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Licenciatura Plena em Ciências Naturais e Matemática-UFMT Módulo VIII Habilitação: Matemática SEQÜÊNCIAS E SÉRIES Professores: Demilson, Geraldo, Gladys,

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1 Licenciatura Plena em Ciências Naturais e Matemática-UFMT Módulo VIII Habilitação: Matemática SEQÜÊNCIAS E SÉRIES Professores: Demilson, Geraldo, Gladys, Luzia, Vinicius e William CUIABÁ/JANEIRO/2007

2 SEQÜÊNCIAS Na linguagem do dia-a-dia, o termo seqüência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica, de tamanho, ou lógica). Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes. Em Matemática, seqüência é usada para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função (cujo domínio é o conjunto dos números naturais). Ex. conjunto dos n os pares, dos múltiplos de 7. (ANTON, 2000, p. 38 e 40)

3 As seqüências numéricas podem ser: Finita a) A seqüência dos quatro primeiros números naturais múltiplos de 5: (0, 5, 10, 15) (a 1, a 2, a 3, a 4 ) b) A seqüência dos números de dias dos 12 meses de um ano bissexto: (31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31) (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a 10, a 11, a 12 ) SEQÜÊNCIAS

4 Infinita a) A seqüência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7, 9, 11,...) (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6,..., a n,...) b) A seqüência dos números quadrados perfeitos: (1, 4, 9, 16, 25, 36,...) SEQÜÊNCIAS

5 Seqüência ou Progressão Aritmética (PA) a) (2, 7, 12, 17,...) 7 – 2 = 5; 12 – 7 = 5; 17 – 12 = 5;... ou a 2 = 7 = 2 + 5; a 3 = 12 = 7 + 5; a 4 = 17 = ;... b) (20, 10, 0, – 10, –20,...) 10 – 20 = –10; 0 – 10 = –10;... ou a 2 = 10 = 20 + (– 10); a 3 = 0 = 10 + (– 10); a 4 = –10 = 0 + (– 10);... SEQÜÊNCIAS Crescente Decrescente

6 PA é toda seqüência de números na qual: I. a partir do segundo termo, a diferença entre cada termo e o seu precedente (anterior) é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, somado a um número CONSTANTE. Essa constante chama-se RAZÃO (r). SEQÜÊNCIAS

7 Crescente (1, 3, 9, 27) (a 1, a 2, a 3, a 4 ) Seqüência ou Progressão Geométrica (PG) a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes iguais. Repetir esse processo 4 vezes.

8 b) (512, 128, 32, 8, 2,...) SEQÜÊNCIAS Decrescente Na seqüência (1, 3, 9, 27) podemos ainda notar que: a 2 = 3 = 1. 3; a 3 = 9 = 3. 3; a 4 = 27 = 9. 3

9 PG é toda seqüência de números não-nulos na qual: I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de cada termo pelo seu precedente é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, multiplicado por uma CONSTANTE. Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (q) da progressão geométrica. SEQÜÊNCIAS

10 Seqüência formada por uma lei ou função ( )

11 SEQÜÊNCIAS: Representações Numericamente: (2, 4, 6,...) Geometricamente

12 SEQÜÊNCIAS: Representações Graficamente y 6 (3,6) 6 (3,6) 4 (2,4) 4 (2,4) 2 (1,2) 2 (1,2) x x TermoValor do termo a 1 = 12 a 2 = 24 a 3 = 36

13 Algebricamente f(n) = a n = 2n, para n lΝ/n 1 Por Chaves SEQÜÊNCIAS: Representações + 2n n=1

14 Observe as figuras abaixo formadas por palitos. N o de triângulosN o de palitos ? ? n a n = ? SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA a 1 = 3 = a 2 = 5 = a 3 = 7 = a 4 = 9 = = 3 + (1–1).2 = 3 + (2–1).2 = 3 + (3–1).2 = 3 + (4–1).2 = = = =

15 a 20 = 3 + (20 – 1). 2 = = a n = 3 + (n – 1). 2 termo geral dessa PA O termo geral também pode ser expresso como função f(n) = a n = 3 + (n – 1). 2 f(n) = 2n + 1 Generalizando – o termo geral de uma PA: a n = a 1 + (n – 1). r SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA

16 SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA 1) Observe a tabela parcial de pontos de um campeonato paulista. a) Qual é a razão dessa progressão? b) Se na semana seguinte da apresentação da tabela os 5 primeiros colocados ganham 2 pontos cada um, determine a nova seqüência de pontos desse time. Qual é a razão dessa nova seqüência? ColocaçãoPontos 1. Palmeiras 2. Santos 3. São Paulo 4. Araçatuba 5. Guarani 6. Juventus 7. Corinthians /Portuguesa 8. XV de Jaú 9. Ferroviária P1: Se somarmos um número aos termos de uma progressão aritmética, o resultado será, ainda, uma progressão aritmética, com razão igual à da original.

17 2) Maria comprou uma esteira ergométrica para fazer caminhadas em casa. Seu médico recomendou que não passasse de 10 minutos por dia. No 1 º dia, ela manteve uma média de 2,28 km/h e, em 10 minutos, conseguiu andar apenas 380 m. No 2 º dia conseguiu caminhar, um pouco mais depressa e nos mesmos 10 minutos andou 400 m. a) Se ela continuar nesse ritmo quanto ela conseguirá andar no 5 º dia? b) Qual é a razão da seqüência de metros caminhados? SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA

18 c) Depois de 1 mês, Maria já estará com melhor preparo físico e dobrará sua marcas da 1 ª semana. Assim sendo, determine a seqüência de metros caminhados, dobrando os termos da progressão citado no item (a). d) Quantos metros ela andou no quarto dia após esse mês? e) Qual é a razão dessa nova seqüência? P2: Se multiplicarmos todos os termos de uma progressão aritmética por uma constante, encontraremos outra progressão aritmética. A razão da nova seqüência será igual à razão da anterior multiplicada pela mesma constante. SEQÜÊNCIAS: Propriedades da PA

19 SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita Quantos casulos são necessários para montar o triângulo abaixo? O número de casulos em cada linha representa um termo de uma seqüência aritmética. (1, 2, 3, 4, 5, 6)

20 S 6 =[(1 + 6).6]/2 = 21 S n = [(a 1 + a n ).n]/2 SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita

21 S n = a 1 + a 2 + a a n-2 + a n-1 + a n SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita a 1 + a n Parcelas iguais a a 1 + a 2 S n = (a 1 + a n ).

22 SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG Voltando à divisão da folha de papel, fazendo agora inúmeras vezes essa divisão. Estágios da divisãoN o de regiões Original E 0 : 0a 1 = 1 E 1 : 1a 2 = 3 E 2 : 2a 3 = 9 E 3 : 3a 4 = E 12 : 12? E n : n a n = ? a 1 = 1 a 2 = 3 a 3 = 9 a 4 = 27 = = = = = = = = = = = a n = 1. 3 n-1

23 a n = 1. 3 n-1 Termo geral da PG para esse exemplo dado Generalizando : Como nesse exemplo tínhamos a 1 = 1 e q = 3, então a n = a 1. q n-1 Onde: a n = termo geral; a 1 = 1 o termo da seqüência; n = n o de termos da PG (até a n ); q = razão. SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG

24 Somando os termos da seqüência (1, 3, 9, 27) S = ou 3 = = = = Assim, 3. S = – S = S – S = 81 – 1 S = 80 : 2 = 40 SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita

25 Generalizando: consideremos uma PG finita (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6,..., a n ) de razão q 1. S n = a 1 + a 2 + a a n-1 + a n (I) Multiplicamos ambos os membros por q: S n.q = a 1 q + a 2 q + a 3 q a n-1 q + a n q S n.q = a 2 + a a n-1 + a n + a n+1 (II) Como a n+1 = a 1 q n, fazemos (II) – (I): S n.q – S n = a 1 q n – a 1 (q – 1)S n = a 1 (q n – 1) S n = [a 1 (q n – 1)] : (q – 1), q 1 SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita

26 HISTÓRICO Números Figurados n os quadrados SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,...) ( 1, 4, 9, 16,..., n 2,...) ou

27 BIOLOGIA (1, 2, 4, 8,...) SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Divisão das amebas

28 MÚSICA Os sons musicais se escrevem por meio de sinais chamados notas Semibreve Semicolcheia Mínima Fusa Semínima Semifusa Colcheia A unidade de valor rítmico é a semibreve. Cada nota vale a metade da precedente, na ordem citada. SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

29 Podemos representar esses valores pela seqüência finita: SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

30 GEOMETRIA E ÁLGEBRA Área sob a curva y = x 2 no intervalo [1,4]. Dividindo esse intervalo em 6 partes iguais e construindo retângulos cuja altura são os valores de x tomados à extrema direita, podemos formam uma seqüência com as áreas desses 6 retângulos: (R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6 ) ( )

31 Será que há algum padrão nessa seqüência das áreas dos retângulos? SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

32

33 FRACTAIS Waclaw Sierpinski ( ) foi um grande matemático polonês. Em 1916, criou uma curva muito interessante chamada triângulo de Sierpinski. Sua construção consiste em: SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Original Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Considerando apenas os triângulos brancos obtidos temos a seqüência (1, 3, 9, 27,...). Essa seqüência é geométrica de razão q = 3.

34 x SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Observando o nascimento de coelhos N o de meses N o de casais início x x x x x x SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Casal JOVEM Casal ADULTO

35 A seqüência que fornece o n o de casais de coelhos é obtida da seguinte forma: = = = = = f(n) = f(n-1) + f(n-2) (expressão que dá o n o de Fibonacci de ordem n) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...) é chamada de seqüência de Fibonacci. SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

36 Retângulo áureo número de ouro Seqüencia de Fibonacci A P B 1 1 x –1 D Q C x

37 SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Em 1611, Kepler notou que a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente leva ao número quando se avança para valores cada vez maiores na seqüência. Em termos matemáticos, temos que: f(n)/f(n – 1) quando n infinito De modo inverso, os números de Fibonacci podem ser gerados a partir de potências de segundo a expressão:

38 Nos Estados Unidos há uma sociedade matemática chamada Sociedade Fibonacci, que publica artigos trimestralmente e que dirige um centro bibliográfico e de pesquisa sobre aplicações da seqüência de Fibonacci. O matemático Edouard A. Lucas ( ) apresentou a seqüência (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...), que possui o mesmo padrão que a de Fibonacci. SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

39 QUADRADOS MÁGICOS O primeiro registro, de origem antiga e desconhecida, de um quadrado mágico apareceu na China SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Um quadrado numérico é mágico se ele possui n 2 números inteiros positivos e diferentes entre si tais que a soma dos n números que figuram nas linhas, colunas e diagonais é constante.

40 Toda sucessão de n números distintos compreendidos entre 1 e n 2 e cuja soma é a constante mágica chama-se seqüência mágica. SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos No quadrado ao lado, a constante mágica é 15 e as seqüências mágicas são: (4, 9, 2); (3, 5, 7); (8, 1, 6); (4, 3, 8); (9, 5, 1); (2, 7, 6); (4, 5, 6) e (2, 5, 8).

41 SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos Considere um quadrado mágico que possui 16 (4 2 ) números naturais diferentes (1, 2,..., 16). Se a constante mágica é 34, complete o quadrado mágico ao lado e escreva as seqüências mágicas

42 SEQÜÊNCIAS: Diferentes Contextos

43 REFERÊNCIAS ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. V. 2, 6. ed. Porto Alegre: Bookman, CARVALHO, Maria C. S. e S. Padrões numéricos e seqüências. São Paulo: Moderna, DANTE, Luiz R. Contextos e Aplicações. V. Único, São Paulo: Ática, 2000.


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