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SEQUÊNCIAS, SÉRIES E PROGRESSÕES. SEQUÊNCIAS Na linguagem do dia-a-dia, o termo sequência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica,

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1 SEQUÊNCIAS, SÉRIES E PROGRESSÕES

2 SEQUÊNCIAS Na linguagem do dia-a-dia, o termo sequência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica, de tamanho, ou lógica). Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes. Em Matemática, sequência é usada para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função (cujo domínio é o conjunto dos números naturais). Ex. conjunto dos n os pares, dos múltiplos de 7. (ANTON, 2000, p. 38 e 40)

3 As sequências numéricas podem ser:Finita a) A sequência dos quatro primeiros números naturais múltiplos de 5: (0, 5, 10, 15) (a 1, a 2, a 3, a 4 ) b) A sequência dos números de dias dos 12 meses de um ano bissexto: (31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31) (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a 10, a 11, a 12 ) SEQUÊNCIAS

4 Infinita a) A sequência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7, 9, 11,...) (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6,..., na,...) b) A sequência dos números quadrados perfeitos: (1, 4, 9, 16, 25, 36,...) SEQUÊNCIAS

5 Sequência ou Progressão Aritmética (PA) a) (2, 7, 12, 17,...) – 2 = 5; 12 – 7 = 5; 17 – 12 = 5;... ou a 2 = 7 = 2 + 5; a 3 = 12 = 7 + 5; a 4 = 17 = ;... b) (20, 10, 0, – 10, –20,...) –10–10 10 – 20 = –10; 0 – 10 = –10;... ou a 2 = 10 = 20 + (– 10); a 3 = 0 = 10 + (– 10); a 4 = –10 = 0 + (– 10);... SEQUÊNCIAS Crescente Decrescente

6 PA é toda sequência de números na qual: CONSTANTE I. a partir do segundo termo, a diferença entre cada termo e o seu precedente (anterior) é CONSTANTE; ou precedentesomado CONSTANTE II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, somado a um número CONSTANTE. RAZÃO (r) Essa constante chama-se RAZÃO (r). SEQUÊNCIAS

7 Sequência ou Progressão Geométrica (PG) a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes iguais. Repetir esse processo 4 vezes. SEQUÊNCIAS Crescente (1, 3, 9, 27) (a 1, a 2, a 3, a 4 )

8 b) (512, 128, 32, 8, 2,...) SEQUÊNCIAS Decrescente Na sequência (1, 3, 9, 27) podemos ainda notar que: a 2 = 3 = 1. 3; a 3 = 9 = 3. 3; a 4 = 27 = 9. 3

9 PG é toda sequência de números não-nulos na qual: I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de cada termo pelo seu precedente é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, multiplicado por uma CONSTANTE. Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (q) da progressão geométrica. SEQUÊNCIAS

10 SEQUÊNCIAS Sequência formada por uma lei ou função ( )

11 SEQUÊNCIAS: Representações Numericamente: (2, 4, 6,...) Numericamente: (2, 4, 6,...) Geometricamente Geometricamente

12 SEQUÊNCIAS: Representações Graficamente Graficamente y 6 (3,6) 6 (3,6) 4 (2,4) 4 (2,4) 2 (1,2) 2 (1,2) x x Termo Valor do termo a 1 = 1 2 a 2 = 2 4 a 3 = 3 6

13 Algebricamente Algebricamente f(n) = na = 2n, para n lΝ/n 1 Por Chaves Por Chaves SEQUÊNCIAS: Representações + 2n n=1

14 Observe as figuras abaixo formadas por palitos. N o de triângulos N o de palitos ? ? n na = ? SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma PA 3 a 1 = 3 = a 2 = 5 = a 3 = 7 = a 4 = 9 = = 3 + (1–1).2 = 3 + (2–1).2 = 3 + (3–1).2 = 3 + (4–1) = = = =

15 323 a 20 = 3 + (20 – 1). 2 = = an = 3 + (n – 1). 2 termo geral dessa PA O termo geral também pode ser expresso como função f(n) = a n = 3 + (n – 1). 2 f(n) = 2n + 1 Generalizando – o termo geral de uma PA: a n = a 1 + (n – 1). r SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma PA

16 SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA 1) Observe a tabela parcial de pontos de um campeonato paulista. a) Qual é a razão dessa progressão? b) Se na semana seguinte da apresentação da tabela os 5 primeiros colocados ganham 2 pontos cada um, determine a nova sequência de pontos desse time. Qual é a razão dessa nova sequência? ColocaçãoPontos 1. Palmeiras 2. Santos 3. São Paulo 4. Araçatuba 5. Guarani 6. Juventus 7. Corinthians /Portuguesa 8. XV de Jaú 9. Ferroviária P1: Se somarmos um número aos termos de uma progressão aritmética, o resultado será, ainda, uma progressão aritmética, com razão igual à da original.

17 2) Maria comprou uma esteira ergométrica para fazer caminhadas em casa. Seu médico recomendou que não passasse de 10 minutos por dia. No 1 º dia, ela manteve uma média de 2,28 km/h e, em 10 minutos, conseguiu andar apenas 380 m. No 2 º dia conseguiu caminhar, um pouco mais depressa e nos mesmos 10 minutos andou 400 m. a) Se ela continuar nesse ritmo quanto ela conseguirá andar no 5 º dia? b) Qual é a razão da sequência de metros caminhados? SEQUÊNCIAS: Propriedades da PA

18 c) Depois de 1 mês, Maria já estará com melhor preparo físico e dobrará sua marcas da 1 ª semana. Assim sendo, determine a sequência de metros caminhados, dobrando os termos da progressão citado no item (a). d) Quantos metros ela andou no quarto dia após esse mês? e) Qual é a razão dessa nova sequência? P2: Se multiplicarmos todos os termos de uma progressão aritmética por uma constante, encontraremos outra progressão aritmética. A razão da nova sequência será igual à razão da anterior multiplicada pela mesma constante. SEQUÊNCIAS: Propriedades da PA

19 SEQUÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita Quantos casulos são necessários para montar o triângulo abaixo? O número de casulos em cada linha representa um termo de uma sequência aritmética. (1, 2, 3, 4, 5, 6)

20 S 6 =[(1 + 6).6]/2 = 21 S n = [(a 1 + a n ).n]/2 SEQUÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita

21 S n = a 1 + a 2 + a a n-2 + a n-1 + a n SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita a 1 + a n Parcelas iguais a a 1 + a 2 S n = (a 1 + a n ).

22 SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG Voltando à divisão da folha de papel, fazendo agora inúmeras vezes essa divisão. Estágios da divisão N o de regiões Original E 0 : 0 a 1 = 1 E 1 : 1 E 1 : 1 a 2 = 3 E 2 : 2 E 2 : 2 a 3 = 9 E 3 : 3 E 3 : 3 a 4 = E 12 : 12 E 12 : 12? E n : n E n : n a n = ? a 1 = 1 a 2 = 3 a 3 = 9 a 4 = = = = = = = = = = = = = a n = 1. 3 n-1

23 a n = 1. 3 n-1 Termo geral da PG para esse exemplo dado Generalizando : Como nesse exemplo tínhamos a 1 = 1 e q = 3, então a n = a 1. q n-1 Onde: a n = termo geral; a 1 = 1 o termo da sequência; n = n o de termos da PG (até a n ); q = razão. SEQUÊNCIAS: Termo geral de uma PG

24 Somando os termos da sequência (1, 3, 9, 27) S = ou 3 = = = = Assim, 3. S = – S = – S = S – S = 81 – 1 S = 80 : 2 = 40 SEQUÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita

25 Generalizando: consideremos uma PG finita (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6,..., a n ) de razão q 1. (I) S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n (I) Multiplicamos ambos os membros por q: S n.q = a 1 q + a 2 q + a 3 q a n-1 q + a n q S n.q = a 2 + a a n-1 + a n + a n+1 (II) Como a n+1 = a 1 q n, fazemos (II) – (I): S n.q – S n = a 1 q n – a 1 (q – 1)S n = a 1 (q n – 1) S n = [a 1 (q n – 1)] : (q – 1), q 1 SEQUÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita a 2 a 3 a 4 a n

26 HISTÓRICO HISTÓRICO Números Figurados n os quadrados SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos 1234n (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,...) ( 1, 4, 9, 16,..., n 2,...) ou

27 BIOLOGIA BIOLOGIA (1, 2, 4, 8,...) SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Divisão das amebas

28 MÚSICA MÚSICA Os sons musicais se escrevem por meio de sinais chamados notas Semibreve Semicolcheia Semibreve Semicolcheia Mínima Fusa Mínima Fusa Semínima Semifusa Semínima Semifusa Colcheia Colcheia A unidade de valor rítmico é a semibreve. Cada nota vale a metade da precedente, na ordem citada. SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

29 Podemos representar esses valores pela sequência finita: SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos

30 GEOMETRIA E ÁLGEBRA GEOMETRIA E ÁLGEBRA Área sob a curva y = x 2 no intervalo [1,4]. Dividindo esse intervalo em 6 partes iguais e construindo retângulos cuja altura são os valores de x tomados à extrema direita, podemos formam uma sequência com as áreas desses 6 retângulos: (R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6 ) ( )

31 Será que há algum padrão nessa sequência das áreas dos retângulos? SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos

32

33 FRACTAIS FRACTAIS Waclaw Sierpinski ( ) foi um grande matemático polonês. Em 1916, criou uma curva muito interessante chamada triângulo de Sierpinski. Sua construção consiste em: SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos Original Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Considerando apenas os triângulos brancos obtidos temos a sequência (1, 3, 9, 27,...). Essa sequência é geométrica de razão q = 3.

34 x SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Observando o nascimento de coelhos N o de meses N o de casais início x x x x x x SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos Casal JOVEM Casal JOVEM Casal ADULTO Casal ADULTO

35 A sequência que fornece o n o de casais de coelhos é obtida da seguinte forma: = = = = = = = = = = f(n) = f(n-1) + f(n-2) (expressão que dá o n o de Fibonacci de ordem n) f(n) = f(n-1) + f(n-2) (expressão que dá o n o de Fibonacci de ordem n) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...) é chamada de sequência de Fibonacci. SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos

36 Retângulo áureo número de ouro Sequencia de Fibonacci A P B 1 1 x –1 D Q C x

37 SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos Em 1611, Kepler notou que a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente leva ao número quando se avança para valores cada vez maiores na sequência. Em termos matemáticos, temos que: f(n)/f(n – 1) quando n infinito De modo inverso, os números de Fibonacci podem ser gerados a partir de potências de segundo a expressão:

38 Nos Estados Unidos há uma sociedade matemática chamada Sociedade Fibonacci, que publica artigos trimestralmente e que dirige um centro bibliográfico e de pesquisa sobre aplicações da sequência de Fibonacci. O matemático Edouard A. Lucas ( ) apresentou a sequência (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...), que possui o mesmo padrão que a de Fibonacci. SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos

39 QUADRADOS MÁGICOS QUADRADOS MÁGICOS O primeiro registro, de origem antiga e desconhecida, de um quadrado mágico apareceu na China SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos mágico Um quadrado numérico é mágico se ele possui n 2 números inteiros positivos e diferentes entre si tais que a soma dos n números que figuram nas linhas, colunas e diagonais é constante.

40 Toda sucessão de n números distintos compreendidos entre 1 e n 2 e cuja soma é a constante mágica chama-se sequência mágica. SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos No quadrado ao lado, a constante mágica é 15 e as sequências mágicas são: (4, 9, 2); (3, 5, 7); (8, 1, 6); (4, 3, 8); (9, 5, 1); (2, 7, 6); (4, 5, 6) e (2, 5, 8).

41 SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos Considere um quadrado mágico que possui 16 (4 2 ) números naturais diferentes (1, 2,..., 16). Se a constante mágica é 34, complete o quadrado mágico ao lado e escreva as sequências mágicas

42 SEQUÊNCIAS: Diferentes Contextos

43 REFERÊNCIAS ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. V. 2, 6. ed. Porto Alegre: Bookman, ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. V. 2, 6. ed. Porto Alegre: Bookman, CARVALHO, Maria C. S. e S. Padrões numéricos e sequências. São Paulo: Moderna, CARVALHO, Maria C. S. e S. Padrões numéricos e sequências. São Paulo: Moderna, DANTE, Luiz R. Contextos e Aplicações. V. Único, São Paulo: Ática, DANTE, Luiz R. Contextos e Aplicações. V. Único, São Paulo: Ática, 2000.


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