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Distribuição Binomial continuação Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp.

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1 Distribuição Binomial continuação Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp

2 O Processo Binomial Um lançamento de moeda segue um processo que gera dados binomiais. As características de um processo binomial são: p é constante de ensaio a ensaio (= 0.5) Há dois resultados, sucesso e fracasso (sucesso = cara ou coroa) Ensaios são independentes (um lançamento não afeta o próximo lançamento) Há um número (N) finito de ensaios (por exemplo, o nº de ensaios = 5)

3 n = nº de ensaios (exº: lançamento da moeda) x = número de sucessos em n ensaios = probabilidade de sucessos A Distribuição Binomial

4

5 PxNPr (X=x) x = nº de caras quando se lança 5 moedas Pr (X=x) = probabilidade de sair x caras em 5 ensaios

6 Histograma para a Distribuição Binomial A forma da distribuição binomial depende do valor do parâmetro

7 Exemplos: = 0.5 Simétrica = 0.9 assimetria negativa = 0.1 assimetria positiva

8 Calculando a Probabilidade Binomial Em geral, a distribuição binomial pode ser representada como:

9 E(X) = = np V(X) = 2 = np(1-p) Média e Variância da Variável Binomial E(X) = valor esperado = média V(X) = variância

10 A Distribuição Binomial Notação p = p(A) = a probabilidade de A q = p(B) = a probabilidade de B p + q = 1.00 Lançando uma moeda: p (caras) = q (coroas) =.50

11 A Distribuição Binomial Os dois resultados não precisam ser igualmente prováveis. Exemplo: desempenho em teste de múltipla escolha com 4 alternativas (a; b;c;d) Cada questão representa um ensaio; em cada ensaio há 2 resultados possíveis: Resultado 1: correto p = 0.25 Resultado 2: incorreto q = 0.75

12 A Distribuição Binomial A binomial é apropriada quando: 1. Há uma série de N ensaios. 2. Em cada ensaio, há apenas 2 possíveis resultados mutuamente exclusivos. 3. O resultado em cada ensaio é independente do resultado que se obtém de outros ensaio. 4. A probabilidade de cada resultado em qualquer ensaio é cohecida, e é constante de um ensaio ao próximo ensaio.

13 Probabilidade e a Binomial Distribuição Se houver N ensaio e você quer saber a probabilidade de ter r sucessos: p(r sucessos) = N! p r q N-r r! (N – r)! Exemplo: adivinhação de um nº pensado por outro Digo para 10 pessoas pensar um número entre 1 e 4; Se eu apenas chuto: p = 0.25; q = 0.75 e na fórmula de Prob (r acertos) temos N = 10.

14 REVISÃO DA CURVA NORMAL DE PROBABILIDADES

15 Contínua Simétrica Unimodal área total sob a curva soma a 1, ou 100%. área à direita média é ½ ou 50%. área à esquerda da média é ½ ou 50%. 1/2 Características da Normal REVISÃO

16 X Curva Normal REVISÃO

17 Curva Normal: diferentes médias e dp REVISÃO

18 Uma distribuição com Média = 0, e DP = 1 Fórmula Z Padroniza qualquer distribuição normal Escore Z calculada pela Fórmula Z O nº de DP s distante da média Curva Normal Padronizada REVISÃO

19 Second Decimal Place in Z Z Tabela Z padronizada REVISÃO

20 Z Exemplo de uso da Tabela Z REVISÃO

21 Z Exemplo numérico – Normal REVISÃO

22 Uso da Normal para resolver problemas de Binomial A distribuição normal pode ser usada em problemas da distribuição binomial que envolvem grandes valores de n. Para resolver um problema binomial pela distribuição normal realizamos uma conversion do n e p da binomial para o µ e σ da normal.

23 Equações de Conversão Conversion example: Aproximação para a Normal EXEMPLO ALFA

24 Gráfico EXEMPLO ALFA

25 Total XP(X) Binomial vs Aproximação Normal Pela Fórmula da Binomial Obs: Não foi necessário calcular até 60 EXEMPLO ALFA

26 Exemplo BETA Aproxime a probabilidade binomial P(x=10) quando n = 20 e p =.5 Os parâmetros da distribuição normal usados para a aproximação da binomial são: = np; 2 = np(1 - p) = npq Aproximação Normal para a Binomial

27 Correção de Continuidade Usamos a tabela normal para determinar a probabilidade de r (exº., respostas corretas). Mas, distribuições normais representam dados contínuos, e as variáveis binomiais são discretas. Portanto temos de considerar r como o ponto médio Portanto temos de considerar r como o ponto médio entre os limites reais de uma faixa de pontos (por exº: r -.5 to r +.5) Antes de resolver o Exemplo BETA

28 Correção de Continuidade Aproximação Normal Binomial Antes de resolver o Exemplo BETA

29 Correção de Continuidade Aproximação Normal para a Binomial Enunciado da binomialResolução via Normal Antes de resolver o Exemplo BETA

30 P(X Binomial = 10) = ~ = P(9.5

31 P(X 14) P(X 14) P(Y< 4.5) P(Y > 13.5) P(X 4) P(X 4) Correção de continuidade Aproximação Normal para a Binomial Outros exemplos

32 Condições para a aproximação A Binomial aproxima a Normal quando: 1. np > nq > 10 Média: = np DP = SQRT(npq) z = (X –np) /SQRT(npq) SQRT é a raiz quadrada

33 Em um teste com 48 questões, qual a probabilidade de se obter 14 respostas certas? p = ¼ q = ¾ N = 48 r = 14 z 1 = X – pn = 13.5 – 12 = 1.5/3 =.50 SQRT(npq) 3 Exemplo GAMA npq = 48(0.25)(0.75) = 9

34 Exemplo GAMA z x = 14.5 – 12 = 2.5/3 =.83 3 Observe a área acima do z-escore: Área acima z =.50 é.3085 Área acima z =.83 é.2033 Calculando a área entre os dois z-scores: =.1052

35 Binomial vs Normal Esta é uma probabilidade aproximada. Compare ( via aprox. normal) com a probabilidade da binomial = Elas são muito próximas, mas não exatamente a mesma. Exemplo GAMA

36 Exemplo DELTA Para n=15, p=0.4. Calcule P(X=7). Usando a fórmula binomial

37 Exemplo DELTA

38 bin(7; n =15;p = 0.4) Usando a aproximação normal. Obtemos np e npq. Exemplo DELTA Com a Binomial obtivemos o valor de p =

39 Exemplo ÉPSILON Solução VIA NORMAL No Canadá, como resultado de um levantamento, 24% das pessoas têm telefone com secretária eletrônica. Se uma campanha de telemarketing envolve 2500 pessoas, qual a probabilidade de, pelo menos, 650 terem secretária eletrônica?

40 A Distribuição Binomial Não esqueçam Uma variável aleatória X é o número de sucessos obtidos em n ensaios A probabilidade de cada sucesso é constante e igual a A probabilidade de X = x sucessos em n ensaios de um experimento binomial define a distribuição binomial

41 A Distribuição Binomial A distribuição binomial é dada por sua função densidade de probabilidade: p(x) Não esqueçam

42 Distribuição Binomial Provas de Bernoulli Aproximação a Normal Termos que devem ser familiares


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