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3(a), pag. 112: a n b 2n. 3(b) pag. 112: wcw R Só dicas... 3(c): a n b m c n+m –basta empilhar as e bs e desempilhá-los com os cs 3(d): a n b n+m c m.

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1 3(a), pag. 112: a n b 2n

2 3(b) pag. 112: wcw R

3 Só dicas... 3(c): a n b m c n+m –basta empilhar as e bs e desempilhá-los com os cs 3(d): a n b n+m c m –basta empilhar as, desempilhá-los com alguns dos bs até que todos os as sejam desempilhados passando a empilhar os bs restantes que serão desempilhados com os cs

4 3(e): a n b m, nm3n S aSb | aSbb | aSbbb | S aSA 1 | aSA 2 | aSA 3 | A 1 b A 2 bA 1 A 3 bB B bA 1

5 Será mesmo que L(G)=L? Provemos então que L(G)={a n b m, nm3n} L(G) L i.e. Se S n+1 a n b m, então nm3n. Por indução em n. (base) n=0 S n=1 S 2 ab, S 2 abb, S 2 abbb (passo) (Se S n+1 a n b m, então nm3n) implica ( S n+2 a n+1 b m com n+1m3(n+1))

6 S n+1 a n b m implica que S n a n Sb m a n b m a) S n a n Sb m a n aSbb m nm, logo n+1m+1 m3n, logo m+13n+3 b) S n a n Sb m a n aSbbb m nm, logo n+1m+2 m3n, logo m+23n+3 c) S n a n Sb m a n aSbbbb m nm, logo n+1m+3 m3n, logo m+33n+3

7 L(G) L Dado a n b m com nm3n, seja k=m-n i.e. m=n+k. k=0, k=n, k=2n é trivial! 0

8 S aSA 1 | aSA 2 | aSA 3 | A 1 b A 2 bA 1 A 3 bB B bA 1 δ(q,a,S)={(q,SA 1 ), (q,SA 2 ), (q,SA 3 ), (q, )} δ(q,b,A 1 )={(q, )} δ(q,b,A 2 )={(q,SA 1 )} δ(q,b,A 3 )={(q,B)} δ(q,b,B)={(q,A 1 )}

9 Para exercitar... 3(f): S aaX | aXa | baY | bYa | X bS | aXX | b Y aS | bYY | a 3(g): S aaSbS | aSbSaS | bSaaS |

10 Cuidado com o (h) Posto que L não é uma LLC uma vez que jogando contra o diabo para cada k que ele escolha basta dar a k b k c k e ele perde.

11 3(i): L={w : |w| a +|w| b =|w| c }

12 Descrições Informais de MTs Uma máquina de Turing para {ww | w {a,e}*} Dada x como entrada, varrer até encontrar o primeiro símbolo vazio, contando o número de símbolos mod 2 rejeitando caso x não seja par.

13 Escreve um marca de fim à direita e repetidamente varre um lado e outro da fita. Em cada passada da direita para a esquerda, marca o primeiro a ou e não marcado com '. Na passada da esquerda para a direita marca com `. Vai assim até todos os símbolos estarem marcados. por exemplo...

14 aaeeaaaeea... aaeeaaaeeá... àaeeaaaeeá... àaeeaaaeéá... ààeeaaaeéá ààèèàááééá... agora varre a fita da esquerda para a direita repetidamente. Em cada passo apaga o primeiro marcado com ` mas se lembra deste símbolo

15 daí varre até o primeiro não marcado, checa se igual ao apagado e apaga-o; se os símbolos não são iguais rejeita; se todos os símbolos forem apagados, aceita. ààèèàááééá... àèèàáééá... èèàééá......

16 Número de a's é primo Crivo de Eratóstenes: seja a p na fita aaaaaaaaaaaaaOOO... (por razões tipográficas O vai representar o células vazia)

17 se p=0 rejeita, se p=1 aceita; se tem pelo menos dois a's, apaga o primeiro, varre até o último a e o substitui por $ agora temos um a nas posições 2,3,..., p-1 e $ na posição p. Oaaaaaaaaaaa$OOO... repita o laço: varrendo do começo, encontre o primeiro símbolo não-vazio, digamos na posição m

18 Então m é primo! (invariante); se o símbolo for $, p é primo e pare senão, marque o a com ^ e tudo entre ele e com ': Óâaaaaaaaaaa$OOO... entra num laço para apagar todos os símbolos que ocorrem em posições que são múltiplas de m. primeiro apaga o a debaixo de ^. ÓÔaaaaaaaaaa$OOO...

19 Desloca as marcas uma por vez para direita a uma distância igual ao número de marcas: OOáâaaaaaaaa$OOO... apaga o símbolo sob ^, que está na posição 2m. OOáÔaaaaaaaa$OOO... mantenha-se deslocando as as marcas e apagando os símbolos sob ^ até o fim. OOaOaOaOaO$'ÔOO...

20 se estivermos para apagar o $, rejeite a cadeia! senão, volta e repete todo o pro- cesso acima; encontre o primeiro símbolo não vazio mais a esquerda marque-o com ^ e marca tudo a sua esquerda com '; ÓÓâOaOaOaO$OOO... e vai deslocando e apagando: OOOOaOaOOÓ$'ÔOO...

21 volta e repete até ou tenta-se apagar $ e rejeita-se a cadeia ou se apagam todos os a's e aceita. OOOOaOaOOÓ$'ÔOO... ÓÓÓÓâOOÓ$'ÔOO... OOOOOÓÓÓ$'ÔOO...


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