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TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 4.1. Amostragem Periódica 4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo T: Período de amostragem [s] Frequência.

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1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Amostragem Periódica 4. Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo T: Período de amostragem [s] Frequência de amostragem [Hz] Frequência de amostragem [rad/s] C/D x c (t)x[n] T Conversor Contínuo/Discreto

2 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 2 A implementação de um conversor C/D é um conversor A/D Ideal. -Precisão infinita – Infinitos números de bits -Quantização em passos lineares -Sem efeitos secundários devido ao circuito de sample&hold -Sem limitações quanto à taxa de amostragem A operação de amostragem ideal é irreversível: Pois vários sinais contínuos podem dar origem a um mesmo sinal amostrado.

3 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3 Representação matemática da conversão C/D: Figura pag 142 x[n] Sinal Discreto x s (t) sinal contínuo

4 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Representação da Amostragem no Domínio Frequência Trem de impulsos: Sinal amostrado por trem de impulsos

5 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 5 Propriedades da Transformada de Fourier contínua: Transformada do trem de impulsos é também um trem de impulsos: Onde: T2T-T-2T t[s]... s(t) S( ) [rad/s] s 2 s - s -2 s

6 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 6 Teorema da convolução: assim: Logo: Onde:

7 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7 p/ sinal x c (t) limitado em frequência: Nota-se que se: Não haverá superposição de espectros. Distorção por superposição de espectros, ou Recobrimento, ou Efeito Aliasing. Caso:

8 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 8 Reconstrução perfeita por filtragem passa-baixas ideal:

9 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 9 Ex.: Amostragem de um sinal cossenoidal:

10 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 10 Teorema de Nyquist(1928) ou Teorema de Shannon(1949) ou Teorema da Amostragem Seja um sinal x c (t) limitado em frequência tal que X c ( )=0 para | |> N. Então x c (t) é unicamente determinado pelas suas amostras x c (nT), n=0, 1, 2,… se:

11 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 11 Relação entre X( ) e X s ( ). Sabemos que: Aplicando a transformada de Fourier: Como: E sabendo a DTFT: Logo:

12 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 12 Já vimos que: Logo: Pode-se pensar como uma normalização da frequência Onde = s é normalizada em =2 Este efeito é diretamente relacionado com a normalização que ocorre no tempo, onde o período T é normalizado em 1 amostra.

13 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 13 Exemplo: Amostrado a f s =6kHz. T=1/6000 s =12000 Frequência analógica 0 =4000 rad/s ou f 0 =2kHz amostrada a f s =6kHz, é equivalente a frequência digital:

14 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Reconstrução de sinais limitados em frequência A partir de x[n] podemos obter x s (t), sinal trem de impulsos contínuo ponderados por x[n], como: Se aplicarmos este sinal à entrada de um filtro contínuo PB ideal H r ( ), com resposta ao impulso h r (t), então teremos:

15 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 15 Filtro de Reconstrução H r ( ): Largura de Banda c entre N e ( s - N ) Ganho T Se o sinal foi amostrado sem aliasing, p/ qualquer sinal de entrada basta: Resposta ao impulso h r (t) será: Notar que:

16 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 16

17 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 17 Logo podemos calcular: Assim: se x[n]=x c (nT) x r (mT)=x c (mT) m inteiro Pontos de amostragem são perfeitamente reconstruídos. Vendo o gráfico de:

18 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 18 Fig. Pag 152 Logo o filtro passa-baixas ideal, interpola os impulsos do sinal x s (t) para obter o sinal contínuo x r (t). Vimos que x r (mT)=x c (mT), se não houver aliasing: x r (t)=x c (t) como se pode notar pela análise espectral. Vendo o gráfico de:

19 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 19 Podemos esquematizar um conversor Discreto/Contínuo ideal como: Fig. Pag 152 A partir de: Obtemos: Logo:

20 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Processamento Discreto de Sinais Contínuos C/DD/C Sistema Discreto TT x c (t)y r (t) x[n]y[n] P/ sinal x c (t) limitado em frequência: Não necessariamente iguais

21 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sistemas Discretos LTI. Temos a reposta em frequência efetiva do sistema total dado por: Condições: Sistema discreto LTI Sinal de entrada limitado em frequência Respeitado o teorema da amostragem

22 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Invariância ao Impulso h c (t) H c ( ) x c (t) y c (t) C/DD/C h[n] H( ) TT x c (t)y r (t)= y c (t) x[n]y[n] Sistema invariante ao impulso:

23 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Mudança da taxa de amostragem usando Processamento Discreto Modos: reconstruir x c (t) e re-amostrar a T segundos Problemas: A/D, D/A, filtros Processar x[n] diretamente Muitas vezes precisamos: CD/MD: 44.1kHz DAT: 48kHz Broadcast: 32kHz Tendo:

24 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro Compressor da taxa de amostragem: M x[n]x d [n]=x[nM] Período de amostragem T Período de amostragem T=MT A redução da taxa de amostragem: downsampling

25 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 25 Análise do espectro

26 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 26 Análise do espectro Com aliasing e filtro

27 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 27 Decimador: sistema que reduz a taxa de amostragem por um fator M Decimação: Processo de filtragem PB de freq. corte /M seguida de um compressor Espectro se expande do fator M.

28 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro Expansor : Aumento da taxa de amostragem: upsampling L x[n]x e [n] Período de amostragem T Período de amostragem T=T/L

29 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 29 Análise do espectro

30 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 30 Interpolador: sistema que aumenta a taxa de amostragem por um fator L Interpolação: Processo de expansão seguido de filtragem PB de freq. corte /L Espectro se replica nas frequências 2 /L. Filtrando-se PB apenas o espectro centrado em 2 k equivale a interpolar as amostras faltantes. Interpolação linear, spline, etc... Aproximações p/ PB ideal.

31 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Mudando a taxa de amostragem por um fator Não-inteiro.

32 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Processamento Multi taxa. Os interessados devem dar uma lida e tentar entender. Aplicação: Codificação em Sub-bandas (MP3) análise por banco de filtros, etc. Base p/ transformada wavelet.

33 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Processamento Digital de Sinais Analógicos Até então, analisou-se sistemas ideais: Sinais limitados em freq. Conversores C/D,D/C Filtragens PB ideal Sistema Real:

34 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Filtro Anti-Aliasing Geralmente procura-se usar a menor taxa de amostragem possível de modo a minimizar os requerimentos do processador digital. Logo: Sinal de entrada precisa ser limitado em frequência. Ex.: Voz inteligível : até 4kHz porém possui freq. até da ordem de 20kHz. Ex.2: Sinal limitado + Ruído de alta frequência. P/ evitar aliasing é necessário limitar a largura de banda do sinal de entrada.

35 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 35 Filtro antialiasing ideal: PB ideal de freq. f s /2 Filtros analógicos reais: Corte não é abrupto, precisam começar a atenuar freqüências menores que f s /2. Filtros com cortes abruptos são mais complexos >n. de componentes, > custo. Geralmente possuem fase extremamente não-linear. (Chebychev e Cauer), principalmente próximo à freq. corte na banda de passagem. Possíveis soluções: 1) Usar filtro ativo simples seguido de um filtro a capacitor chaveado de alta ordem.

36 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 36 2)Amostragem em oversampling seguida de filtragem digital

37 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 37 Sinal limitado + Ruído em alta freq. Filtro analógico simples Amostragem em T/M Filtragem digital Decimação M

38 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Conversão Analógico-Digital C/D : Precisão infinita A/D: dispositivo que converte tensão ou corrente em um código binário. Conversão tem precisão finita Não é instantânea: Necessita sample&hold

39 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 39 Quantização:

40 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 40

41 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Análise do Erro de Quantização Passo de quantização: Fundo de Escala: X m Número de Bits: B+1 Erro de quantização: Segue que: Erro de quantização pensado como ruído aditivo:

42 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 42 P/ se levantar um modelo estatístico do erro Assume-se que: A sequência de erro e[n] é uma amostragem de um processo randômico estacionário (suas característica estatísticas não se alteram como tempo). O erro e[n] é descorrelacionado com o sinal x[n] As variáveis randômicas do processo de erro são descorrelacionadas (o erro é um processo ruído branco) A função distribuição de probabilidade do erro é uniforme sobre o range do erro de quantização Em geral são boas aproximações para sinais x[n] naturais (voz, música, vídeo, etc...), e pequenos passos de quantização.

43 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 43 Ex.: 3 bits (B=2) e[n] /p 3 bits e[n] /p 8 bits

44 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 44 P/ pequeno podemos modelar a probabilidade do Sinal de erro como: Variância: P/ B+1 bits e fundo de escala X m temos:

45 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 45 Relação Sinal-Ruído: Logo: a SNR aumenta 6.02 dB p/ cada bit x é o desvio padrão ou o valor RMS de x[n] Assim esta equação não é válida se o sinal x[n] saturar o quantizador, isto é |x[n]|>X m. Se a amplitude do sinal x[n] tem uma distribuição gaussiana Apenas % das amostras terão amplitudes > 4 x. Fazendo: x =X m /4 consegue-se SNR 6.B-1.25 Quantos bits são necessários p/ 90dB? Qualidade de CD.

46 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Conversão D/A

47 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 47 Análise em frequência, fazendo a DTFT de x 0 (t): Logo:

48 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 48 Onde: P/ reconstruir o sinal precisamos filtrar PB o sinal X 0 ( ) com um filtro PB ideal compensado:

49 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 49 Voltando a analisar um sistema onde: -Saída do filtro de antialiasing e o de reconstrução são limitada em f s /2 -Sistema é LTI Então podemos escrever que a saída será: Onde: Considerando o ruído de quantização gerado pelo A/D É um ruído branco de variância demonstra-se: Espectro de potência do Ruído.

50 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 50 Assim, a resposta em frequência efetiva do sistema é: Obs.2: O sistema H( ) pode inserir ruído de quantização também. Ruído interno ao sistema digital. Obs.: As compensações podem ser embutidas no processamento digital do sinal, H( ).


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