A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Prof. Nestor Roqueiro Laboratório de Controle de Processos EQA - UFSC Aplicações de Métodos Matemáticos.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Prof. Nestor Roqueiro Laboratório de Controle de Processos EQA - UFSC Aplicações de Métodos Matemáticos."— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Nestor Roqueiro Laboratório de Controle de Processos EQA - UFSC Aplicações de Métodos Matemáticos

2 O Problema Os modelos matemáticos que representam processos ou equipamentos são sistemas de equações algébricas, diferenciais e integrais que, em geral, não tem solução analítica.Os modelos matemáticos que representam processos ou equipamentos são sistemas de equações algébricas, diferenciais e integrais que, em geral, não tem solução analítica. Para obter soluções, portanto, devem ser utilizados métodos numéricos.Para obter soluções, portanto, devem ser utilizados métodos numéricos. Para solução numérica de problemas de medio e grande porte é necessário o auxilio de computadores.Para solução numérica de problemas de medio e grande porte é necessário o auxilio de computadores. E para que os computadores funcionem são necessários programas.E para que os computadores funcionem são necessários programas.

3 A Solução Comprar o software que resolva a classe de problemas que deseja tratarComprar o software que resolva a classe de problemas que deseja tratar Desenvolver seus proprios programasDesenvolver seus proprios programas Contratar alguem que desenvolva os programasContratar alguem que desenvolva os programas Fazer combinações das três propostas acimaFazer combinações das três propostas acima

4 A Melhor Solução A melhor solução depende da verba disponível mas, em geral, o conhecimento de uma linguagem de programação de alto nível e programas que auxiliem na resolução de problemas numéricos costumam ser a solução mais eficiente, e mais barata.A melhor solução depende da verba disponível mas, em geral, o conhecimento de uma linguagem de programação de alto nível e programas que auxiliem na resolução de problemas numéricos costumam ser a solução mais eficiente, e mais barata.

5 Os Problemas Matemáticos –Os problmas matemáticos que sugem na modelagem de processos e equipamentos são: Solução de sistemas de equaçoes algébricasSolução de sistemas de equaçoes algébricas Solução de sistemas de equações diferencias ordináriasSolução de sistemas de equações diferencias ordinárias Solução de sistemas de equações diferenciais parciaisSolução de sistemas de equações diferenciais parciais Ajuste de curvas e interpolaçãoAjuste de curvas e interpolação OtimizaçãoOtimização

6 A Aula de Hoje Nesta aula abordademos:Nesta aula abordademos: –Solução de sistema de equações algébricas (raízes) –Solução numérica de EDO com condições iniciais –Solução numérica de EDO com condições de contorno –Solução numérica de EDP –Interpolação

7 Software Usaremos o Matlab que combina uma linguagem de programação de alto nível com bibliotecas de programas de diversas áreas do conhecimento. Esta característica facilita a implementação de soluções numéricas.Usaremos o Matlab que combina uma linguagem de programação de alto nível com bibliotecas de programas de diversas áreas do conhecimento. Esta característica facilita a implementação de soluções numéricas.

8 Objetivo da Aula Resolver numericamente problemas matemáticos provenientes da modelagem de processos ou equipamentos.Resolver numericamente problemas matemáticos provenientes da modelagem de processos ou equipamentos.

9 Reator Continuo em Estado Estacionario O modelo é: os programas usados para resolver são: reator e cstrreator e cstrreatorcstrreatorcstr

10 Simulação de um tanque de nivel O tanque de nivel está representado pela equação: os programas usados para resolver são:edo, nivel e tanque. edoniveltanqueedoniveltanque

11 Pellet de Catalisador O pellet está representado pela equação: os programas para solução numérica sãopell e pellet pellpelletpellpellet

12 Matemática simbólica Em uma calculadora a linha de comando y=sin(x) dará erro se não for atribuído previamente um valor a x

13 Em cálculo simbólico é possível operar expressões como sin(x) sem atribuir valores numéricos às variáveis.Em cálculo simbólico é possível operar expressões como sin(x) sem atribuir valores numéricos às variáveis. Ex: Cálculo da derivada de sin(x) >>syms x >>f=sin(x)>>diff(f)>> cos(x) cos(x)

14 Outros exemplos Determinante de uma matriz simbólica syms a b c d syms a b c d M= [a,b;c,d]; M= [a,b;c,d]; det(M) det(M)Integral f=int(x^3/sqrt(1-x),a,b) f=int(x^3/sqrt(1-x),a,b)

15 Conversão de variáveis Para converter uma variável simbólica em numérica usa-se doublePara converter uma variável simbólica em numérica usa-se doubleEx: phi=sym((1+sqrt(5))/2) phi=sym((1+sqrt(5))/2) double(phi) double(phi)

16 Substituição de variáveis Para substituir uma variável em uma expressão simbólica usa-se subsPara substituir uma variável em uma expressão simbólica usa-se subsEx: syms s f=a*x^2+b*x+csubs(f,x,s)

17 Derivação Para derivação analítica utiliza-se a função diffPara derivação analítica utiliza-se a função diffEx: f=a*x^3+b*x^2-x+c f=a*x^3+b*x^2-x+c diff(f,b,2)%deriva em relação a b duas vezes diff(f,b,2)%deriva em relação a b duas vezes

18 Integração Para integração analítica utiliza-se a função intPara integração analítica utiliza-se a função intEx: syms m n syms m n f=sin(s+2*x) f=sin(s+2*x) int(f,s,m,n) int(f,s,m,n)

19 Resolução de equações algébricas Um sistema de equações algébricasUm sistema de equações algébricas syms u c d v syms u c d v e2=u-c+d+v-10 e2=u-c+d+v-10 e1=d+(c+u)/2-v e1=d+(c+u)/2-v e3=v+d-u+c/4 e3=v+d-u+c/4 e4=v+u-c+8*d-1 e4=v+u-c+8*d-1 resolve-se usando solve(e1,e2,e3,e4) solve(e1,e2,e3,e4)

20 Resolução de equações diferenciais Uma equação diferencial pode ser resolvida usando a função dsolveUma equação diferencial pode ser resolvida usando a função dsolveEx:y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0','y(0)=0','y(1)=1') tentar também y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0')

21 Formatação e simplificação Para simplificar expressões usa-se a função simple f= (1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3) y=simple(f) e para melhorar a apresentação usa-se pretty(y)

22 Representação gráfica Para representar graficamente uma expressão simbólica como:Para representar graficamente uma expressão simbólica como: syms t syms t y=-5*t^2+20*t+30 y=-5*t^2+20*t+30 ezplot(y) ezplot(y)

23 Simulação de um tanque de nível O tanque de nível está representado pela equação: A solução analítica pode ser calculada como: h=dsolve( ' Dh=q/A-Cv*h ' ) h=dsolve( ' Dh=q/A-Cv*h ' ) e a solução pode ser observada usando pretty(h) pretty(h)

24 Para representar graficamente usa-se a função ezplot, mas antes devem ser substituídos os valores de q,A,C1 e Cv h=subs(h, 'q',2) h=subs(h, 'q',2) h=subs(h, 'C1',5) h=subs(h, 'C1',5) h=subs(h, 'Cv',1) h=subs(h, 'Cv',1) h=subs(h, 'A',10) h=subs(h, 'A',10) ezplot(h) ezplot(h)

25 Problema Proposto Resolver y-xy-y=0 Para resolver y=dsolve('D2y-x*Dy-y=0','y(0)=1','Dy(0)=2', 'x') y=dsolve('D2y-x*Dy-y=0','y(0)=1','Dy(0)=2', 'x') Para representar graficamente ezplot(y) ezplot(y)

26 Pellet de Catalisador O pellet está representado pela equação: E a linha de comando para resolver é: Ca=dsolve('x^2*D2y+x*Dy-x^2*y*k=0','Dy(0)=0','y(R)=Cas','x')Ca=subs(Ca,'Cas',1)Ca=subs(Ca,'k',1)Ca=subs(Ca,'R',1)plot(1/besseli(0,1)*besseli(0,[0:0.01:1]))

27 Exemplos

28 Soluções caso1caso1 y=dsolve('Dy=1+y^2','x') y=dsolve('Dy=1+y^2','x') caso2caso2 y=dsolve('2*x*y*Dy-y^2+x^2=0','y(1)=1','x') y=dsolve('2*x*y*Dy-y^2+x^2=0','y(1)=1','x') ezplot('(-x^2+2*x)^(1/2)') ezplot('(-x^2+2*x)^(1/2)')

29 Problemas sugeridos

30

31

32

33

34


Carregar ppt "Prof. Nestor Roqueiro Laboratório de Controle de Processos EQA - UFSC Aplicações de Métodos Matemáticos."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google