Mecânica dos Sólidos não Linear

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1 Mecânica dos Sólidos não Linear
Sumário e Objectivos Sumário: Introdução à Teoria da Plasticidade. Ensaio de Tracção. Critérios de Cedência. Regra de Encruamento. Lei de Escoamento. Objectivos da Aula: Apreensão de Alguns Conceitos Fundamentais Associados à Teoria da Plasticidade. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

2 Compressão de uma Placa
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3 Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento linear elástico Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

4 Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento rígido-perfeitamente plástico Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

5 Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento rígido-plástico com encruamento linear Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

6 Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento elástico-perfeitamente plástico Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

7 Modelos de Comportamento Uniaxial
Comportamento elásto-plástico com encruamento linear Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

8 Mecânica dos Sólidos não Linear
Exemplo de Aplicação As três barras são constituídas do mesmo material, com igual E, A e Pc. Admita-se ainda que, uma vez atingida a tensão de cedência o material pode deformar-se infinitamente mantendo-se contudo o estado de tensão constante. Pretende-se determinar qual o valor da carga de rotura da estrutura, Pr, em função de Pc. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

9 Exemplo de Aplicação Esforços normais numa barra
Começa-se por fazer um cálculo linear elástico determinando os esforços normais suportados por cada barra. Para o efeito, pode-se recorrer ao método dos deslocamentos, em que numa dada barra i, a uma variação de comprimento cosi, corresponde um esforço normal EiAi/Licosi E i A / L cos q sen ( ) 2 y x Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

10 Exemplo de Aplicação Coeficientes de Rigidez para a Estrutura
Considerando os graus de liberdade assinalados na figura inicial, 1 e 2, os coeficientes de rigidez para a estrutura são: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

11 Exemplo de Aplicação Coeficientes de Rigidez para a Estrutura
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12 Mecânica dos Sólidos não Linear
Sistema de Equações O estabelecimento das equações de equilíbrio segundo os respectivos graus de liberdade permite determinar as componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força exterior, P Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

13 Mecânica dos Sólidos não Linear
Esforços Axiais O esforço normal em cada uma das barras pode ser calculado por: Para o conjunto das três barras tem-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

14 Mecânica dos Sólidos não Linear
Esforços Axiais ou, atendendo à relação entre comprimentos, L2=L e L1=L3= = Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

15 Barra 2 Atinge a Cedência em 1º Lugar
Os esforços calculados, que apenas são válidos enquanto todas as barras "funcionarem" no domínio linear elástico, permitem concluir que a barra 2 é a que suporta um maior esforço normal, pelo que, num processo de carregamento incremental será a primeira a atingir a carga correspondente à tensão de cedência. A carga P (P) que leva a que a primeira barra da estrutura (barra 2) a atingir a carga de cedência: O deslocamento vertical é: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

16 Mecânica dos Sólidos não Linear
Carga de Rotura P c F 1 3 ( r ) A carga de rotura é atingida quando os esforços normais F1 e F3 igualarem a carga de cedência, Pc. A equação de equilíbrio vertical permite escrever: Fazendo coincidir F1=F3Pc e PPr, resulta: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

17 Cálculo dos Deslocamentos
Para forças exteriores em que se verifique P  [P,Pr[, o cálculo dos deslocamentos nodais faz-se de modo semelhante, mas considerando apenas as duas barras que se encontram em regime elástico. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

18 Cálculo dos Deslocamentos
As componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força tomam os seguintes valores: Pelo que, para uma força exterior de, , o deslocamento vertical segundo o grau de liberdade 2 toma o valor: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

19 Gráfico Carga-Deslocamento
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20 Observações Experimentais: O Ensaio de Tracção
tensão limite elástico tensão limite proporcionalidade p Gráfico Tensão-Deformação de uma liga metálica Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

21 Gráfico tensão-deformação de um aço de baixo teor em carbono
limite superior da tensão de cedência patamar de cedência Devido à dificuldade existente em distinguir no ensaio todos estes parâmetros, normalmente apenas se refere a tensão de cedência como a tensão necessária para provocar uma deformação plástica de 0,2%. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

22 Histerese e Encruamento
Na fase de deformação plástica, isto é, quando o nível de carregamento corresponde a um valor para a tensão superior à tensão de cedência, o incremento de deformação plástica é acompanhado de um incremento de tensão, e diz-se que houve um encruamento do material. Regra geral, a curva tensão-deformação de descarregamento pós deformação plástica (AA do gráfico seguinte) não é exactamente linear e paralela à porção elástica inicial da curva. No carregamento seguinte (curva AA) observa-se que a curva não coincide com a curva de descarga, retomando a curva inicial em A. Este fenómeno é conhecido por histerese não sendo considerado no modelo descrito no presente texto Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

23 Histerese e Encruamento
e Gráfico tensão-deformação com descarregamento e carregamento Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

24 Mecânica dos Sólidos não Linear
Efeito de Bauschinger Tensão de Cedência à Tracção Tensão de Cedência à Compressão A dependência da tensão de cedência com o sentido de carregamento é conhecida como Efeito de Bauschinger Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

25 Mecânica dos Sólidos não Linear
Efeito do Tempo Na Fig. representa-se um gráfico tensão-deformação com duas curvas obtidas em dois ensaios de tracção realizados a velocidades diferentes. A curva dinâmica OP é obtida num ensaio realizado com uma velocidade de deformação superior à velocidade aplicada no ensaio referente à curva quase estática OP. Conclui-se assim, que a velocidade de deformação com que se realiza o ensaio de tracção conduz a diferentes curvas tensão-deformação. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

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Efeito do Tempo Outra observação importante que se verifica nestes testes, é que, realizando-se o ensaio a uma taxa de deformação finita, e portanto numa situação dinâmica, se se parar no ponto A, verifica-se que o estado de deformação tende, com o tempo, para o ponto A, mantendo-se contudo o mesmo nível de tensão. Quando o ponto A é atingido a velocidade de deformação é aproximadamente nula, isto é, entre o ponto A e o ponto A a velocidade de deformação sofreu uma variação, cuja lei pode seguir a curva do gráfico da Fig. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

27 Efeito do Tempo Em certos metais, a dependência da deformação plástica com a velocidade de deformação pode ser razoavelmente quantificada por [24] , em que o expoente r depende da deformação plástica e da temperatura. No quadro seguinte apresentam-se vários valores de r para um ensaio de compressão realizado à temperatura ambiente [21]. Metal Valores de r para as seguintes reduções em altura 10% 30% 50% Alumínio 0,013 0,018 0,020 Cobre 0,001 0,002 0,010 Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

28 Efeito da Pressão, Humidade e Temperatura
O expoente r, definido anteriormente, de modo a quantificar a dependência da deformação plástica com a velocidade de deformação é ainda função da temperatura, como se mostra no quadro seguinte [21]. Metal Temperatura (ºC) Valores de r para as seguintes reduções em altura 10% 30% 50% Alumínio 18 0,013 0,018 0,020 350 0,055 0,073 0,088 550 0,130 0,141 0,155 Cobre 0,001 0,002 0,010 450 0,008 0,031 900 0,134 0,154 0,190 Aço 930 0,094 0,105 1200 0,116 0,196 Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

29 Mecânica dos Sólidos não Linear
Definição de Fluência Considere-se a curva tensão-extensão representada no gráfico da Fig. em que, quando se atinge o ponto A da curva localizado na região plástica, a carga é mantida constante. Observa-se que a deformação aumenta de A para B e o seu valor depende do tempo de permanência da tensão constante. Quanto maior for o tempo de permanência da tensão constante, maior será o alongamento verificado. O fenómeno acabado de descrever é conhecido por fluência (creep) [22] e para certos materiais pode até ser verificado à temperatura ambiente. s O e A B Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

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Curvas de Fluência O t curva de fluência para elevada temperatura e tensão fluência primária curva de fluência a baixa temperatura e tensão secundária terciária c e Considerando a extensão de fluência ( ) como a extensão total menos a inicial (em que se aplicou a tensão), obtém-se tipicamente para os metais uma das curvas representadas na Fig. [24]. Na curva de fluência típica (a traço interrompido) é possível distinguir três estágios correspondentes a: fluência primária, secundária e terciária. Para baixas temperaturas e tensões apenas é visível o estagio de fluência primário, verificando-se um valor limite. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

31 Lei da Potência em Fluência
Para elevadas temperaturas e tensões a fluência primária mostra uma dependência logarítmica ou potencial de acordo com uma das seguintes leis [24]: em que  toma valores entre 0 e 1, designando-se por lei de fluência de Andrade para =1/3. Segundo Nadai [29], a fluência descrita pela lei da potência pode ser obtida a partir duma fórmula que relaciona a tensão, a deformação de fluência ( ) e a velocidade de deformação de fluência ( ): em que C, n e r dependem da temperatura Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

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Lei de Bailey-Norton A fluência terciária é normalmente considerada como resultante de modificações ao nível estrutural acompanhada de perda de resistência e, eventualmente, de rotura. Segundo Lubliner [24], para um metal submetido a elevadas temperaturas e tensões pode-se considerar como característica desse metal a taxa de fluência mínima. Por outro lado, a dependência dessa taxa de fluência mínima, para uma dada temperatura, pode ser aproximada por uma lei exponencial para um elevado estado de tensão, ou, para um estado de tensão reduzido, por uma função potencial do tipo: Esta relação é normalmente conhecida pela lei de Bailey-Norton [24], verificando-se que a expressão de Nadai descreve esta mesma lei tomando n=0 e r=1/q. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

33 Deformação de Fluência em função do Tempo
Uma aproximação utilizada para o cálculo da deformação de fluência como função do tempo e para uma dada temperatura é a seguinte: em que é a velocidade de fluência mínima, e é um valor fictício definido pela intercepção da recta tangente à curva de fluência num ponto pertencente à zona em que a taxa de fluência é estacionária. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

34 Mecânica dos Sólidos não Linear
Modelo de Bingham Para muitos materiais e a diferentes temperaturas, a deformação inelástica é insignificante quando o nível de tensão é inferior à tensão de cedência. Um modelo simples que descreve este efeito é o modelo de Bingham: em que  representa a viscosidade do metal e representa o estado de tensão instalado. Deve-se ainda observar que o modelo de Bingham acabado de descrever representa de facto o modelo mais simples apresentado pela teoria da viscoplasticidade. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

35 Dependência da Tensão de Cedência com a Temperatura
Os trabalhos experimentais demonstraram que nos ensaios de tracção realizados a temperaturas superiores à temperatura ambiente se obtêm valores diferentes, quer para as constantes elásticas, quer para as propriedades de resistência, dos obtidos à temperatura ambiente. Por exemplo, os aços ao carbono revelam um aumento da resistência à tracção para temperaturas até 300ºC a partir da qual a resistência à tracção desce cerca de 50% até temperaturas da ordem de 500 a 600ºC. De um modo geral, para os metais, verifica-se um decréscimo da tensão de cedência com o aumento da temperatura [6] Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

36 Mecânica dos Sólidos não Linear
Combinação de Efeitos Para os metais, a tensão de escoamento é simplesmente a tensão de cedência para o estado uniaxial de tensão, expresso como uma função da temperatura, do estado de deformação, da velocidade de deformação e da microestrutura. Genericamente, também é referida como a tensão efectiva ou tensão equivalente representando um estado triaxial de tensões. Assim, pode-se escrever: em que , é a tensão efectiva, é a deformação efectiva, é a velocidade de deformação efectiva, T é a temperatura e, reflecte a estrutura metalúrgica do material Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

37 Função de Sellars-Tegart
Existem de facto algumas expressões cujo objectivo é determinar a influência que cada um dos termos atrás referidos provoca no valor da tensão de cedência. Uma das funções, baseada na equação de Arrhenius [24], foi proposta por Sellars-Tegart [23][37], permitindo analisar a influência da temperatura e da taxa de deformação em simultâneo: em que Z é o parâmetro de Zener-Hollomon, Q representa uma energia de activação do escoamento plástico, normalmente independente da temperatura e em muitos casos independente do estado de deformação, R é a constante de Boltzmann (8,314 J/molºK) e T é a temperatura em ºC. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

38 Relação Tensão Efectiva Deformação efectiva e velocidade de Deformação
Outra função para a tensão de cedência e que, contrariamente à de Sellars-Tegart, tem em consideração o estado de deformação, através da deformação efectiva , é a seguinte [37][38]: Os parâmetros Ai e mi diferem de acordo com o tipo de metal. Por exemplo, para o aço inoxidável tomam os seguintes valores [17]: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

39 Mecânica dos Sólidos não Linear
Relação de ALSPEN Existem ainda outras expressões que tentam combinar os vários efeitos que os diferentes parâmetros possam provocar nas características de resistência, e que foram estabelecidas para um determinado tipo de metais, como por exemplo a expressão de ALSPEN, que é adequada para as ligas de alumínio [12]: em que 0 é uma função dependente da deformação efectiva, e os coeficientes c, m e n são funções não lineares dependentes da temperatura. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

40 Carregamento-Descarregamento
Y0 p Y (e) f = O comportamento elasto-plástico é caracterizado por uma resposta do material, inicialmente elástica e, a partir de um determinado nível de tensão, por um comportamento essencialmente plástico. O comportamento plástico do material é geralmente acompanhado por uma invariância do seu volume Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

41 Mecânica dos Sólidos não Linear
Modelos Elasto perfeitamente Plástico e elasto-plástico com endurecimento. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

42 Modelo Unidimensional
Na Fig. mostra-se o modelo reológico unidimensional. Aplica-se uma força (tensão ), que provoca um alongamento do modelo (l), cujo resultado pode ser aferido pela extensão causada que comporta uma componente elástica e, uma componente plástica: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

43 Relação Tensão Deformação
O comportamento do material, isto é, a extensão causada pelo carregamento é elástica até um determinado ponto, denominado limite elástico (e a tensão que o provoca: tensão limite elástico ou tensão de cedência ), após o qual, o material apresenta deformação plástica. No modelo da figura, o comportamento linear elástico é caracterizado pela constante elástica da mola E traduzindo-se matematicamente pela expressão: A deformação plástica inicia-se quando a tensão aplicada atinge o valor da tensão de cedência ( ). O modo como se estabelece esse valor da tensão aplicada, de modo a compará-lo com a tensão de cedência, denomina-se critério de cedência. Na modelo considerado, a tensão de cedência corresponde ao atrito entre as placas. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

44 Variação da Tensão de Cedência
Atingida a tensão de cedência, este valor pode, ou não, manter-se constante com o aumento de deformação. Se esse valor não depender do aumento da extensão plástica, diz-se que o material tem um comportamento perfeitamente plástico. Se, pelo contrário, o valor da tensão de cedência, aumentar com o crescimento da extensão plástica, diz-se que o material está a sofrer um encruamento. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

45 Tensor das Deformações
Começa-se por considerar formulações elasto-plásticas considerando pequenas deformações. De acordo com a teoria da elasticidade para as pequenas deformações, tem-se o Tensor das Deformações definido do seguinte modo em que é o gradiente dos deslocamentos, e a sua parte simétrica. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

46 Lei da decomposição Multiplicativa
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47 Mecânica dos Sólidos não Linear
Decomposição Aditiva Extensão Total Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

48 Gradiente de Deformação e Tensor das Deformações
Fazendo coincidir a primeira fase com o domínio elástico, vindo a segunda fase a ocorrer no domínio plástico, ter-se-á formalmente para o Tensor das Deformações e, e para o gradiente de deformação, F Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

49 Comportamento Elasto-plástico
Numa formulação elasto-plástica envolvendo pequenas deformações, decompoe-se o Tensor das Deformações numa componente elástica e, numa componente plástica, pelo que se torna conveniente estabelecer modelos matemáticos, que traduzam os fenómenos físicos da elasticidade e da plasticidade, separadamente. O comportamento elástico é descrito pela teoria da elasticidade, importando agora definir o modelo matemático para a componente plástica das deformações. Com esse objectivo, três aspectos devem ser considerados: i) Um critério de cedência indicando o nível de tensão, em termos do tensor das tensões, de modo a analisar-se o início da plastificação; ii)Uma lei de encruamento, descrevendo, se e como, o critério de cedência depende do grau de deformação plástica, depois de se iniciar a plastificação; iii)Uma regra de escoamento, definindo a relação entre tensão e deformação pós-plastificação, comportando a deformação total, as componentes elástica e plástica. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

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Funções de Cedência O aparecimento do comportamento plástico é condicionado por um critério de cedência, que na sua forma mais geral, pode ser formulado do seguinte modo em que a´ indica um conjunto de variáveis de endurecimento e s é o tensor das tensões. Para um material isotrópico, em que a cedência plástica dependa unicamente da grandeza das tensões principais, e nunca das suas orientações no espaço das tensões, a função escalar F torna-se apenas dependente de um valor escalar, conhecido por parâmetro de encruamento –a. em que f (s) é a função de cedência Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

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Espaço de Westergaard A função de cedência pode tomar várias formas analíticas com representação geométrica no espaço distintas. Tratando-se de uma função de tensão pode assumir-se como espaço para a respectiva representação geométrica, o espaço de tensões de Westergaard [3], em que três eixos mutuamente ortogonais são coincidentes com as direcções principais de tensão Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

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53 Invariantes das Tensões de Desvio
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54 Projecção de duas superfícies de cedência no plano do desviador.
Outra forma de representação geométrica da superfície de cedência é através das projecções ortogonais dos eixos das tensões no plano normal a OO. Na figura encontram-se representadas duas superfícies de cedência: uma corresponde, no espaço das tensões principais, a um cilindro; outra, no mesmo espaço, corresponde a um prisma. O plano de corte dos objectos geométricos, e que coincide com o plano do papel designa-se plano do desviador. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

55 Mecânica dos Sólidos não Linear
Função de Cedência Atendendo a Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

56 Condição de ortogonalidade no espaço das tensões 1-2
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57 Condição de ortogonalidade no espaço das tensões 1-2
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58 Critério da Tensão Principal Máxima
Ou em termos dos invariantes Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

59 Mecânica dos Sólidos não Linear
Critério de Tresca Este critério, postulado por Tresca em 1864 , baseado em resultados experimentais, admite por hipótese, que a deformação plástica num ponto material, ocorre sempre que a tensão tangencial máxima atinge um determinado valor limite. em que Y() é uma função característica do material obtida com base no ensaio de tracção uniaxial, e que depende da deformação plástica. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

60 Mecânica dos Sólidos não Linear
Representação gráfica das superfícies de cedência de Tresca e von Mises Graficamente, as expressões anteriores definem, no espaço das tensões principais, um prisma hexagonal regular e infinitamente longo, cujo eixo é perpendicular ao plano do desviador, , representado pela equação Função de Tresca em Termos dos Invariantes Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

61 Critério de Mohr-Coulomb Pirâmide Hexagonal
O critério de Mohr-Coulomb é utilizado para representar o comportamento dos materiais granulosos dotados de atrito interno, tendo-se no entanto verificado que estes materiais atingem em geral um estado de cedência plástica à tracção antes de se ter atingido a superfície de Mohr-Coulomb. Com o objectivo de ter em conta estes resultados, Prandtl propôs em 1921 uma superfície de cedência obtida a partir da de Mohr por substituição do vértice da pirâmide por uma superfície parabólica, conhecida por superfície de cedência de Mohr-Prandtl e que se pode representar matematicamente pela seguinte função: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

62 Energia de Deformação Elástica por unidade de Volume
Dilatação média Deformação de Desvio Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

63 Mecânica dos Sólidos não Linear
Critério de Beltrami Beltrami apresentou em 1885 um critério de cedência que estabelece para o início da deformação plástica o estado de tensão que corresponde a um valor crítico da energia de deformação elástica por unidade de volume Este valor crítico pode ser obtido para uma estado de tensão uniaxial, resultante do ensaio de tracção: ou No espaço de Westergaard esta condição de cedência representa-se por uma superfície elíptica com simetria circular em relação ao eixo hidrostático. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

64 Mecânica dos Sólidos não Linear
Critério de von Mises Von Mises formulou um critério de cedência em 1913, sugerindo que a cedência ocorre quando o segundo invariante das tensões de desvio atinge um valor crítico: em que , dependente do parâmetro de endurecimento () é o raio da superfície de cedência. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

65 Representação das projecções das superfícies de Tresca e de von Mises.
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66 Interpretação do Critério de von Mises
Existem duas interpretações físicas possíveis para o critério de von Mises. Uma, dada por Nadai (em 1937), que introduziu o conceito de tensão de corte octaédrica, , que é a tensão de corte nos planos do octaedro regular, cujos vértices coincidem com os eixos principais de inércia. Outra interpretação, dada por Hencky (em 1924), mostra que a cedência ocorre quando a energia elástica de distorção atinge um valor crítico. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

67 Critério de Drucker-Prager (cone de revolução)
Ainda para aplicação ao comportamento de materiais granulosos dotados de atrito interno existe uma outra função de cedência utilizada com alguma frequência e que corresponde à superfície de cedência de Drucker-Prager cuja expressão matemática é a seguinte em que os coeficientes e são constantes do material e que dependem do ângulo de atrito interno () e da coesão (c): Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

68 Mecânica dos Sólidos não Linear
Critério de Green Para materiais com fendas interiores ou materiais porosos, Green apresentou uma superfície de cedência que é função do coeficiente de porosidade do material Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

69 Mecânica dos Sólidos não Linear
Regra de Encruamento A regra do encruamento estabelece as condições para que um novo escoamento plástico possa ocorrer, depois de se ter atingido o estado plástico do material. Esta situação verifica-se em virtude da superfície de cedência poder sofrer contínuas alterações à medida que se dá o escoamento plástico Na expressão Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

70 Variáveis de Encruamento
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71 Variáveis de Encruamento
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72 Modelos de Encruamento (I)
Encruamento isotrópico para o caso bidimensional Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

73 Modelos de Encruamento (II)
Encruamento Cinemático para o caso Bidimensional Este modo de encruamento, apresentado inicialmente por Prager, surgiu com o objectivo de modelar um fenómeno bem visível experimentalmente, o efeito de Bauschinger, muito corrente em materiais sujeitos a regimes de carregamento cíclico Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

74 Modelos de Encruamento (III)
Encruamento Distorcional para o caso Bidimensional Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

75 Variáveis no Encruamento Isotrópico e cinemático
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76 Função de Cedência Encruamento Isotrópico e Cinemático
Encruamento Isotropico Encruamento Cinemático com Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

77 Curva tensão-deformação de um ensaio de tracção uniaxial
Tendo em atenção novamente o ensaio de tracção, mostra-se na Fig. uma curva típica de um ensaio de tracção dum provete metálico A curva resulta das medidas de e , em que o índice 1 indica a direcção para a primeira direcção principal Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

78 Mecânica dos Sólidos não Linear
Ensaio de Tracção Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

79 Mecânica dos Sólidos não Linear
Ensaio de Tracção Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

80 Teorias do Escoamento Plástico
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81 Mecânica dos Sólidos não Linear
Postulado de Drucker s e p > < = Ilustração para um modelo uniaxial Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

82 Mecânica dos Sólidos não Linear
Postulado de Drucker Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

83 Mecânica dos Sólidos não Linear
Postulado de Drucker Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

84 Mecânica dos Sólidos não Linear
Postulado de Drucker Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

85 Postulado da Dissipação Plástica Máxima
Para um estado de Tensão uniaxial pode escrever-se Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

86 Normalidade do vector incremento de deformação
Para que o produto interno possa ser válido para um estado de tensão elástico inicial arbitrário, o vector correspondente ao incremento de deformação plástica , deve ser normal ao plano tangente à superfície e com o sentido a apontar para fora da superfície. A descrição acabada de descrever é conhecida como a regra da normalidade Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

87 Convexidade da superfície de cedência
No entanto, como se pode verificar na se o estado de tensão inicial se encontrar do outro lado do plano tangente a inequação é violada. Deste modo, toda a região elástica se encontra do mesmo lado do plano tangente, pelo que se pode concluir que a superfície de cedência é convexa. A regra da normalidade, bem como a conclusão acerca da convexidade da superfície de cedência são consideradas propriedades consequentes do postulado da dissipação plástica máxima. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

88 Potencial Plástico e Regra de Escoamento
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89 Potencial Plástico e Regra de Escoamento
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90 Mecânica dos Sólidos não Linear
Trabalho de Deformação Plástica Donde Tendo em conta Obtém-se Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

91 Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

92 Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

93 Lei Associativa e Lei não Associativa
Note-se que, para outros materiais, como por exemplo, em solos, a aplicação de regras de escoamento plástico fazendo uso da lei não associativa em simulações numéricas, conduz a resultados mais realistas. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

94 Plasticidade Anisotrópica
Em processos tecnológicos relacionados com a conformação em chapa, considere-se a direcção de rolamento (RD) e a direcção transversal à direcção de rolamento, ou simplesmente direcção transversal (TD). As propriedades Mecânicas podem ser distintas. Direcções de Anisotropia Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

95 Mecânica dos Sólidos não Linear
Critério de Hill Tensão Equivalente Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

96 Incremento de Deformação Plástica
Fazendo uso da lei associativa, tomando portanto para potencial plástico a própria função de cedência e utilizando a expressão anterior para a regra de escoamento, obtém-se para os incrementos de deformação plástica (segundo as três direcções principais): Resultando para uma estrutura tipo casca e tomando posteriormente Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

97 Provetes para ensaios Experimentais
Os valores associados às constantes do material F,G, e H terão que ser determinados experimentalmente. sendo as constantes determinadas de forma indirecta, por recorrência à condição de normalidade, e em que são determinados os cocientes entre extensões obtidas em ensaios de tracção. Para o efeito são efectuados provetes a partir da própria chapa como se mostra na Fig. Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

98 Coeficientes de Anisotropia
Tomando um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção RD (provete A na Fig.), define-se coeficiente de anisotropia (R) segundo a direcção RD como sendo: Para um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção TD (provete B), coeficiente de anisotropia segundo a direcção TD vale: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

99 Coeficientes de Anisotropia
Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

100 Mecânica dos Sólidos não Linear
Coeficientes de Hill A relação entre os coeficientes de anisotropia, e , e as constantes do material presentes no critério de Hill (F,G e H) pode ser obtida com base no ensaio de tracção e recorrendo às expressões que definem as deformações plásticas. Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado (por aplicação de uma tensão de tracção ) segundo a direcção RD tem-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

101 Mecânica dos Sólidos não Linear
Coeficientes de Hill Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

102 Modelo Constitutivo Elasto-Plástico
Gradientes da função de cedência e do potencial plástico, Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

103 Modelo Constitutivo Elasto-plástico
Estado de Tensão Mecânica dos Sólidos não Linear Plasticidade Lúcia Dinis 2005/2006

104 Modelo Constitutivo Elasto-plástico
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