Braquistócrona e Catenária

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1 Braquistócrona e Catenária
- Uma introdução ao Cálculo das Variações - Aluno: Ricardo Fernando Paes Tiecher Professor: Ricardo Sá Earp Análise Real 2009.1 Rio de janeiro, 08 de julho de 2009

2 Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações
O cálculo das variações apresenta grande relação com outros ramos da matemática como geometria e equações diferenciais, e com a física, em especial na mecânica clássica. Seu centro é a busca pelo extremo e, nesse sentido, guarda semelhanças com a otimização. Entretanto, encontra extremos de funcionais (mapeamento de um conjunto de funções aos números reais) e não para funções, demonstrando sua complexidade. O estudo estudo do cálculo das variações é tão antigo quanto o próprio cálculo, e as duas teorias tiveram desenvolvimento concomitante durante os séculos XVIII (irmãos Bernoulli, Newton, Euler, Lagrange), XIX (Jacobi, Weierstrass) e o início do século XX (Noether, Lebesgue). A relação do cálculo das variações com a mecânica clássica transcende a esfera de ferramenta matemática, alcançando a posição de “filosofia” geral. Mais ainda, essa teoria é também aplicada em eletromagnetismo, em economia, no planejamento urbano e em diversos outros setores. Análise Real

3 2. O problema da braquistócrona
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 2. O problema da braquistócrona A história do cálculo das variações se inicia com um problema proposto por Johann Bernoulli em A questão proposta foi a de encontrar a forma de um “fio” ao longo do qual uma partícula, inicialmente em repouso, desliza sob efeito único da gravidade de uma extremidade a outra em tempo mínimo. As extremidades da curva são especificadas e o movimento da partícula ocorre sem fricção. A situação descrita é de extrema importância pelo fato do método desenvolvido por Euler para resolvê-la ter servido como modelo para a solução de outors problemas variacionais. A curva correspondente a forma do “fio” é chamada uma braquistócrona. Análise Real

4 2. O problema da braquistócrona
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 2. O problema da braquistócrona Após modelagem do problema, cocluímos que o tempo que a partícula leva para deslizar sobre o “fio” é dado por: T(y) = ∫ ds/v(s) de 0 a L, onde s denota o comprimento de um arco, L o comprimento total do “fio” e v a velocidade da partícula s unidades de comprimento abaixo da curva a partir do início. Os próximos passos correspondem a encontrar uma formulação alternativa (pois não sabemos o valor de L) em termos das coordenadas cartesianas e explicitar uma expressão para a velocidade em função de y utilizando a lei da conservação da energia em um ponto qualquer da curva. Sendo assim, a equação anterior torna-se: T(y) = ∫ {√(1+y’²)/√(2C/m-2g.y(x))}dx de x0 a x1, onde m é a massa da partícula, g a aceleração da gravidade e C uma constante. Buscamos então uma função y tal que o funcional T seja mínimo e y(x0) = y0, y(x1) = y1. No intuito de minimizar T, podemos substituí-lo por: J(y) = ∫ {√(1+w’²)/√w}dx de x0 a x1, no qual as simplificações não influenciam a posição do extremo de J. Análise Real

5 3. O problema da catenária
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 3. O problema da catenária Considere uma cabo flexível, pesado e fino suspenso por dois mastros de alturas y0 e y1 e separados por uma distância d. O problema consiste em determinar a forma do cabo entre os dois mastros. O cabo assumirá a forma que implica energia potencial mínima. Se m denota a massa por unidade de comprimento do cabo e g o campo gravitacional, a energia potencial do cabo entre os mastros é: WP(y) = ∫ mg.y(s)ds de 0 a L, onde s denota o comprimento de uma arco, L o comprimento total de cabo e y(s) a altura do cabo acima do chão s unidades de comprimento ao longo do cabo a partir do início. Análise Real

6 3. O problema da catenária
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 3. O problema da catenária Assim como no problema da braquistócrona, não conhecemos L e derivaremos uma expressão para WP em termos das coordenadas cartesianas. Segue então que: WP(y) = ∫ {mg.y(x)√(1+y’²)}dx de x0 a x1. A essência do problema é determinar a função y que minimiza o funcional J(y) = ∫ {y√(1+y’²)}dx e que satisfaz as condições de contorno y(x0) = y0, y(x1) = y1. A curva em si é chamada uma catenária. O mesmo funcional J aparece em um problema de geometria relacionado a superfície mínima de revolução, i.e., uma superfície cuja revolução apresenta área de superfície mínima. Supondo que o eixo das abiscissas corresponde ao eixo de rotação, a questão consiste em encontrar a curva ɤ no plano xy que gera a superfície de revolução mínima. A superfície em si é chamada um catenóide. Análise Real

7 4. A primeira variação em dimensão finita
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 4. A primeira variação em dimensão finita Analisamos o caso de dimensão finita, começando com uma revisão das condições necessárias para que funções apresentem extremos locais. Funções de uma variável Considere f uma função real definida no intervalo ɪCR. Diz-se que f:ɪR possui um máximo local em xεɪ se existe Ɛ>0 tal que para todo x*ε (x-Ɛ, x+Ɛ) Cɪ, f(x*) ≤ f(x). Diz-se que f possui um mínimo local em xεɪ se –f possui um máximo local em x. A função f:ɪ→R possui um máximo global no ɪ em x se f(x*) ≤ f(x) para todo xεɪ. Diz-se que f possui um mínimo global no ɪ em x se –f possui um máximo global em x. Se f é diferenciável em ɪ então a presença de máximo ou mínimo local em ɪ é caracterizada pela primeira derivada: Teorema. Seja f uma função real diferenciável no intervalo aberto ɪ. Se f possui um extremo local em xεɪ então f’(x) = 0. Análise Real

8 4. A primeira variação em dimensão finita
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 4. A primeira variação em dimensão finita Funções de várias variáveis Seja ΩCRn uma região do espaço e suponha que f:Ω→R. Para Ɛ>0 e x=(x1, x2, ..., xn) seja B(x;Ɛ) = {x*εRn: |x1*-x1|²+|x2*-x2|²+...+|xn*-xn|² < Ɛ²}. A função f possui um máximo local em xεΩ se existe Ɛ>0 tal que para todo x*εB(x;Ɛ)CΩ, f(x*) ≤ f(x). A função f possui um máximo global em xεΩ se f(x*) ≤ f(x) para todo x*εΩ. Teorema. Seja f:Ω→R uma função suave na região ΩCRn. Se f possui um extremo local no ponto xεΩ então grad(f(x)) = 0. Geometricamente, o teorema diz que o plano tangente ao gráfico de f é horizontal num extremo local (R²). Análise Real

9 5. A equação de Euler-Lagrange
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 5. A equação de Euler-Lagrange O extremo local para um funcional pode ser definido de maneira análoga a usada para funções de n variáveis. A transição da dimensão finita para a infinita, entretanto, traz em si algumas complicações. Seja J:X→R um funcional definido no espaço de funções (X;||.||) e considere SCX. Diz-se que o funcional J possui um máximo local em yεS se existe um Ɛ>0 tal que J(y*) ≤ J(y) para todo y*εS tal que ||y*-y|| < Ɛ. Diz-se que o funcional J possui um mínimo local em yεS se y for máximo local para –J. Considere S um conjunto de funções satisfazendo certas condições de contorno. Funções y*εS em uma vizinhança de yεS podem ser representadas como uma “pertubação” de y, ou seja, se y*εS e ||y*-y|| < Ɛ, então existem ɳεX tais que y* = y+Ɛɳ. Todas as funções numa vizinhança de y podem ser geradas por um conjunto admissível de funções H. Certamente todo ɳ deve ser elemento de X, mas ɳ deve satisfazer também y+ƐɳεS. O conjunto H é então definido por H = {ɳεX: y+ƐɳεS}. Análise Real

10 5. A equação de Euler-Lagrange
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 5. A equação de Euler-Lagrange A partir de agora, trabalhamos com o espaço vetorial particular C²[x0, x1] que é formado das funções de [x0, x1] cujas derivadas segundas são contínuas. Seja f:C²[x0, x1]→R um funcional da forma J(y) = ∫ f(x, y, y’)dx, onde f é uma função que assumimos ter ao menos derivadas parciais de segunda ordem contínuas com respeito a x, y e y’. Dados dois valores y0, y1εR, o problema é determinar as funções yεC²[x0, x1] tais que y(x0) = y0, y(x1) = y1 e J possui um extremo local em yεS. Nesse caso, S = {yεC²[x0, x1]: y(x0) = y0, y(x1) = y1} e H = {ɳεC²[x0, x1]: ɳ (x0) = ɳ (x1) = 0}. Após aplicação de conceitos associados a derivação e expansão de Taylor com posterior análise da variação e simplificação, chegamos ao seguinte resultado: se J(y) é um extremo local então δJ(ɳ, y) = ∫ {ɳ.∂f/dy-d/dx(∂f/∂y’)}dx = 0 (primeira variação de J). Com efeito, considere os resultados técnicos descritos a seguir. Análise Real

11 5. A equação de Euler-Lagrange
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 5. A equação de Euler-Lagrange Lema. Sejam A e B dois números reais tais que A < B. Então existe uma função UεC²(R) com U(x) > 0 para todo xε(A, B) e U(x) = 0 para todo xεR-(A, B). Lema. Suponha que ∫ ɳ(x).g(x)dx = 0 para todo ɳεH. Se g:[x0, x1] é função contínua então g=0 no intervalo [x0, x1]. Formalmente, a composição dos resultados anteriores está resumida no seguinte teorema: Teorema. Seja J:C²[x0, x1] um funcional da forma J(y) = ∫ f(x, y, y’)dx, onde f posssui derivadas parciais de segunda ordem contínuas com respeito a x, y e y’ e x0 < x1. Considere S = {yεC²[x0, x1]: y(x0) = y0 e y(x1) = y1}, onde y0 e y1 são números reais dados. Se yεS é um extremo para J, então d/dx (∂f/ ∂y’)-∂f/∂y = 0 para todo xε[x0, x1]. A equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem que todo extremo (suave) y deve satisfazer. Essa equação é chamada a equação de Euler-Lagrange e os valores de fronteira associados a ela são y(x0)=y0 e y(x1) = y1. Análise Real

12 6. Resolução dos problemas
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 6. Resolução dos problemas A equação de Euler-Lagrange é usualmente difícil de simplificar, mais ainda de resolver. Existem, entrentanto, certos casos onde essa equação diferencial pode ser reduzida. Um deles é quando o integrando não contém a variável x explícita, caso dos problemas da braquistócrona e da catenária. Braquistócrona O problema da braquistótona tem um funcional da forma J(y) = ∫ {√(1+y’²)/√y}dx Utilizando a equação de Euler-Lagrange e aplicando uma parametrização, encontramos como solução y = C1(1+cos(2k)), x = C2-C1(2k+sin(2k)) Onde C1 e C2 são constantes. A solução é uma conhecida classe de cirvas planas chamadas ciclóides. Análise Real

13 6. Resolução dos problemas
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 6. Resolução dos problemas Catenária O problema da catenária tem um funcional da forma J(y) = ∫ {y√(1+y’²)}dx Repetindo o mesmo procedimento a partir da equação de Euler-Langrange, encontramos a solução y = c1.cosh((x-c2)/c1). onde c1 e c2 são constantes. Análise Real

14 7. Conclusão e Referência
Braquistótona e Catenária – Uma introdução ao Cálculo das Variações 7. Conclusão e Referência Esta apresentação é uma introdução ao cálculo das variações para matemáticos e cientistas. Encontramos resultados de grande interesse na geometria e nas equações diferenciais. Foi possível entender os resultados principais e verificar as demosnstrações construídas para maior entendimento. A aplicação em mecânica clássica se mostrou digna de grande atenção e de imensa relevância, visto que o cálculo das variações possibilita a comuta entre a matemática e diversas outras ciências num sentido “filosófico”, e não somente metodológico. Referência. Van Brut, B. The Calculus of Variations. Universitext, Springer, 2006. Análise Real