História da Álgebra.

Apresentação em tema: "História da Álgebra."— Transcrição da apresentação:

1 História da Álgebra

2 Concepções históricas
Álgebra Clássica ou elementar: que trata do estudo das equações e das operações clássicas sobre generalizações discretas ou contínuas. Álgebra Moderna ou abstrata: que trata de estruturas matemáticas tais como grupo, anéis, corpos, etc.

3 Desenvolvimento em função da sua linguagem
Retórica ou verbal Sincopada Simbólica

4 1. Retórica ou verbal Não se usava símbolos nem abreviações para expressar o pensamento algébrico, ou seja, as palavras eram empregados em seu próprio sentido simbólico. Esta teria sido a álgebra dos egípcios, dos babilônios e dos gregos pré-diofantinos. Exemplo: quando se diz “a ordem dos fatores de dois números não altera o produto”.

5 2. Álgebra sincopada Foram usadas mais formas abreviadas e coisas para expressar as palavras e assim convertido em autênticos “ideogramas algébricos”. Diofano foi o primeiro a usar a letra sigma para representar suas equações. No século XVII esse recursos também foi usado por Cardano onde a expressão “cubus p.6 rebus aequalis 20” passaria a ter posteriormente, a forma simbólica x3+6x=20

6 Retórica  Sincopada minus m -

7 3. Álgebra simbólica As idéias passariam a ser expressas somente através de símbolos, sem recorrerem ao uso de palavras. Vieté ( ) foi um dos principais responsáveis pela introdução de novos símbolos, assim como Descartes ( ) pela utilização das últimas do alfabeto x, y e z como incógnitas ou variáveis e as primeiras letras como constantes.

8 Hindus e Árabes Os hindus desenvolveram os métodos babilônios e Brahmagupta ( ) usava já abreviações para incógnitas e admitia valores negativos. Os árabes não lidavam com negativos nem tinhas abreviações, mas Al-Khwarizmi (800) classificou os diversos tipos de equações algébricas usando raízes, quadrados e números, em linguagem moderna seriam x, x2 e constantes.

9 Frei Luca Pacioli ( ) Em 1494 surgiu na Europa a primeira edição de Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, de Luca Pacioli. Já resolvia alguns tipos de equações de grau 4.

10 Scipione del Ferro ( ) Professor da Universidade de Bologna e conheceu Pacioli quando este visitou Bologna nos anos 1501 e 1502. Del Ferro conseguia resolver a cúbica da forma x3 + mx = n.

11 Tartaglia ( ) Pouco antes de morrer em 1526, Scipione revelou seu método para seu aluno Antonio Fior. Fior espalhou a notícia e logo Nicolo de Brescia, conhecido como Tartaglia conseguiu resolver equações da forma x3 + mx2 = n e também espalhou a notícia. Fior desafiou Tartaglia para uma disputa pública e cada um podia dar ao outro 30 problemas com 40 ou 50 dias para resolvê-los.

12 Girolamo Cardano ( ) Tartaglia resolveu todos os problemas de Fior em 2 horas, pois todos eram do tipo x3 + mx = n. Mas 8 dias antes do fim do prazo, Tartaglia encontrou um método geral para todos os tipos de cúbicas. Essa notícia chegou a Girolamo Cardano em Milão onde ele se preparava para publicar sua Practica Arithmeticae (1539). Cardano convidou Tartaglia para visitá-lo.

13 Cardano convenceu Tartaglia a contar para ele seu segredo, promentendo aguardar até que Tartaglia o tivesse pulicado, mas em 1545 Cardano publicou o segredo de Tartaglia em seu Ars Magna. Nessa obra, Cardano resolve x3 + mx = n. Cardano percebeu algo estranho quando aplicava o método a x3 = 15x + 4, obtendo uma expressão envolvendo a raíz quadrada de -121. Cardano sabia que x = 4 era uma solução da equação. Então escreveu para Tartaglia em 4 de agosto de 1539 para tirar sua dúvida. Tartaglia não soube explicar, então Cardano publicou sua solução que envolvia “números complexos” sem entendê-los, dizendo que isso era “tão sutil quanto inútil”.

14 François Viète ( ) O caso irredutível da cúbica, em que a fórmula de Cardano leva a uma raiz quadrada de número negativo, foi resolvido por Rafael Bombelli em 1572. 250 anos se passaram sem que ninguém conseguisse resolver a quíntica, embora muitos matemáticos tenham tentado, como Viète, Harriot, Tschirnhaus, Euler, Bezout e Descartes.

15 Paolo Ruffini ( ) Ruffini, um médico e padre italiano, foi o primeiro a propor uma demonstração de que a equação geral do quinto grau não podia ser resolvida por radicais. Mas seu tratado de 1798 não apresentava uma demonstração satisfatória.

16 Niels Henrik Abel ( ) Um jovem matemático norueguês, Abel, apresentou uma prova completa da impossibilidade da solução da quíntica por radicais. Sua demonstração envolvia aplicar resultados de permutações sobre o conjunto das raízes da equação.

17 Abel pesquisou dois problemas:
1. Encontrar todas as equações de grau qualquer que são solúveis algebricamente. 2. Decidir se uma equação dada é soluvel algebricamente ou não. Embora não tenha resolvido esses problemas em vida, Abel obteve um resultado particularmente interessante. Abel generalizou a solução de Gauss para a equação xn - 1 = 0, na qual todas as raízes são expressas como potência de uma delas. Gauss ( )

18 Evariste Galois ( ) Abel não pode terminar seu programa, mas sua tarefa foi levada adiante por outro jovem de vida curta, Galois. Suas idéias sobre a solução de equações algébricas por radicais foram apresentadas em um manuscrito submetido à Academia Francesa em 1829 (ele tinha 17 anos).

19 Cauchy ( ) O que é certo é que Galois teve sua teoria rejeitada muitas vezes. Seu primeiro manuscrito de 1829 submetido à Academia Francesa foi rejeitado por Cauchy ( ). Os biógrafos dizem que Cauchy desprezou o artigo, que o perdeu etc.

20 Desenvolvimento da álgebra
Se deve aos esforços e contribuições dos matemáticos europeus do Renascimento e da época clássica. Dentre eles destacam-se: Fibonacci Pacioli Chuquet Bourrel Stiffel Cardano

21 Fim