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Funções. Iremos estudar: Função do 1° grau Função do 1° grau Função do 2° grau Função do 2° grau Exponencial Exponencial Logarítmica Logarítmica.

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1 Funções

2 Iremos estudar: Função do 1° grau Função do 1° grau Função do 2° grau Função do 2° grau Exponencial Exponencial Logarítmica Logarítmica

3 Função do 1º grau Definição Definição Valor numérico Valor numérico Gráficos Gráficos Raiz ou Zero da Função Raiz ou Zero da Função Função crescente e decrescente Função crescente e decrescente Análise gráfica da função Análise gráfica da função Ponto de Interseção Ponto de Interseção Situação problema Situação problema

4 Funções Polinomiais do 1º Grau (Função Afim)

5 Definição Toda função polinomial da forma f(x) = ax + b, com, é dita função do 1° grau. Ex.: f(x) = 3x – 2; a = 3 e b = - 2 f(x) = - x + ½; a = -1 e b = ½ f(x) = - x + ½; a = -1 e b = ½ f(x) = -2x; a = -2 e b = 0 f(x) = -2x; a = -2 e b = 0

6 Casos Especiais de funções Função linearb = 0, p.e., f(x) = 3x Função linearb = 0, p.e., f(x) = 3x Função Identidadeb = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x Função Identidadeb = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x Função constante a = 0, p.e., f(x) = 3 Função constante a = 0, p.e., f(x) = 3

7 Valor numérico da função Dada a função f(x) = -2.x+3 Dada a função f(x) = -2.x+3 Calcule a) f(-4) = ? b) f(x) =13 Calcule a) f(-4) = ? b) f(x) =13 f(x) = -2.(x)+3 f(-4) = -2(-4)+3 f(-4) = 8+ 3 f(-4) = 11 Solução a)Solução b) f(x) = -2.(x)+3 13 = -2(x) = -2(x) -2x=10 => x =-5

8 Exemplo aplicação V.N 1°) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4)=20.

9 2°) Dada a função f(x) = ax + b, com a diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(-2) = - 5, calcule f(1/2). f(3)=5:a.3 + b =5 f(3)=5:a.3 + b =5 f(-2) = - 5:a.(-2) + b = -5 f(-2) = - 5:a.(-2) + b = -5

10 Resolvendo o sistema pelo método da adição temos 1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação por (-1) e somar as equações Calculando valor de b por substituição Logo, a função é f(x)= 2x – 1. Assim, f(1/2)=2.(1/2) - 1 f(1/2)= 1 – 1 f(1/2) = 0

11 Há uma outra forma de resolver esse tipo de exercício, quando se conhece os valores da função em dois pontos distintos A(x,y) e B(x,y). O valor de a na função de primeiro grau é chamado de coeficiente angular ou inclinação da reta. Seu valor é obtido pela expressão. a =a = y1-y2 x1-x2

12 Voltando a questão, quem seria esses valores? Temos que f(3) = 5 => A(3,5 ) e f(-2) = - 5 => B(-2,-5) Logo, Substituindo a=2 na expressão da função do 1º grau e utilizando uma das coordenadas A(3,5) temos que: y=ax+b => 5 =(2).(3)+b => 5 = 6 +b 5-6=b = > b=-1 => função y = 2x-1 Então,

13 Raiz ou zero da função É representada pelo ponto em x, onde y =0 ou no gráfico o ponto em x, onde a reta corta o eixo x É representada pelo ponto em x, onde y =0 ou no gráfico o ponto em x, onde a reta corta o eixo x y = x – 2 0 = x-2 x=2 Raiz = 2 Algebricamente temos: Graficamente temos: Raiz

14 Gráficos Toda gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Estudaremos como essa reta vai se comportar através de cada função.

15 Como fazer um gráfico Para construir um gráfico cartesiano de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y, elaborando uma tabela de valores (x,y)

16 Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x – 2 X y=x = = 1

17 2° método: 1° passo: iguale a função a zero. O valor de x que você achar é que passará no eixo do x. 1° passo: iguale a função a zero. O valor de x que você achar é que passará no eixo do x. 2° passo: o valor de b (coeficiente linear) é o ponto que toca no eixo do y. 2° passo: o valor de b (coeficiente linear) é o ponto que toca no eixo do y. x – 2 = 0 x = 2 b = - 2

18 Numa residência o consumo de água foi de Numa residência o consumo de água foi de 25 m 3. Utilizando a tabela de tarifas da Sabesp pede-se : O valor desse consumo; o gráfico que representa esse consumo. Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença

19 Construindo a tabela de valores para o consumo de 25 m 3 de água consumovalor 011, Até 10 m 3 Acima de 10 até 20 m 3 consumovalor 11 12, , , 79

20 Acima de 20 até 25 m 3 consumovalor 2129, , ,75 Continuação da construção da tabela de consumo

21 Construindo o gráfico de consumo para cada faixa Faixa até 10 m 3 Acima de 10 até 20 m 3

22 Continuação da construção de gráficos por faixa de consumo Acima de 20 até 25 m 3

23 Gráfico do consumo com as três faixas de consumo, até 25 m 3

24 Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença XY12 23

25 Crescimento de decrescimento de uma função Uma função será crescente quando a>0 Uma função será decrescente quando a<0 Exemplo: f(x) = 2x+1a = 2crescente f(x) = -3x+2a = -3decrescente Função constante não existe variação de valor em y, quando a = o Exemplo y = 3 a=0

26 Análise do gráfico de uma função Função constante f1f1 f4f4 Função crescente Função decrescente f2f2 f3f3 Raiz ou zero 5

27 Exemplos de gráficos de função crescente(a) e de função decrescente(b) Exemplos de gráficos de função crescente(a) e de função decrescente(b) Gráfico a Gráfico b

28 Ponto de Intersecção de funções É o ponto onde o valor de x e y são os mesmos para as duas funções. Esse ponto é obtido quando igualamos o valor de y da função1 com o valor de y da função 2. É o ponto onde o valor de x e y são os mesmos para as duas funções. Esse ponto é obtido quando igualamos o valor de y da função1 com o valor de y da função 2.

29 Uma caixa com 80 litros de água, esvazia 2 litros de água por minuto, em quanto uma outra caixa com 30 litros, enche de água a razão de 3 litros por minuto.Se as duas caixas trabalham ao mesmo tempo,após quanto tempo as caixas terão os mesmos volumes. Qual é esse volume? Uma caixa com 80 litros de água, esvazia 2 litros de água por minuto, em quanto uma outra caixa com 30 litros, enche de água a razão de 3 litros por minuto.Se as duas caixas trabalham ao mesmo tempo,após quanto tempo as caixas terão os mesmos volumes. Qual é esse volume? Situação Problema

30 Graficamente temos tempo(mim)v1=80-2.tv2=30+3t Construindo a tabela de valores

31 Representação gráfica do ponto de intersecção

32 Cálculo algébrico do ponto de intersecção Algebricamente temos v1 = v2 então: Algebricamente temos v1 = v2 então: 80-2t = 30+3t => 80-30=3t+2t => 50 = 5t => t = 50/5 => t =10 mim 80-2t = 30+3t => 80-30=3t+2t => 50 = 5t => t = 50/5 => t =10 mim calculando o volume v1 = 80-2(10) calculando o volume v1 = 80-2(10) => v1 = => v1 = => v1 = 60 m3 => v1 = 60 m3


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