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UNIFRA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DE PRISMAS E PIRÂMIDES: O COMPUTADOR COMO UMA FERRAMENTA DE APOIO Aluna – Angélica Menegassi da Silveira Orientadora.

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1 UNIFRA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DE PRISMAS E PIRÂMIDES: O COMPUTADOR COMO UMA FERRAMENTA DE APOIO Aluna – Angélica Menegassi da Silveira Orientadora – Profª. Drª Eleni Bisognin Co-Orientadora – Profª. Drª Silvia Maria de Aguiar Isaia PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA ÁREA DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICAS Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática

2 UNIFRA APRESENTAÇÃO Neste CD são apresentadas atividades desenvolvidas com uma turma do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola pública. O conteúdo abordado refere-se à Geometria Espacial destacando o estudo de Prismas e Pirâmides. Para o desenvolvimento das atividades utilizou-se o software Cabri3D.

3 UNIFRA Ambiente rico de imagens, sons e animações, fornecendo dessa maneira, um estudo mais dinâmico; Permite que o aluno experimente, construa, interprete, visualize situações relativas ao conteúdo de sala de aula; Diante do computador os alunos procuram as soluções para os problemas e dessa maneira constroem o próprio conhecimento. A importância do uso de Softwares Educacionais

4 UNIFRA As atividades foram desenvolvidas Com 14 alunos da 3ª série do Ensino Médio; Alunos que possuem dificuldades na compreensão de conteúdos matemáticos, principalmente nos conteúdos de sólidos geométricos; No Laboratório de informática da escola equipado com 15 computadores; No turno inverso ao da aula normal.

5 UNIFRA SEQUÊNCIA DAS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

6 UNIFRA ATIVIDADE 1.1 O objetivo dessa atividade é que o aluno reconheça visualmente os seguintes elementos dos paralelepípedos: forma geométrica das bases, arestas, vértices, ângulos, faces laterais, diagonais e diagonais das faces. Introdução aos Estudo de Prismas: Cubo e Paralelepípedo Retângulo SESSÃO 1

7 UNIFRA 1.1 Analise os sólidos S1 e S2 e responda as seguintes questões: Clique Aqui para Acessar a Atividade no Cabri3D (a) Qual é a forma geométrica da base de S1 e S2? (b) Como se classificam esses sólidos quanto a forma geométrica da base? (c) Qual é a forma geométrica das faces laterais de cada um dos sólidos? (d) Quantas faces cada um dos sólidos S1 e S2 possuem? (e) Identifique os vértices de S1 e S2 e determine quantos são. (f) Identifique as arestas laterais e as arestas da base de S1 e S2 e determine quantas são. (g) Quantas arestas cada vértice tem em comum? Comentário

8 UNIFRA Verifique nas figuras abaixo se: (h) As arestas laterais de S1 e S2 possuem a mesma medida. (i) As medidas dos ângulos formados pelas arestas laterais de cada face de S1 e S2 com o plano da base são iguais. Comentário

9 UNIFRA (j) Desenhe as diagonais de S1 e S2 e determine quantas são. (k) Verifique a medidas das diagonais. Todas possuem a mesma medida? (l) Desenhe as diagonais das faces de S1 e S2. (m) Verifique se as diagonais possuem a mesma medida. (n) Construa os pontos médios das arestas AB, BC, CG, HG, EH, AE. Qual é o polígono formado pela união dos pontos dessas arestas? Os polígonos formados são regulares? Justifique. Comentário

10 UNIFRA Comentário Cada cor representa uma face do sólido, S1 e S2 possuem 6 faces, 4 arestas laterais, 4 arestas em cada base, 8 vértices e cada vértice possui 3 arestas em comum.

11 UNIFRA Os sólidos S1 e S2 são paralelepípedos retos e o ângulo formado entre a aresta lateral e o plano da base é de 90 graus.

12 UNIFRA Pode-se construir as diagonais de S1 e S2, como mostra a figura abaixo, e concluir que possuem 4 diagonais.

13 UNIFRA A figura abaixo mostra a construção das diagonais das faces de S1 e S2. S1S1 S2S2

14 UNIFRA Unindo os pontos médios das arestas do cubo constrói-se um hexágono regular. O mesmo acontece no paralelepípedo retângulo?

15 UNIFRA ATIVIDADE 1.2 O propósito dessa atividade é que o aluno utilize as noções de paralelismo e perpendicularismo para identificar as arestas e as faces paralelas e perpendiculares do cubo e do paralelepípedo.

16 UNIFRA 1.2 Observe o cubo S1 e o paralelepípedo retângulo S2 e responda as seguintes questões: (a)Identifique as faces de S1 e S2 que são paralelas entre si. Justifique. (b) Identifique as arestas de S1 e S2 que são paralelas à aresta AD. Justifique. Clique Aqui para Abrir a Atividade no Cabri3D Comentário

17 UNIFRA (c) Identifique as faces de S1 e S2 que são perpendiculares entre si. Justifique. (d) Identifique as arestas de S1 e S2 que são perpendiculares à aresta BC. Justifique. (e) As diagonais de cada face de S1 e S2 são perpendiculares entre si? Justifique. Comentário

18 UNIFRA (f) Construa os segmentos unindo os vértices: A, C, H e A de S1 e S2 e responda: (i) Qual a medida dos ângulos EÂC, HÂC e EÂH ? (ii) A afirmação EÂC+ HÂC= EÂH é verdadeira? (iii) Os segmentos construídos anteriormente são diagonais da face? (iv) Qual é a forma geométrica da figura formada pela união destes segmentos? (g) Construa os segmentos unindo os vértices B, G, H e B de S1 e S2 e responda: (i) Qual dos segmentos construídos é a diagonal do sólido? (ii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus ângulos? (iii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus lados? Comentário

19 UNIFRA Comentário Na construção do cubo e do paralelepípedo retângulo as faces paralelas estão em destaque.

20 UNIFRA As arestas FG e EH, destacadas na figura são paralelas à aresta AD.

21 UNIFRA As faces em destaque são perpendiculares.

22 UNIFRA Pode-se justificar o perpendicularismo observando as arestas que formam 90º com a aresta BC.

23 UNIFRA As diagonais do cubo são perpendiculares e congruentes entre si. Essa mesma propriedade não é válida para o paralelepípedo retângulo. ADRIANA ESTE LINK DEVE VOLTAR PARA O SLIDE 24,ELE VAI LÁ PARA PIRÂMIDES

24 UNIFRA Basta construir os segmentos: CH e AH e medir os ângulos: EÂC, HÂC e EÂH para concluir que EÂH=45°, HÂC=60° e EÂC=90° para concluir que a afirmação é falsa.

25 UNIFRA ATIVIDADE 1.3 O propósito da Atividade 1.3 é trabalhar o conceito de área de superfície do cubo e do paralelepípedo retângulo.

26 UNIFRA 1.3 Construa a planificação do cubo e do paralelepípedo retângulo para responder as seguintes questões: (a) Qual é a forma geométrica das faces? Justifique sua resposta. (b) Qual é a medida da área de cada uma das faces? (c) Qual é a medida da superfície do cubo?E do paralelepípedo retângulo? (d) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta é duplicada? (e) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta é triplicada? (f) Há uma proporcionalidade entre a medida da área da superfície do cubo e a medida da aresta? Clique Aqui para Abrir a Planificação do Cubo no Cabri3D Comentário

27 UNIFRA Comentário Planificação do Cubo. Basta observar que o cubo possui 6 faces quadradas para encontrar a área da superfície. Se a medida da aresta duplica ou triplica o mesmo não acontece com a medida da área da superfície do cubo, portanto, não há relação de proporcionalidade entre as medidas.

28 UNIFRA Planificação do Paralelepípedo Retângulo. Para calcular a área da superfície do paralelepípedo retângulo basta somar as áreas dos retângulos. Se a medida da altura do paralelepípedo duplicar ou triplicar a área da superfície não aumenta proporcionalmente.

29 UNIFRA ATIVIDADE 1.4 O propósito dessa atividade é explorar a noção de volume de um cubo e de um paralelepípedo retângulo e estabelecer algumas relações entre a medida do volume e a medida das arestas.

30 UNIFRA 1.4 Determinação do volume do cubo e do paralelepípedo retângulo. (a) Analise a construção do sólido formado pelos cubinhos medindo 1cm cúbico e responda: (i) Quantos cubinhos unitários há no sólido? Qual é o volume de cada cubinho? (ii) Qual é o volume do sólido formado pelos cubinhos? Justifique. (iii) Se as arestas do cubinho medem 2 cm, qual é o volume do cubo?

31 UNIFRA (b) Analise a construção do sólido formado pelos cubinhos de 1 cm de aresta e responda: (i) Quantos cubos unitários há no sólido? (ii) Qual é o volume do sólido formado pelos cubinhos? Justifique

32 UNIFRA (c) Analise a construção do paralelepípedo e responda: (i) Qual o volume do paralelepípedo? (ii) Se a medida da aresta da base do paralelepípedo for duplicada e a medida da altura permanecer a mesma, qual é o volume do paralelepípedo? (iii) Se a medida da aresta da base for triplicada e a medida da altura permanecer a mesma, o que acontece com o volume? (iv) Se a medida de todas as arestas duplicar o que acontece com o volume do paralelepípedo? (v) Se a medida de todas as arestas triplicar o que acontece com o volume do paralelepípedo?

33 UNIFRA Demais Prismas ATIVIDADE 2.1 Pretende-se nesta atividade verificar se o aluno ao visualizar e identificar os elementos de um sólido é capaz de classificá-lo, verificar a forma geométrica das faces laterais e da base e concluir se é válido o teorema de Euler, simplesmente identificando a validade de seu resultado. SESSÃO 2

34 UNIFRA (a) Considere os sólidos geométricos: (i) Identifique com a cor amarela os vértices dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. (ii) Identifique com a cor vermelha as arestas laterais dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. (iii) Identifique com a cor verde as arestas das bases dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. (iv) Identifique com a cor rosa as faces laterais dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. Clique Aqui para Abrir a Construção Apresentada no Cabri3D Comentário

35 UNIFRA (b) Preencha as lacunas abaixo: S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5 S6S6 S7S7 (i) N º de v é rtices (ii) N º de arestas laterais (iii) N º de faces laterais (iv) N º de arestas das bases

36 UNIFRA Comentário Pode-se identificar nos sólidos os elementos: vértices, arestas laterais, arestas da base, faces laterais e as bases dos sólidos conforme mostrado na figura abaixo.

37 UNIFRA SESSÃO 2- Demais Prismas ATIVIDADE 2.2 O propósito dessa atividade é calcular a área da superfície lateral e da superfície total dos prismas efetuando as planificações.

38 UNIFRA (a) Considere os prismas: (i) Utilizando a cor rosa identifique as forma geométrica das faces laterais de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. Justifique sua resposta.

39 UNIFRA b) Utilizando a cor verde identifique a forma geométrica da base de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7 e preencha as lacunas abaixo: c) Classifique os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7 de acordo com a forma geométrica da base. S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5 S6S6 S7S7 Forma Geom é trica da Base S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5 S6S6 S7S7 Classifica ç ão de Acordo com a Forma Geom é trica da Base Comentário

40 UNIFRA d) Verifique se é verdadeira a igualdade V-A+F=2 para os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7. Conjectura: Esta relação é válida para todos os sólidos? e) Qual é a medida do ângulo formado pelas arestas laterais com as arestas da base de cada um dos sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7? Justifique sua resposta. f) Um prisma é regular se suas bases são polígonos regulares e suas faces laterais são perpendiculares às bases. Quais dos prismas analisados são regulares? Comentário

41 UNIFRA Comentário Pode-se classificar os sólidos de acordo com a forma geométrica da base de cada um: S1 é um prisma triangular regular, pois sua base é um triângulo eqüilátero, S2 é um prisma pentagonal regular, pois sua base é um pentágono regular, S3 é um prisma hexagonal regular, pois sua base é um hexágono regular S4 é um prisma triangular oblíquo, S5 é um prisma triangular, S6 é um prisma quadrangular oblíquo e S7 é um paralelepípedo conforme mostra a figura abaixo:

42 UNIFRA Os prismas S1, S4 e S5 possuem 6 vértices, 9 arestas e 5 faces, portanto é válida a relação de Euler, 6-9+5=2. Análises semelhantes podem ser feitas para os demais prismas. O sólido não convexo abaixo, mostra que para os sólidos não convexos a relação de Euler não é válida.

43 UNIFRA ATIVIDADE 2.3 O propósito dessa atividade é calcular a área da superfície lateral e total dos prismas S1, S2, S3 e S4 efetuando as planificações.

44 UNIFRA (a) Considere os prismas abaixo: Em cada um dos prismas una os vértices da base ao centro da base: (i) Qual é a forma geométrica de cada figura obtida? (ii) Quantas figuras foram obtidas em cada sólido? (iii) Qual é a medida dos lados da figura obtida em cada sólido? (iv) Os lados da figura obtida têm a mesma medida da aresta da base do prisma? (v) Determine a área da figura obtida de cada prisma. Comentário

45 UNIFRA b) Faça as planificações dos prismas S1,S2, S3 e S4 c) Determine a área das faces laterais dos prismas. d) Determine a área da superfície total de cada um dos prismas. Comentário

46 UNIFRA Comentário Unindo os vértices da base ao centro obtém- se as seguintes figuras:

47 UNIFRA As bases dos sólidos S1, S3 e S4 são formados respectivamente por 3, 6 e 4 triângulos.

48 UNIFRA Planificação dos prismas:

49 UNIFRA ATIVIDADE 2.4 O propósito dessa atividade é calcular o volume de um prisma.

50 UNIFRA (a) Observe os prismas S1 e S2 O prisma S1 possui uma altura de 3,5 cm e área da base 9 cm2 e, o prisma S2 (paralelepípedo retângulo), possui uma altura de 3,5 cm e área da base 9 cm2. As bases de S1 e S2 são construídas num mesmo plano. β α

51 UNIFRA Como a área da base e a altura dos dois prisma são congruentes, podemos afirmar que os dois sólidos possuem o mesmo volume? Como podemos calcular o volume do prisma pentagonal e do prisma hexagonal? Comentário

52 UNIFRA Comentário Observa-se na figura que a medida da área da base e da altura são as mesmas para os dois sólidos, portanto o volume do prisma e o volume do paralelepípedo são iguais. Isto é o que diz o Princípío de Cavallieri. Princípio de Cavallieri: Sejam S1 e S2 dois sólidos quaisquer. Se todo plano horizontal ß secciona S1 e S2 segundo figuras planas de mesma área, então o volume de S1 é igual ao Volume de S2. Conclusão: O volume do prisma S1 é determinado do mesmo modo que o volume do paralelepípedo.

53 UNIFRA (b) Calcular o volume do prisma pentagonal

54 UNIFRA Divide-se o prisma pentagonal em 5 prismas triangulares como mostrado na animação a seguir. Comentário

55 UNIFRA Divide-se o prisma hexagonal em 6 prismas triangulares como mostrado na animação. Comentário

56 UNIFRA Pirâmides ATIVIDADE 3.1 O objetivo dessa atividade é identificar os elementos: arestas, ângulos, faces e apótemas de uma pirâmide bem como deduzir as propriedades desses elementos. SESSÃO 3

57 UNIFRA Na figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4: a) Identifique em cada uma das pirâmides: (i) Vértice da pirâmide com cor amarela; (ii) Vértices da base com cor azul; (iii) Arestas laterais com cor vermelha; (iv) Arestas da base com cor verde. Comentário

58 UNIFRA b) Preencha as lacunas abaixo: P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 Nº de vértices Nº de arestas laterais Nº de faces laterais Nº de arestas da base

59 UNIFRA c) (i) Meça o comprimento das arestas da base das pirâmides P1, P2, P3 e P4 e preencha as lacunas abaixo: (ii) Os polígonos formados pelas arestas da base são regulares? P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 Medida das arestas da base

60 UNIFRA (d)Meça o comprimento das arestas laterais de P1, P2, P3 e P4 e preencha as lacunas abaixo: As medidas das arestas laterais de cada pirâmide são iguais? P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 Medida das arestas laterais

61 UNIFRA Em toda pirâmide regular o segmento VO, em destaque na figura abaixo, é a distância do vértice da pirâmide ao centro da base e determina a altura da pirâmide:

62 UNIFRA Na figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4: (i) Construa o segmento que une o vértice V ao centro da base O de cada uma das pirâmides.

63 UNIFRA e) Construa o polígono que une o vértice da pirâmide ao centro da base e ao vértice B de cada uma das pirâmides e classifique o triângulo VOB formado em cada uma das pirâmides. f) Construa o ponto médio das arestas da base das pirâmides e meça o ângulo formado pelos segmentos que unem o vértice da pirâmide, o centro da base e o ponto médio da aresta da base. Comentário

64 UNIFRA g) Em toda pirâmide, chama-se apótema ao segmento VM, em destaque na figura abaixo, cujos extremos são o vértice da pirâmide e o ponto médio de uma das arestas da base:

65 UNIFRA (i) Represente um apótema em cada uma das pirâmides: (ii) Qual é a forma geométrica das faces laterais das pirâmides? (iii) O que o apótema representa para o triângulo que forma a face lateral da pirâmide?.

66 UNIFRA (h) Em toda pirâmide regular, chama-se apótema da base o segmento OM, em destaque na figura abaixo, cujos extremos são o centro da base e o ponto médio de uma das arestas da base: Construa o apótema da base de cada uma das pirâmides.

67 UNIFRA Comentário Nos sólidos abaixo os vértices da pirâmide estão marcados com ponto amarelo, os vértices da base com ponto azul, as arestas laterais em vermelho e em verde as arestas da base.

68 UNIFRA Pode-se verificar que o ângulo formado entre o vértice da pirâmide, o centro da base e um dos vértices da base é igual a 90º, conforme apresentado na figura abaixo.

69 UNIFRA Ao determinar medida do ângulo formado pela altura e o segmento que une o centro da base ao ponto médio da aresta da base, conclui-se que a altura é perpendicular à base da pirâmide pois o ângulo é de 90°.

70 UNIFRA ATIVIDADE 3.2 O objetivo dessa atividade é classificar as pirâmides considerando a forma geométrica da base e determinar a área da superfície total de cada pirâmide.

71 UNIFRA Na figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4:

72 UNIFRA a) Identifique a forma geométrica da base de cada uma das pirâmides. Justifique a sua resposta. P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 Forma geométrica da base

73 UNIFRA b) Determine a área da base de cada uma das pirâmides. c) Faça a planificação das pirâmides d) Determine a área lateral e a área total das pirâmides

74 UNIFRA Para o cálculo da área lateral e da área total é necessário efetuar as planificações.

75 UNIFRA Atividade 3.3 O propósito desta atividade é calcular o volume de uma pirâmide a partir do volume de um prisma.

76 UNIFRA Na figura abaixo encontra-se um prisma triangular decomposto em três pirâmides de diferentes cores. (a) Verifique se a área das bases do prisma triangular é igual a área das bases das pirâmides de mesma cor. O que você observou? (b) Como você relaciona o volume das pirâmides com o volume do prisma? Comentário

77 UNIFRA Comentário Pode-se verificar que o volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma

78 UNIFRA CONSIDERAÇÕES FINAIS Verificou-se, que a visualização e o movimento que o recurso computacional proporcionou, fizeram com que os alunos articulassem melhor o raciocínio na resolução dos problemas. Verificou-se que o uso da ferramenta computacional permitiu aos alunos enfrentar os obstáculos encontrados na resolução de algumas atividades, visto que, o anseio era muito grande em utilizar as ferramentas oferecidas pelo software.

79 UNIFRA De maneira geral, os alunos envolveram-se na resolução das atividades, aprendendo a trabalhar em grupo com seus colegas, utilizando-se de um software geométrico para a construção, visualização e manipulação das figuras. Quanto à interação entre as duplas e entre os elementos das duplas, esta aconteceu desde o primeiro momento, pois quando surgia alguma dificuldade em usar os comandos do software, ou uma propriedade que uma das duplas tivesse descoberto, imediatamente comunicavam aos demais e se ajudavam mutuamente.

80 UNIFRA Retomando o objetivo geral dessa investigação, ou seja, verificar se a utilização do programa computacional Cabri 3D contribuiu para a construção de um espaço de ensino e aprendizagem voltado para o entendimento lógico dos sólidos geométricos, prismas e pirâmides, chegou-se a conclusão que ele foi parcialmente atingido. Esta experiência também propiciou mudanças no comportamento da professora. Para ela sair da zona de conforto foi uma experiência nova, porém o fato de verificar que o modo como a geometria era trabalhada não favorecia a aprendizagem dos alunos, impulsionou-a a caminhar na direção de uma zona de risco e mudar sua prática pedagógica. São muitas as formas de mudar a sala de aula e, o uso de um recurso computacional como o software Cabri3D, de geometria dinâmica para o ensino de geometria, favoreceu positivamente esta mudança.

81 UNIFRA No entanto, é muito difícil que se consiga desenvolver no aluno a capacidade de raciocinar logicamente, somente com a aplicação de uma sequência didática, num período de tempo de apenas seis encontros. Para que isto acontecesse seria necessário um trabalho sistemático, tendo início no ensino fundamental e continuando nas demais séries. Entretanto, acredita-se que, a partir dos resultados obtidos, foi possível contribuir com o desenvolvimento do pensamento lógico dos alunos, em alguns aspectos.

82 UNIFRA SÃO APRESENTADAS A SEGUIR AS ATIVIDADES DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA APICADA AOS ALUNOS PARTICIPANTES DA PESQUISA CUJOS RESULTADOS AUXILIARAM NA ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA.

83 UNIFRA TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1 O propósito dessa atividade é verificar se o aluno é capaz de reconhecer e nomear as figuras geométricas e seus elementos por sua aparência, sem necessidade de explicitar as suas propriedades.

84 UNIFRA TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1

85 UNIFRA

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87 TESTE DIAGNÓSTICO– Atividade 2 Nesta atividade pretendeu-se verificar se o aluno era capaz de analisar as figuras geométricas identificando algumas de suas propriedades.

88 UNIFRA

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91 TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 3 Nesta atividade pretendeu-se verificar se o aluno era capaz de fazer comparações entre as faces planificadas.

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