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Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana Análise Espacial - INPE Ilka Afonso Reis.

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Apresentação em tema: "Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana Análise Espacial - INPE Ilka Afonso Reis."— Transcrição da apresentação:

1 Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana Análise Espacial - INPE Ilka Afonso Reis

2 Taxas em pequenas áreas y i é o número de casos da doença na área i ; e i é o número esperado de casos da doença na área i ; ρ i é o risco relativo (desconhecido) da doença em relação à taxa de referência ; (padronização) (padronização) Taxa bruta : Quanto menor o n o. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

3 Qual é o problema com taxas brutas ? Suponha uma doença com r = 0,10 e acontece um caso em cada área (y = 1) Se Pop 1 = 10000, e 1 = 0,10 x = 1000 Se Pop 2 = 1000, e 2 = 0,10 x 1000 = 100 Se Pop 3 = 100, e 3 = 0,10 x 100 = 10 p 1 =1/10000 = 0,0001 e Var(p 1 ) = 1/ = 1 x p 2 =1/1000 = 0,001 e Var(p 2 ) = 1/ = 1 x p 3 =1/100 = 0,01 e Var(p 3 ) = 1/100 2 = 1 x 10 -4

4 Qual é o problema com taxas brutas ? Taxa brutaTaxa suavizada

5 Solução para o problema das taxas brutas Suavizar as taxas Como ? Estimadores Bayesianos Empíricos Completos

6 Uma Breve Introdução à Inferência Bayesiana Probabilidade Condicional Teorema de Bayes Verossimilhança Probabilidade a priori Probabilidade a posteriori

7 Um exemplo : medidas de qualidade de testes diagnósticos Doente (D) Positivo (+|D) Negativo (-|D) Sadio (S) Positivo (+|S) Negativo (-|S)

8 Avaliação da qualidade do teste Acertos : Entre os doentes Entre os sadios Sensibilidade (s) Especificidade (e)

9 Avaliação da qualidade do teste Resultado do teste Padrão-ouro Total DoenteNão Doente Positivo Negativo Total

10 Avaliação da qualidade do diagnóstico Acertos : Entre os positivos Entre os negativos Valor de Predição Positiva (VPP) Valor de Predição Negativa (VPN)

11 Avaliação da qualidade do diagnóstico Regra de Bayes

12 Enfim... Probabilidade a priori Probabilidade a posteriori Verossimilhança

13 Conceitos Básicos e Notação Dados : provenientes de uma amostra da população de interesse y = (y 1, y 2,..., y n ) P(y), distribuição de probabilidade conjunta de y. Parâmetros: quantidades, em geral desconhecidas, que estão presentes nos modelos probabilísticos para y e serão representadas por. P(y| ), função de verossimilhança de y.

14 Exemplo : estimação de taxas y i, casos da doença na área i e i, número de casos esperados na área i segunda a taxa de referência Parâmetros a serem estimados ρ i : o risco relativo (desconhecido) da doença em relação à taxa de referência e i ρ i representa o número de casos esperados (média) na área i Na inferência clássica, boas estimativas para ρ i são os valores que maximizam a função de verossimilhança P(y|ρ i ). Estes valores são a estimativa de máxima verossimilhança O modelo para os dados é a função de verossimilhança P(y| ). Modelo : y i Poisson(e i ρ i )

15 O Método da Máxima Verossimilhança Na inferência clássica, os parâmetros de um modelo são tratados como quantidades fixas (não aleatórias), porém desconhecidas. O método da máxima verossimilhança é considerado bom em muitos casos. Porém, quando a forma de P(y| ) é complexa e/ou quando o número de parâmetros envolvidos é grande, este método torna-se difícil de implementar.

16 A abordagem Bayesiana Na inferência Bayesiana, os parâmetros são tratados como quantidades aleatórias. O modelo estatístico não é mais somente P(y| ) e sim P(y, ), a distribuição conjunta dos dados y e dos parâmetros. As estimativas para não serão somente valores, mas sim uma distribuição de probabilidades. P( |y) é a distribuição de probabilidades dos parâmetros à luz dos dados y.

17 A abordagem Bayesiana Como obter P( |y) ? Probabilidade a priori Probabilidade a posteriori Verossimilhança Pela Regra de Bayes

18 P( ) expressa a incerteza sobre antes de observarmos os dados y que dependem dele (a priori). P( |y) expressa a incerteza sobre depois de observarmos os dados y que dependem dele (a posteriori). De posse de P( |y), podemos examinar qualquer aspecto de (média, variância, percentis, probabilidade de assumir determinados valores, etc.) (Full Posterior Distribution) A abordagem Bayesiana

19 Passos para obtenção de P( |y) 1. Escolher um modelo probabilístico para P(y| ) – a função de verossimilhança; 2. Escolher um modelo probabilístico para P( ) – a distribuição a priori ; 3. Aplicar a regra de Bayes e calcular P( |y).

20 Exemplo : modelo Gamma-Poisson y é o número de casos da doença em certa área ; e é o número esperado de casos da doença em certa área; ρ é o risco relativo (desconhecido) da doença em relação à taxa de referência nesta área; Modelo para P(y| ) : y ~ Poisson (e )

21 Exemplo : modelo Gamma-Poisson Modelo para P( ) : ~ Gamma (, )Gamma Cálculo da posteriori P( |y) hiperparâmetros |y ~ Gamma ( + y, + e ) Gamma

22 Exemplo : modelo Gamma-Poisson Priori´s : Gamma ( 0.5, 0.5 ), Gamma ( 1,1 ) e Gamma ( 10,10 ) Suponha que y = 4 e e = 6.5 Posteriori´s : Gamma ( 4.5, 7.0 ), Gamma (5,7.5 ) e Gamma(14,16.5)

23 Exemplo : modelo Gamma-Poisson Priori Quantis a posterioriMédia a posteriori Gamma (0.5,0.5) Gamma (1, 1) Gamma (10, 10) Intervalo de Credibilidade de 95%

24 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

25 Modelo geral y i Poisson(µ i ) = Poisson(e i ρ i ) y i é o número de casos da doença na área i ; e i é o número esperado de casos da doença na área i ; ρ i é o risco relativo (desconhecido) da doença em relação à taxa de referência ; (padronização) (padronização) log µ i = log e i + θ i ; θ i denota o log do risco relativo (θ i = log ρ i, ou seja, ρ i = exp(θ i ) ) Modelo de efeitos fixos (máxima verossimilhança) Quanto menor o n o. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

26 Qual é o problema com taxas brutas ? Taxa brutaTaxa suavizada

27 Qual é o problema com taxas brutas ? Taxa brutaTaxa suavizada

28 Qual é o problema com taxas brutas ? Taxa brutaTaxa suavizada

29 Modelo de efeitos aleatórios ρ i Gamma(ψ i, i ) µ ρ = ψ i / i e σ 2 ρ = ψ i / i 2 ;Gamma Gamma + Poisson = Gamma ; P(ρ i |y) Gamma(ψ i + y i, i + e i ). Quanto maior o número de dados, mais próximo de y i /e i estará a estimativa do risco relativo ; Quanto menor o número de dados, mais próximo de ψ i / i estará a estimativa de risco relativo. Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

30 Os parâmetros ψ i e i são os hiperparâmetros. Como saber quem ψ i e i ? Podem ser estimados (Bayes empírico) ;Bayes empírico Exemplo: Mersey priorihiperprioris P(ρ, ψ, |y) P(y|ρ)P(ρ|ψ, )P(ψ)P( ) Pode-se estabelecer uma distribuição a priori para ψ e φ (hiperprioris).

31 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo espacialmente estruturado (abordagem completa) y i Poisson(µ i ) = Poisson(e i ρ i ) log µ i = log e i + θ i ; θ i = log ρ i θ i = α + i + i, onde α é o log do risco relativo médio sobre todas as áreas ; i é a parte não-espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i ; (média zero) i é a parte espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i;

32 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Prioris : α ~ Uniforme [- ; ] (flat) i ~ Normal ( 0 ; 2 )Normal A priori para ν i é um modelo autoregressivo condicional Gaussiano (CAR) w ij são pesos representando a adjacência das áreas. A definição mais comum para w ij são valores binários : w ij = 1, se as áreas i e j são adjacentes; w ij = 0, caso contrário.

33 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo completo y i Poisson(µ i ) = Poisson(e i ρ i ) log µ i = log e i + α + i + i α ~ Uniforme [- ; ] i ~ Normal ( 0 ; 2 ) ν i ~ CAR( 2 ) Hiperprioris Gamma para τ = 1/ 2 e para τ = 1/ 2 (τ e τ representam a precisão) Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial)

34 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Leishmaniose Visceral Humana (BH – 1994/95) Taxa brutaTaxa suavizadaTaxa brutaTaxa suavizadaTaxa brutaTaxa suavizada

35 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

36 Modelo espaço-temporal y i Poisson(µ i ) = Poisson(e i ρ i ) log µ i = log e i + θ i ; θ i = log ρ i θ i = α + i + i + 0 t + i t, onde α, i e i são definidos como antes ; 0 ~ Uniforme [- ; ] e i ~ CAR( 2 ) representam a parte temporal do modelo Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial_temporal)

37 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Previsão para o quarto período Modelo: N o. de parâmetros : 365 Tempo de simulação de iterações: 112 segundos AMD Athlon XP GHz 512 Mb RAM

38 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo espaço-temporal (alternativo) y i Poisson(µ i ) = Poisson(e i ρ i ) log µ i = log e i + θ i ; θ i = log ρ i Modelo linear para θ i θ i = α 0 + α i + i (t-1), onde α 0 ~ Uniforme [- ; ] α i ~ CAR( 2 α ) e i ~ CAR( 2 β ) são parâmetros de uma equação de regressão ; Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)

39 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Previsão para o quarto período Modelo linear N o. de parâmetros : 243 Tempo de simulação de iterações: 51 segundos

40 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo espaço-temporal (alternativo) y i Poisson(µ i ) = Poisson(e i ρ i ) log µ i = log e i + θ i ; θ i = log ρ i θ i = α 0 + α i + i (t-1) + i (t-1) 2, onde α 0, α i e i são definidos como antes ; i ~ CAR( 2 ) ; Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)

41 Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Previsão para o quarto período Modelo quadrático N o. de parâmetros : 364 Tempo de simulação de iterações: 69 segundos

42 Referências Bibliográficas Assunção, R. M. ; Reis, I. A. ; Oliveira, C. L. Diffusion and Prediction of Leishmaniasis in a Large Metropolitan Area in Brasil with a Space-Time Model. Statistics in Medicine (2001), 20 : pp Spiegelhalter, D. ; Thomas, A. ;Best, N. ;Lunn, D. WinBUGS User Manual, (References), version 1.4, (2003)

43 Back-up slides

44 Bayes Empírico y i Poisson(µ i ) = Poisson(e i ρ i ) ρ i Gamma(ψ i, i ) E[ρ i ] = ψ i / i e Var[ρ i ] = ψ i / i 2 E[y i ] = E ρ [E y [y i | ρ i ]] = E ρ [e i ρ i ] = e i ψ i / i Var [y i ] = E ρ [Var y [y i | ρ i ]] + Var ρ [E y [ y i | ρ i ]] = e i ψ i / i + (e i ) 2 ψ i / i 2 Pelo Método dos Momentos Então

45 O que nos leva a Igualando (1) e (2), temos Bayes Empírico

46 Padronização direta das taxas r é taxa de referência da doença; Pop i é a população sob risco da área i ; e i = r x Pop i, é o número esperado de casos na área i ; i é o risco da doença na área i ; ρ i = i / r é o risco relativo (desconhecido) da doença em relação à taxa de referência ; e i x ρ i = (r x Pop i ) x ( i / r) = Pop i x i ;

47 Cálculo da posteriori P( |y)

48 Distribuição Gaussiana (Normal) - < y i <, - < < > 0, y = (y 1, y 2,..., y n ) y 1, y 2,..., y n i.i.d

49 Distribuição Beta

50 Distribuição Gamma (, )

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