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PublicouLavínia Lapa Alterado mais de 9 anos atrás
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Sistema Formal Um Sistema Formal para a lógica proposicional é uma 2-tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências
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Derivação de uma fórmula
Representação: ├ Uma derivação (ou prova, ou demonstração) de uma fórmula a partir de um conjunto de fórmulas (premissas), é uma seqüência < 1, 2, 3, ..., n> de fórmulas, tal que: 1. n = 2. Cada i, 1 i n, pode ser: Uma premissa, Uma hipótese ou Obtida de fórmulas anteriores da seqüência pela aplicação de uma regra de inferência.
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Derivação de uma fórmula
Se é derivada no Sistema Formal a partir de 0(zero) premissas, então, é dito ser um Teorema do Sistema. ├ Um teorema é uma fórmula para a qual existe uma prova.
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Exemplos: 1) ├ P (P v Q) 1. | P H p/ PC 2. | P v Q 1 vI
3. P (P v Q) PC
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Exemplos: 2) ├ P ((P Q) Q) 1. | P H p/ PC 2. | | P Q H p/ PC
3. | | Q 1, 2 MP 4. | (P Q) Q PC 5. P ((P Q) Q) PC
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Exemplos: 3) ├ P ↔ ~~ P 1. | P H (p/ PC) 2. | | ~P H (p/ RAA)
3. | | P ^ ~P 1, 2 ^I 4. | ~~P , 3 RAA 5. P ~~P PC 6. | ~~P H (p/ PC) 7. | P ~E 8. ~~P P PC 9. P ↔ ~~P 5,8 ↔ I
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Exemplos: 4) ├ P P 1. | P H (p/ PC) 2. P P PC
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Exemplos: 5) ├ (PQ) (~Q~P) 1. | P Q H (p/ PC)
3. | | ~P 1,2 MT 4. | ~Q ~P PC 5. (PQ) (~Q~P) 1-4 PC
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Um Outro Sistema Formal:
Existem infinitos Sistemas Formais. Vamos chamar o que estamos vendo de S1 S1 = <L, R> L: linguagem proposicional R: conjunto das regras de inferência
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Um Outro Sistema Formal:
Superficialmente veremos um outro sistema formal para a lógica proposicional (vamos chama-lo S2). Esse é o Sistema de Hilbert O nosso objetivo será, através de S2 observar uma outra formulação da Lógica Proposicional.
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Sistema Hilbert Características de S2:
Usa apenas dois conectivos lógicos ~ e → Ex: Para escrever P ^ Q escreve-se ~(P→~Q) Usa apenas uma regra de inferência – Modus Ponens (MP)
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Sistema Hilbert (Características)
É formado pela 3-tupla {L, A, R} S2 = < L, A, R >, onde: L: Linguagem Proposicional R: { MP } A: Conjunto de todas as fórmulas obtidas dos três seguintes esquemas de axiomas:
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Sistema Hilbert (Axiomas)
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Sistema Hilbert A derivação (ou prova) de uma fórmula em S2 é feita da mesma forma que em S1, onde usa-se apenas os três axiomas, e uma regra de inferência, MP (Modus Ponens).
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├ α α para qualquer fórmula α
Exemplos 1 - Mostre nos dois sistemas a derivação do teorema: ├ α α para qualquer fórmula α No S1: ├ α α 1. | α H p/ PC 2. α α 1-1 PC
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Exemplos No S2: ├ α α 1. (α((αα)α))((α(αα))(αα)) A2
3. (α(αα)) (αα) c/2 MP 4. (α(αα)) A1 5. αα c/4 MP
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Exemplos Padrões que foram usados na derivação ├ α α no S2 :
Em 1 e 2 os axiomas A2 e A1, com o padrão: = α = α α = α Em 4 usamos o axioma A1 com o padrão: = α
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Exemplos 2 - Prove ├ (~) para qualquer No S1:
1. | ~ H (p/ PC) 2. | | ~ H (p/ RAA) 3. | | 1,2 MP 4. | | ~^ ,3 ^I 5. | ~~ RAA 6. | 5 ~E 7. (~) PC
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Exemplos No S2: ├ (~)
1. (~((~~)~))((~(~~))(~~)) (A2) 2. (~((~~)~)) (A1) 3. (~(~~))(~~) (1 e 2 p/ MP) 4. ~(~~) (A1) 5. ~~ (3 e 4 p/ MP) 6. (~~)((~)) (A3) 7. (~) (5 e 6 p/MP)
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Exemplos Padrões que foram usados na derivação ├ (~) no S2 :
Em 1. Axioma A2 ( = ~; = (~~); = ~) Em 2. Axioma A1 ( = ~; = (~~) Em 4. Axioma A1 ( = ~; = ~) Em 6. Axioma A3 ( = ; = ) Observar que S1 e S2 são “equivalentes”.
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Teoremas da Coerência e Completude
Um Sistema Formal S é coerente (sound) e completo se: ├ se e somente se |═ Derivação ↔ implicação lógica
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Teoremas da Coerência e Completude
Teorema 1: (Sondness ou coerência) Se |-- então |= Ou seja, todo teorema (derivação) é uma tautologia (fórmula válida) Teorema 2: (completude) Se |= então |-- Ou seja, toda tautologia (formúla válida) é um teorema (derivação)
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Teoremas da Coerência e Completude
Esses teoremas mostram que temos duas maneiras independentes, mas mutuamente consistentes de definir a noção de verdade lógica: Através da noção de teorema (sintaticamente) Através da noção de tautologia (semânticamente)
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Semântica da Lógica Proposicional
Vimos até agora uma formulação sintática (noções puramente sintáticas) da lógica proposicional: Linguagem Regras, teoremas, provas Vamos ver agora uma formulação funcional da Lógica Proposicional (semântica): Função/atribuição de valores-verdade (Verdadeiro ou Falso)
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