Otimalidade de Pareto Prof. João Manoel Pinho de Mello

Apresentação em tema: "Otimalidade de Pareto Prof. João Manoel Pinho de Mello"— Transcrição da apresentação:

1 Otimalidade de Pareto Prof. João Manoel Pinho de Mello
Depto. de Economia, PUC-Rio Agosto, 2006

2 Referência: capítulo 29, Varian

3 O problema Dois agentes 1 e 2, dois bens A e B
(e1A, e1B) = dotação inicial do agente 1 (e2A, e2B) = dotação inicial do agente 2 Dotação Agregada da Economia eA = e1A + e2A, eB = e1B + e2B u1(x1A, x1B) são as preferências do agente 1, u2(x2A, x2B) são as preferências do agente 1 Impomos que os agentes não se importam com o consumo do outro agente Não há altruísmo Não há externalidades (x1A, x1B, x2A, x2B ) é uma alocação

4 A pergunta Um planejador central que fosse
Onipotente Onisciente alocaria os bens entre os dois agentes? Pergunta imediata: Alocaria segundo qual critério? Ele gosta mais de qual agente? Ele se incomoda com desigualdade

5 Eficiência de Pareto Uma alocação (x1A, x1B, x2A, x2B ) é dita eficiente do ponto de vista de Pareto se não existe nenhuma outra alocação (z1A, z1B, z2A, z2B ) tal que: com desigualdade estrita para ao menos um i

6 A caixa de Edgeworth

7 Uma representação gráfica
(e1A, e1B), (e2A, e2B) : dotações iniciais e2A x2A Agente 2 x1B eA = e1A + e2A e2B e2B eB = e1B + e2B Dotação inicial e1B x2B Agente 1 x1A e1A

8 Eficiência de Pareto, graficamente
e2A x2A Agente 2 x1B eA = e1A + e2A e2B e2B eB = e1B + e2B Dotação inicial e1B x2B Agente 1 x1A e1A

9 Jargão Loteria = distribuição de probabilidade Estados da natureza
Cara Coroa Consumo contingente Na loteria 1, o consumo é 10,000 contingente a sair cara Na loteria 2, o consumo é 5,000 contingente a sair coroa

10 Outro exemplo Você tem R$ , sendo que destes K reais estão na forma de um carro Com probabilidade p  (0,1), o carro é roubado Mas você pode fazer um seguro, pagando  reais Loteria 1 (comprando seguro) ( – , 1; – , 1) Já sei, é uma loteria meio boba, que se chama de degenerada Loteria 2 (sem seguro) ( – K, p; , 1 - p)

11 Outro exemplo Estados da natureza Consumo contingentes

12 Seguro e transferência de consumo
Suponha agora que você pode comprar unidades de consumo, por  por unidade de seguro comprado O seguro permite transferir consumo do estado da natureza “não roubo” para o estado da natureza “roubo” Seja CR o consumo quando há roubo e CNR o consumo quando não há roubo Seja S a quantidade de seguro comprada Imagine que K =

13 Seguro e transferência de consumo
Comprando seguro (CR = – K – S + S ; CNR = –S) Sem comprar seguro (dotação inicial) (CR = – K ; CNR = ) CNR Vender seguro Dotação inicial 100 Cesta de compra S de seguro 100 - S 65 65 + (1 - )S CR

14 Seguro e transferência de consumo
Seja θ a inclinação da linha Pense em consumo no estado não roubo (CNR) e no estado roubo (CNR) como dois bens quaisquer. Pense em como o preço relativo

15 Seguro e transferência de consumo
Aí temos uma restrição orçamentária igual ao que tínhamos na Teoria do Consumidor normal Nos falta Uma teoria razoável de preferência a respeito de diferentes teorias Colocar as curvas de indiferença Dizer algo sobre como este preço relativo aparece

16 Teoria da Utilidade Esperada

17 Preferência a respeito de loterias
Missão: “colocar as curvas de indiferença” Em Teoria do Consumidor normal, geralmente pensávamos que preferências razoáveis seriam: Crescentes nas quantidades de cada bem Mas à taxas decrescentes Agora vamos impor mais estrutura Quer dizer: exigir mais coisas de uma preferência razoável

18 Utilidade esperada: idéias gerais
A cesta de bens é o consumo contingente em cada estado da natureza: (C1, C2) Probabilidades dos estados da natureza: π1 e π2, que somam 1 Gostaríamos que nossa teoria (modelo) para escolha sob incerteza tivesse as seguintes características: Eu valorizo mais consumo em estados mais prováveis Eu gostaria de muito consumo em um estado improvável para abrir mão de um pouco de consumo em um estado provável Minha atitude frente ao risco seja facilmente caracterizável a partir de minhas preferências

19 Preferências sobre loterias: o modelo geral
Dois estados da natureza, mutuamente exclusivos e exaustivos: 1 e 2 Consumo contingente: (C1, C2) Probabilidades: π1 e π2, π1 + π2 = 1 Utilidade, formato geral: Consumo contingente, os bens probabilidades, os parâmetros

20 Exemplos de preferências

21 Utilidade esperada Preferências sobre loterias estão na forma de utilidade esperada se são a soma ponderada (pelas probabilidades) da utilidade do consumo contingente, que é dada pela função u(•) Também chamada de utilidade de von Neumann-Morgenstern A função u(•) é chamada de utilidade de Bernoulli

22 Utilidade esperada: forma versus representação
Preferências representam preferências de utilidade esperada se podem ser transformadas para a forma de utilidade esperada através de transformações monótonas Mas representa preferências de utilidade esperada porque pode ser transformada na forma de utilidade esperada por transformações monótonas (em realidade só uma é necessária) está na forma de utilidade esperada não está na forma de utilidade esperada

23 Utilidade esperada: forma versus representação
Exemplos: Representa utilidade esperada? Está na forma de utilidade esperada? Está na forma de utilidade esperada? Representa utilidade esperada?

24 Utilidade esperada: bom modelo?
Para estar na forma de utilidade esperada é crucial que Seja separável nos consumos nos estados da natureza Utilidade do consumo se chove não depende da quantidade de consumo se faz sol O que não ocorreu não importa Chove, faz sol ou vai para SP no fim de semana Café, açúcar e água Chama-se isto de suposição de independência Que a função u seja a mesma Suponha eventos equiprováveis A utilidade de consumir se faz sol é igual à utilidade de consumir se chove Utilidade dependente do estado

25 Atitude frente ao risco

26 Você gosta de risco? Alguém tem uma moeda justa que:
Se sai cara, você ganha Se sai coroa: você não ganha nada Quanto você estaria disposto a pagar pelo direito de jogar esta moeda? O que você prefere? Uma moeda justa que paga 0 com probabilidade ½, e reais com probabilidade ½ Uma moeda justa que paga com probabilidade ½, e reais com probabilidade ½

27 Utilidade da média versus média das utilidades
Loteria: 0 com probabilidade ½, com probabilidade ½ Suponha que: Então o agente é dito avessa ao risco Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga com certeza Utilidade média (ou esperada)

28 u(5.000) = utilidade da média
Aversão ao risco Utils u(·) u(5.000) = utilidade da média Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) Utilidade média 5.000 10.000 $

29 u(5.000) = utilidade da média
Amor ao risco Utils u(·) Utilidade média Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) u(5.000) = utilidade da média 5.000 10.000 $

30 Neutralidade ao risco Utils u(·) Função de Bernoulli $ 5.000 10.000
½u(0) + ½u(10.000) 5.000 10.000 $

31 Resumo Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = ln(c), u(c) = c½ Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = exp(c), u(c) = c2 Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = c, u(c) = 10+34c

32 Exemplo: demanda por seguro
Exemplo anterior: patrimônio, em um carro, que é roubado com probabilidade p Pode comprar seguro por γ por unidade segurada Problema: quanto segurar (S)

33 Exemplo: demanda por seguro
CPO Suponha que o seguro seja “atuarialmente” justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se reduz a

34 Exemplo: demanda por seguro
Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) Então u’ é decrescente Para que é preciso que 65 + (1 – γ)S = 100 – γS Ou seja, S = 35 O que isto significa?

35 Exemplo: demanda por seguro
Checando a condição de 2ª ordem O que ocorreria se u´´ > 0, ou seja, se o agente é amante do risco?

36 Mensuração da aversão ao risco

37 Aversão ao risco Na maioria esmagadora das situações imaginamos que os agentes não gostam de risco Geralmente os agentes “neutros” ao risco o são porque em realidade não enfrentam risco Seguradoras e a Lei dos Grandes Números

38 Quanto? u’’ nos diz que o agente é avesso ao risco Curvatura de u
Mas quanto? Curvatura de u Os coeficientes de aversão relativa e absoluta ao risco Equivalente em certeza Prêmio de probabilidade

39 Equivalente em certeza
Suponha que você tem uma loteria que paga: K1 com probabilidade p K2 com probabilidade 1 – p K1 > K2 > 0 O equivalente em certeza é

40 Equivalente em certeza
Se EC < pK1 + (1 – p)K2, então o agente é avesso ao risco Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza tais que ECi < ECj diz-se que i é mais avesso ao risco que j O equivalente em certeza é quanto você está disposto a abrir mão de média para evitar o risco A idéia pode ser generalizada para qualquer loteria L

41 Equivalente em certeza
Utils u(·) Função de Bernoulli ½u(0) + ½u(10.000) EC 5.000 10.000 $ Equivalente em certeza

42 Curvatura Utils u(·) u(·) Equivalente em certeza EC EC $
EC EC 5.000 10.000 $ Equivalente em certeza

43 O coeficiente de aversão absoluta ao risco
Defina: ρa é chamado de coeficiente de aversão absoluta ao risco A primeira derivada no denominador serve para tornar o índice insensível a unidades

44 O coeficiente de aversão absoluta ao risco
Se u é tal que ρr(w) é constante em w então, diz-se que o agente tem aversão absoluta ao risco constante Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 100 da riqueza (w) com probabilidade e ganha 100 com probabilidade ½ não muda com w Exemplo: u(w) = exp(-ηw)

45 O coeficiente de aversão relativa ao risco
Defina: ρr é chamado de coeficiente de aversão relativa ao risco Como no caso de ρa, a divisão pela primeira derivada faz com que o índice seja insensível à unidade de mensuração de w

46 O coeficiente de aversão relativa ao risco
Se u é tal que ρr(w) é constante em w então, diz-se que o agente tem aversão relativa ao risco constante Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 10% da riqueza (w) com probabilidade e ganha 10% com probabilidade ½ não muda com w Exemplo: