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Alunos: Emerson Shigueo Sugimoto Rodrigo Cirino Andrade Vagner Vengue.

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1 Alunos: Emerson Shigueo Sugimoto Rodrigo Cirino Andrade Vagner Vengue

2 FORMA NORMAL Uma fórmula normal são as fórmulas da lógica proposicional apresentadas num formato definido, ou seja, são fórmulas que são moldadas para serem exibidas em um formato definido. 2 principais: FNC – forma normal conjuntiva e a FND – forma normal disjuntiva, exemplos: H = (¬P Λ Q) V (¬R Λ ¬Q Λ P) V (P Λ S) – forma normal disjuntiva (V). G = (¬P V Q) Λ (¬R V ¬Q V P) Λ (P V S) – forma normal conjuntiva (Λ).

3 FNC - Forma Normal Conjuntiva (Clausal) PROLOG – inferência resolução; Elemento Básico: Literal (p ou ¬p); Cláusula = disjunção (V) de literais - L1 V L2 V... L n (exemplo: p V q) LEIS DE MORGAN 1. Redefinir em termos de V e ¬: (X Y) 2. Empurrar as negações para o interior por meio de: ¬ (X V Y) ¬ ¬ (X Λ Y) 3. Eliminação da dupla negação: ¬¬ X 4. Distributividade de V sobre Λ: X V (Y Λ Z) Apesar de gerar uma fórmula FNC, ele pode gerar fórmulas exponencialmente maiores que a fórmula de entrada. O problema esta no passo 4 da distributividade, que causa a duplicação da subfórmula X, que por sua vez pode ser no formato (X 1 Λ X 2 ), que poderá gerar uma nova duplicação. (¬X V Y) X Λ ¬Y ¬X V ¬Y X (X V Y) Λ (X V Z)

4 TABELAS VERDADE - LEIS X¬XYX Y(¬X V Y) (X Y) (¬X V Y) X¬XY¬YX V Y¬ (X V Y)¬X Λ ¬Y ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y X¬XY¬YX Λ Y¬ (X Λ Y)¬X V ¬Y

5 TABELAS VERDADE - LEIS ¬¬ X X X¬X¬¬X X V (Y Λ Z) (X V Y) Λ (X V Z) XYZY Λ ZX V (Y Λ Z)X V YX V Z(X V Y) Λ (X V Z)

6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA FNC COM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS 1. Redefinir em termos de V e ¬: (X Y) (¬X V Y) 2. Empurrar as negações para o interior por meio de: ¬ (X V Y) ¬ X Λ ¬Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y 3. Eliminação da dupla negação: ¬¬ X X 4. Inserção de novo átomo p: X V (Y Λ Z) (X V p) Λ (¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V ¬Z V p) Repare no conectivo de conjunção Λ:

7 Estudo p (Y Λ Z) Introduzido p, onde p (Y Λ Z) ( = bi-implicação) 1. Desmembrando em dois (desmembrando p (Y Λ Z) ): (p (Y Λ Z)) Λ (Y Λ Z p) 2.Eliminando, aplicando a redefinição de em termos de V e ¬ (X Y) (¬X V Y): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬(Y Λ Z) V p) 3. Leis De Morgan, empurramos a negação adentro (convertendo V em Λ): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬Y V ¬Z V p). O 2º elemento esta já está no FNC, no 1º elemento aplicado a distribuição de V sobre Λ: 2323

8 VANTAGEM FNC Representação e solução de problemas envolvendo fórmulas proposicionais, pois para se satisfazer uma fórmula do formato clausal, basta satisfazer um literal em cada uma das suas cláusulas, e para falsificar uma fórmula no formato clausal, basta falsificar todos os literais de uma única cláusula, ou seja, falsificar uma cláusula. Por exemplo, para satisfazer a fórmula (¬p V Y) Λ (¬p V Z): VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) E para falsificá-la: VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) p¬pYZ(¬p V Y) Λ (¬p V Z) p¬pYZ(¬p V Y) Λ (¬p V Z)

9 CONVERSÃO COM TABELAS VERDADE Considere a fórmula: H = (P Q) Λ R, sua tabela verdade é: TABELA VERDADE ((P Q) Λ R) As linhas que interpretam (I) a fórmula (P Q) Λ R como Falsa são as linhas 2,3,4,6 e 8. De acordo com a linha 2, {I[P]=T e I[Q]=T e I[R]=F}, na elaboração da FNC I[P] = T, considera-se ¬P e I[R] = F, considera- se R (I = interpretação). Assim: 2ª linha: ¬P V ¬Q V R 3ª linha: ¬P V Q V ¬R 4ª linha: ¬P V Q V R 6ª linha: P V ¬Q V R 8ª linha: P V Q V R A FNC de (P Q) Λ R é: (¬P V ¬Q V R) Λ (¬P V Q V ¬R) Λ (¬P V Q V R) Λ (P V ¬Q V R) Λ (P V Q V R) Linhas PQR(P Q) Λ R 1 TTTT 2 TTFF 3 TFTF 4 TFFF 5 FTTT 6 FTFF 7 FFTT 8 FFFF

10 CLÁUSULAS DE HORN As Cláusulas de Horn são cláusulas (conjunto de literais) na forma disjuntiva com no máximo um literal positivo. Exemplo: ¬ p V ¬ q V... V r Tipos de cláusulas: 1. Fatos 2. Regras 3. Consultas ou Restrições

11 FATOS Fatos são cláusulas com apenas um literal positivo e são usadas para afirmar que um literal é válido. Exemplos: { p }, { q }, { r }

12 REGRAS Regras são cláusulas com exatamente um literal positivo. Exemplos: ¬ p V ¬ q V r ¬ r V s ¬ A V b

13 CONSULTAS OU RESTRIÇÕES Consultas ou Restrições são cláusulas com apenas literais negativos. Exemplos: ¬ p V ¬ q V ¬ r ¬ r V ¬ s ¬ (p Λ q Λ r)

14 FÓRMULAS DE HORN Fórmulas de Horn são um conjunto de cláusulas de Horn na forma normal conjuntiva. Exemplos: (¬ p V q) Λ (r V ¬ s) Λ (a V ¬a) Λ (a V ¬b) (¬ r V B) Λ (A V ¬ g) (p) Λ (¬ r V s)

15 CLÁUSULAS DE HORN E RESOLUÇÃO Uma das propriedades das cláusulas de Horn é a respeito do princípio da resolução: Duas cláusulas de Horn inferem uma nova cláusula de Horn: R V p¬ p V S ______________________________ R V S Sendo uma das bases para programação lógica.

16 Forma Normal Disjuntiva (FND) Na lógica booleana, uma forma normal disjuntiva (FND) é uma normalização de uma fórmula lógica no qual temos uma disjunção de conjunções de literais. Uma conjunção de literais disjuntivos tem a forma de: A 1 Λ A 2 Λ...Λ A n

17 Metodos de resolução. Toda fórmula proposicional podemos transformar em uma forma do tipo disjuntiva para isso podemos usar meios como : Lei da Dupla Negação Leis de Morgan, e Distributividade de átomos.

18 A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. Repare que a disjunção também é comutativa:

19 Veja essas proposições: Proposição I - «Gosta de lógica e/ou gosta de método» ( L V M ) Proposição E - «Ou gosta de lógica ou gosta de métodos» ( L VV M ) Ambas as proposições são o resultado da disjunção das duas proposições simples: «Gosta de Lógica» - proposição L «Gosta de Métodos» - proposição M Logo sabemos que há: A proposição I é a que podemos chamar de disjunção inclusiva (V). A proposição E é a que podemos chamar de disjunção exclusiva (VV)

20 Exemplos de forma normal disjuntiva: Todavia, as seguintes fórmulas não estão na FND: NÃO é o operador mais extremo um OU está aninhado com um E

21 De acordo com o que vemos nas leis de Morgan, numa expressão da forma conjuntiva temos: ¬(P Λ Q) (¬P V ¬Q) Podemos aferir o contrário pela bi-implicação, obtendo uma formula disjuntiva: (¬P V ¬Q) ¬(P Λ Q)

22 Considere a fórmula: H = (P Q) Λ R, sua tabela verdade é : Apartir das três linhas (1, 5 e 7), obtêm-se: P Λ Q Λ R, ¬P Λ Q Λ R e ¬P Λ ¬Q Λ R Convertendo a fórmula (P Q) Λ R em FND, fica: (P Λ Q Λ R) V (¬P Λ Q Λ R) V (¬P Λ ¬Q Λ R).

23 TRANSFORMAÇÃO NA FND SEM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS Entrada: Uma fórmula B. Saída: Uma fórmula A na FND, B A. 1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça 2:Redefinir em termos de V e ¬: (X Y) (¬X V Y) 3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan: ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y 4: Eliminação da dupla negação: ¬¬ X X 5: distributividade de Λ sobre V : X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z) 6: fim para 7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis. Repare no conectivo de disjunção V: X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z)

24 CONCLUSÃO FORMAS NORMAIS Conjuntiva: (X V Y) Λ (X V Z) Disjuntiva: (X Λ Y) V (X Λ Z) CLÁUSULAS DE HORN {P V ¬q}, {¬ r V s}, {¬ Y V ¬ X V z}


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