplo de Aplicação

75 Exemplo de Aplicação

76 Exemplo de Aplicação Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças Capacidade fornecedor 2 Capacidade fornecedor 3

77 Modelo Aditivo Modelo Envelope Em que:
h0 é a medida radial de eficiência técnica; yi é o valor do output i; xj é o valor do input j; lk é a importância da DMU k como referência para DMU 0

78 Modelo Aditivo Modelo dos Multiplicadores Em que:
uj é a importância relativa do output i; v* é o fator de escala; yjk é o valor do output i para DMU k; vi é a importância relativa do input; xjk é o valor do input j para DMU k.

79 Medida de Eficiência baseado em Folgas
SBM (Slack Based Measure of Efficiency)

80 Fronteira Invertida Fronteira Invertida:
A fronteira invertida é composta pelas DMU com as piores práticas gerenciais É uma avaliação pessimista troca os inputs pelos outputs nos modelos originais

81 Fronteira Invertida

82 Fronteira Composta

83 Restrições aos pesos Restrições Diretas aos Pesos

84 Restrições aos pesos Regiões de Segurança Tipo I: Método Cone Ratio :

85 Restrições aos pesos Regiões de Segurança Tipo II

86 Restrições aos pesos Restrições aos Inputs e Outputs Virtuais

87 Restrições aos pesos Restrições aos Inputs e Outputs Virtuais
Condições de viabilidade:

88 João Carlos Correia Baptista Soares de Mello
Avaliação da Eficiência dos Aeroportos Brasileiros com o Uso da Análise Envoltória de Dados (DEA) Trabalho Apresentado no XLIII Simpósio Brasileiro de PESQUISA OPERACIONAL (2011); Níssia Carvalho Rosa Bergiante Universidade Federal Fluminense – Departamento de Ciência e Tecnologia Rua Recife s/n, Jardim Bela Vista, Rio das Ostras, RJ, Brazil João Carlos Correia Baptista Soares de Mello Universidade Federal Fluminense – Departamento de Engenharia de Produção Rua Passo da Patria, 156 – São Domingos, Niterói, RJ, Brazil Respício Antônio do Espírito Santo Jr. Universidade Federal do Rio de Janeiro – Departamento de Engenharia de Transportes Av. Athos da Silveira Ramos, Centro de Tecnologia - Cidade Universitária - Rio de Janeiro – RJ, CEP Brasil

89 Avaliação da Eficiência dos Aeroportos Brasileiros com o Uso da Análise Envoltória de Dados (DEA)
Desde o anúncio da Copa do mundo de 2014 e das Olimpíadas de 2016, o Brasil encontra-se em foco no cenário mundial. Níssia et al. propõe (2011) uma avaliação de investimentos dos Aeroportos Brasileiros. O estudo aponta a urgente necessidade de revisão de estratégias e políticas de Investimento. Demanda (2014) (outputs) Transformação pelas DMU Investimento (inputs) Demanda (2020) (outputs)

90 Avaliação da Eficiência dos Aeroportos Brasileiros com o Uso da Análise Envoltória de Dados (DEA)

91 Referências Charnes, A., Cooper, W., W. e Rhodes, E. (1978), Measuring the Efficiency of Making Units. European Journal of Operational Research, Cooper,W. W., Seiford, L. M. e Tone, K.(1951) Data Envelopment Analysis: a comprehensive text with models, applications, references and DEA – solver software, Kluwer Academic Publisher. Debreu, G., The Coefficient of Resource Utilization. Econometrica, vol. 19, nº 3, , 1951. Mello, J. C. C. B. S., Meza, L. A., Gomes, E. G. e Neto, L. B.(2005), Curso de Análise de Envoltória de Dados. In: Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 37. Gramado. Anais: Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, Thanassoulis, E. (2003), Introduction to the theory and application of data envelopment analysis: a foundation text with integrated software (2), Kluwer Academic Publisher, 1-312, 2003.