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Quão difícil é comunicar? Andreia Teixeira 27 de Maio.

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1 Quão difícil é comunicar? Andreia Teixeira 27 de Maio

2 Complexidade de Comunicação xy f(x,y)=?

3 Um Protocolo Simples x f(x,y) = z Quantos bits são necessários para esta comunicação?

4 Complexidade de Comunicação f: X Y {0,1} Um protocolo P de domínio X Y e contra-domínio {0,1} é uma árvore binária, onde cada nó é etiquetado por uma função a v : X {0,1} ou por uma função b v : Y {0,1} e cada folha é etiquetada com um elemento z {0,1}. Exemplo: X = {x, x, x, x } Y = {y, y, y, y }

5 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

6 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

7 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

8 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x''0 111 x''' 0000

9 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x''0 111 x''' 0000

10 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x''0 111 x''' 0000 O custo do Protocolo para o input (x,y) é o tamanho do caminho percorrido: 2.

11 Complexidade de Comunicação O custo de um protocolo P, D P f, corresponde à altura da árvore binária associada ao protocolo. Para uma função f: X Y {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f), (determinística) de f é o min {D P f : P é um protocolo para f}. Para toda a função f: X Y {0,1}, D(f) log |X| + 1.

12 Rectângulos Combinatórios Um rectângulo combinatório A B é denominado z-monocromático se tem o mesmo valor z (0 ou 1) para todo o a A e b B.

13 Rectângulos Combinatórios Qualquer protocolo P para uma função f induz uma partição de X Y em rectângulos z-monocromáticos (z {0,1}). O número destes rectângulos é igual ao número de folhas de P.

14 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

15 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

16 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

17 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

18 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

19 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

20 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

21 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

22 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

23 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

24 O Protocolo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 O a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1O f(x,y)yy'y''y''' x 0001 x' 0001 x'' 0111 x''' 0000

25 Exemplo a 1 (x)=0 a 1 (x)=1 b 2 (y)=0 b 2 (y)=1 b 2 (y)=0 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 b 3 (y)=1 b 3 (y)=0 1 a 4 (x)=0 a 4 (x)=1 O 1 O f(x,y)yy'y''y''' x 0100 x' 0100 x'' 1111 x'''

26 Propriedades Seja P um protocolo e v um nó da árvore associada ao protocolo. R v é o conjunto dos inputs (x,y) que alcançam o nó v. Se L é o conjunto das folhas de um protocolo P, então {R l } l Є L é uma partição de X Y. R X Y é um rectângulo se e só se (x 1,y 1 ) R e (x 2,y 2 ) R (x 1,y 2 ) R

27 Propriedades Seja P um protocolo e v um nó da árvore associada ao protocolo. R v é o conjunto dos inputs (x,y) que alcançam o nó v. Se L é o conjunto das folhas de um protocolo P, então {R l } l Є L é uma partição de X Y. R X Y é um rectângulo se e só se (x 1,y 1 ) R e (x 2,y 2 ) R (x 1,y 2 ) R

28 Minorante da D(f) Se qualquer partição de X Y em rectângulos monocromáticos necessita de pelo menos t rectângulos então D(f) log t.

29 Técnicas Conjuntos Enganadores Tamanho dos Rectângulos Característica da Matriz

30 Conjuntos Enganadores Seja f: X Y {0,1}. Um conjunto S X Y é denominado de conjunto enganador (para f) se existe um valor z {0,1} tal que Para todo (x,y) S, f(x,y) = z. Para dois quaisquer pares distintos (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ) em S, f(x 1,y 2 ) z ou f(x 2,y 1 ) z. Se f tem um conjunto enganador S de tamanho t, então D(f) log t.

31 Conjuntos Enganadores Seja f: X Y {0,1}. Um conjunto S X Y é denominado de conjunto enganador (para f) se existe um valor z {0,1} tal que Para todo (x,y) S, f(x,y) = z. Para dois quaisquer pares distintos (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ) em S, f(x 1,y 2 ) z ou f(x 2,y 1 ) z. Se f tem um conjunto enganador S de tamanho t, então D(f) log t.

32 Conjuntos Enganadores Exemplo: x, y {0,1} n EQ(x,y) = 1se x = y 0 caso contrário Um conjunto enganador de tamanho 2 n é S 1 ={(α, α) : α {0,1} n } D(EQ) n.Considerando os 0-rectângulos monocromáticos, concluímos que D(EQ) n+1. Como D(EQ) n+1, temos que D(EQ) = n+1.D(EQ) n+1

33 Tamanho dos Rectângulos Seja μ uma distribuição de probabilidade de X Y. Se qualquer rectângulo R z-monocromático (z {0,1}) tem medida μ(R) δ, então D(f) log 1/δ. Exemplo: x, y {0,1} n EQ(x,y) = 1 se x = y 0 caso contrário f(x,y)xx'x''x'''… x 1000 x' 0100 x'' 0010 x''' 0001 …

34 Tamanho dos Rectângulos Seja μ uma distribuição de probabilidade de X Y. Se qualquer rectângulo R z-monocromático (z {0,1}) tem medida μ(R) δ, então D(f) log 1/δ. Exemplo: x, y {0,1} n EQ(x,y) = 1 se x = y 0 caso contrário f(x,y)xx'x''x'''… x x' x'' x''' … Como cada rectângulo R 1-monocromático tem dimensões 1 x 1, temos que μ(R) 1/2 n. Como existe, pelo menos um rectângulo 0- monocromático, D(EQ) log 2 n +1 = n + 1. Como D(EQ) n+1, temos que D(EQ) = n+1.D(EQ) n+1

35 Característica Para qualquer função f:X Y {0,1}, D(f) log car(M f ), onde M f é a matriz associada à função f. Exemplo: x, y {0,1} n EQ(x,y) = 1 se x = y 0 caso contrário 1000 … … M(EQ)= Como M(EQ) = 2 n, temos que D(EQ) n.

36 Característica Para qualquer função f: X Y {0,1}, D(f) log car(f), onde car(f) é a característica da matriz associada à função f. Exemplo: x, y {0,1} n EQ(x,y) = 1 se x = y 0 caso contrário 1000 … … M(EQ)= Como M(EQ) = 2 n, temos que D(EQ) n.

37 Obrigada!

38 Complexidade de Comunicação O custo de um protocolo P, D P f, corresponde à altura da árvore binária associada ao protocolo. Para uma função f: X Y {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f), (determinística) de f é o min {D P f : P é um protocolo para f}. Para toda a função f: X Y {0,1}, D(f) log |x| + log |z|.

39 Propriedades Prova: ( ) Considere-se um rectângulo R, isto é, R= A B, para A X e B Y. Pretende-se mostrar que se (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ) pertencem a R então (x 1,y 2 ) também pertence a R. Se (x 1,y 1 ) Є R, então x1 A e y1 B. Do mesmo modo, se (x 2,y 2 ) R, então x2 A e y2 B. Portanto, os pares (x 1,y 2 ) e (x 2,y 1 ). pertencem a A B = R. ( ) Considerem-se os seguintes conjuntos: A = { x: existe y tal que (x,y) R} e B = { y: existe x tal que (x,y) R}. Por definição de A e B é, evidente, que R A B, pois se (x,y) R, então x A e y B e, portanto (x,y) A B. Para se mostrar que A B R, considere-se (x,y) A B. Como x A, então existe y' B tal que (x,y') R. Analogamente, como y B, então existe x' A tal que (x',y) R. Logo (x,y') R e (x',y) R. Assim, por hipótese resulta que (x,y) R. Portanto A B R.

40 Conjuntos Enganadores Prova: Qualquer rectângulo R que contenha dois pontos distintos (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), ambos pertencentes a S, também contém os pontos (x 1,y 2 ) e (x 2,y 1 ). No entanto, S é um conjunto enganador, logo o valor de f em (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ) é z e, pelo menos, um dos pontos (x 1,y 2 ) ou (x 2,y 1 ) tem valor por f diferente de z. Logo R não é monocromático. Assim, nenhum rectângulo monocromático contém mais do que um elemento de S. Logo, são necessários, pelo menos, t rectângulos para fazer uma partição de S. Logo vem que D(f) log t.

41 Característica Prova: Seja P um protocolo para a função f e seja L o conjunto de folhas para as quais f(x,y)=1. Define-se uma matriz M l para cada uma das folhas, de tal maneira que M l (x,y)=1 se (x,y) R l e M l (x,y)=0 se (x,y) R l, onde os rectângulos R l correspondem aos pares (x,y) que ``terminam'' na folha l. A matriz da função é a soma de todas as matrizes definidas para cada uma das folhas l L, isto é, M f = M l. Usando as propriedades da característica de uma matriz, vem que car(M f ) car(M l ). Como car(M l ) = 1 vem que car(M f ) |L|. Qualquer protocolo P tem de ter, pelo menos, car(M f ) folhas, logo D(f) log(car(M f )).


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