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1 O Código Da Vinci Debate sobre o livro O Código Da Vinci, de Dan Brown Paços da Cultura - S. João da Madeira 21 de Março de 2006.

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1 1 O Código Da Vinci Debate sobre o livro O Código Da Vinci, de Dan Brown Paços da Cultura - S. João da Madeira 21 de Março de 2006

2 2 O Código Da Vinci Desafio lançado por ex-alunos: Falar, na qualidade de professor de Matemática, sobre o livro O Código Da Vinci, de Dan Brown Alguns motivos de interesse: Muito falado e comentado (controverso) História envolvente e empolgante, cheia de mistério Episódio-chave passado no Louvre ( obras de arte) Muitas referências a conceitos matemáticos

3 3 O Código Da Vinci A sucessão de Fibonacci: : código lido por Robert Langdon que Jacques Saunière tinha escrito no soalho do Louvre antes de morrer. O código era-lhe familiar, mas a jovem Sophie Neveu, especialista em criptografia, descobriu que se tratava dos primeiros termos da sucessão de Fibonacci, por ordem trocada. Série infinita de números onde cada número é a soma dos dois anteriores …. Propriedade: Dividindo dois termos consecutivos da sucessão (o número maior pelo menor) vamos obter as sucessivas aproximações de um número especial FI - Φ >>>>>>FI>>>>>>

4 4 O Código Da Vinci O número de ouro (Φ): Φ com casas decimais (Fonte: :http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/analysis/phi/ 1,

5 5 A sucessão de Fibonacci: Esta estranha sucessão apareceu em Liber Abaci, publicado em 1202 por Leonardo de Pisa (c c. 1240), mais tarde conhecido como Fibonacci. No livro aparece um problema curioso: «Um homem colocou um par de coelhos num local cercado por todos os lados por uma parede. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par ao fim de um ano, sabendo que, por mês, cada par gera um novo par, que se torna produtivo no segundo mês de vida?» Ora, no primeiro mês existia apenas o par inicial. No segundo mês, este atingiu a idade reprodutiva. No terceiro mês, esse par teve já outro par. No quarto mês, o par inicial teve outro par, enquanto os seus primeiros filhos cresciam. No quinto mês, tanto o par inicial como os seus primeiros filhos, entretanto já maduros, tiveram descendentes. E por aí adiante. Obtém-se cada termo somando os dois anteriores - sucessão de Fibonacci.

6 6 O Código Da Vinci O Homem de Vitrúvio (desenho de Leonardo Da Vinci): O conservador Sauniére criou com o seu corpo uma réplica em tamanho natural do mais célebre desenho de Leonardo Da Vinci. À volta, tinha descrito um círculo. No seu próprio estômago, tinha desenhado a sangue uma estrela de cinco pontas. A estrela de cinco pontas, também chamada pentagrama, é fácil de formar com cinco traços simples. Colocada «de pé» relembra a figura humana. Com duas pontas para cima, sugere um animal cornudo, naturalmente demoníaco. É muitas vezes designada como pentáculo.

7 7 O Código Da Vinci Triângulo dourado e pentagrama: Se unirmos uma ponta da estrela com as duas opostas ficamos com um triângulo isósceles. Esse triângulo tem dois ângulos de 72º e um terceiro de 36º, portanto metade de cada um dos maiores. A um polígono destes chama-se triângulo dourado. Curiosamente, se bissectarmos um dos ângulos maiores dividindo o triângulo original em dois, o triângulo mais pequeno resultante é semelhante ao original, ou seja, é de novo um triângulo dourado. Dividindo este triângulo pelo mesmo processo, pode construir-se uma sucessão infinita de triângulos dourados encaixados. Outra sucessão geométrica curiosa pode ser construída notando que as pontas do pentagrama desenham um pentágono regular que envolve a estrela. Olhando o seu interior, voltamos a descobrir um pentágono regular. Isso significa que se pode construir uma sucessão infinita de pentágonos e pentagramas encaixados.

8 8 O Código Da Vinci O rectângulo de ouro: O rectângulo de ouro é um rectângulo que, quando é dividido em duas partes em que uma delas seja um quadrado, então a parte restante terá que ser um rectângulo com as mesmas proporções do rectângulo inicial. Se retirarmos a este rectângulo o quadrado de lado x ( o quadrado a ), obtém-se o novo rectângulo de ouro (o rectângulo b) de dimensões x e y – x. Se repetirmos o procedimento, obtemos uma série de rectângulos de ouro.

9 9 O Código Da Vinci O rectângulo de ouro: O processo anterior pode realizar-se de forma inversa. Em vez de se ir dividindo o rectângulo inicial num rectângulo de ouro e num quadrado, parte-se de um quadrado de forma a obter sucessivos rectângulos de ouro. Juntando dois quadrados com lado L=1cm, teremos um rectângulo, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Juntamos agora outro quadrado com lado L=2cm e teremos um outro rectângulo com lado maior a medir 3cm. Continuamos a juntar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos rectângulos obtidos no passo anterior. A sucessão das medidas dos lados dos quadrados é: 1,1,2,3,5,8,13,... que é a sucessão de Fibonacci. >>>>>>>

10 10 O Código Da Vinci A espiral de ouro: Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13. Depois, trace quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1, de modo a construir uma espiral. Matematicamente chama-se espiral equiangular ou logarítmica, mas é geralmente conhecida por espiral dourada.

11 11 O Código Da Vinci Exemplos de duas imprecisões matemáticas no livro: 1. Do original Dan Brown escreve que FI = o que está errado Se quisermos escrever FI em notação decimal precisamos de acrescentar reticências, para mostrar que se trata de uma aproximação. Com dez casas decimais podemos escrever FI = 1, (dízima infinita não periódica) 2. Da tradução É usado o termo sequência. O termo correcto é sucessão.

12 12 O Código Da Vinci Curiosidades: (Relação existente entre os números de Fibonacci e os triplos pitagóricos) Charles Raine descobriu que podemos calcular triplos pitagóricos utilizando estes números. Pegando em quatro termos consecutivos da sucessão de Fibonacci (por exemplo 1,2,3,5), o produto dos números das pontas (1x5=5), o dobro do produto dos dois números que estão no meio (2x 2x3 =12) e a soma dos quadrados desses dois números do meio (2²+3²= 13) dá-nos um triplo pitagórico 5, 12, 13 : 5² + 12² =13². Acontece também que o terceiro nº desse triplo pitagórico (13) é um número de Fibonacci. (Lívio M., 2002, pág.107). Vejamos agora o caso de 21, 34, 55, 89 21x89=18692x34x55= ²+55² = = ² ²= = = 4181² 1869; 3740 e 4181 é um triplo pitagórico 4181 também é um nº de Fibonacci >>>>>>>>>>>>

13 13 O Código Da Vinci

14 14 O Código Da Vinci

15 15 O Código Da Vinci Referências: Brown, Dan. O Código Da Vinci


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