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Vanessa FortesAula 51 Vivemos tomando decisões baseadas em informações incompletas... Peço uma sopa? As outras opções são tão CARAS, e eu não sei quem.

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1 Vanessa FortesAula 51 Vivemos tomando decisões baseadas em informações incompletas... Peço uma sopa? As outras opções são tão CARAS, e eu não sei quem está pagando... Será que os estatísticos são pão-duros? Nunca saí com um antes... apesar de já ter conhecido um contador bastante generoso... Peço uma sopa? Das 36 vezes em que a pedi, em 27 ela estava muito boa... Mas será que segunda é o dia de folga do chef? E o que acontecerá se todas as moléculas de ar do salão de repente voarem para o teto?

2 Vanessa FortesAula 52 Muitos de nós vivemos confortavelmente com um certo nível de incerteza... Por favor, o senhor poderia me trazer uma sopa? Argh! Você poderia me trazer uma CALCULADORA?

3 Vanessa FortesAula 53 O que distingue os estatísticos é a sua habilidade em quantificar a incerteza. Isto lhes permite fazer afirmações com certeza absoluta sobre o seu nível de incerteza! Boa pedida! Eu estou 95% confiante de que a sopa de hoje à noite tem uma probabilidade entre 73% e 77% de ser realmente deliciosa!

4 Vanessa FortesAula 54 O QUE É PROBABILIDADE? A teoria da probabilidade estuda os fenômenos aleatórios. A teoria da probabilidade estuda os fenômenos aleatórios. Utilizada inicialmente para o estudo de jogos de azar! Utilizada inicialmente para o estudo de jogos de azar! O jogo de dados moderno popularizou-se na Idade Média, com a apresentação de um quebra-cabeças matemático de um libertino da época, o Cavaleiro De Mere O jogo de dados moderno popularizou-se na Idade Média, com a apresentação de um quebra-cabeças matemático de um libertino da época, o Cavaleiro De Mere

5 Vanessa FortesAula 55 PROBABILIDADE Experimento Aleatório Experimento Aleatório –São fenômenos que, mesmo repetido várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. –O resultado final depende do acaso. É provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar É provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar –que ele ganhe –que ele perca –que ele empate Este resultado final pode ter três possibilidades. Este resultado final pode ter três possibilidades.

6 Vanessa FortesAula 56 PROBABILIDADE Espaço Amostral Espaço Amostral –Conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}. No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}. No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca), (co,co), (ca,co), (co,ca)} No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca), (co,co), (ca,co), (co,ca)}

7 Vanessa FortesAula 57 PROBABILIDADE Eventos Eventos –Qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento –Assim, qualquer que seja E, se E está contido em S, então E é um evento de S. –Se E = S, E é chamado de evento certo. –Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar. –Se E = Ø, E é chamado de evento impossível.

8 Vanessa FortesAula 58 PROBABILIDADE Probabilidade de um evento A = número real P(A) Probabilidade de um evento A = número real P(A) –número de casos favoráveis de A / número total de casos Exemplos: Exemplos: –No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ? S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50% –No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%

9 Vanessa FortesAula 59 PROBABILIDADE –No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100% Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. –No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0% Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%

10 Vanessa FortesAula 510 PROBABILIDADE Eventos Complementares Eventos Complementares –Um evento pode ocorrer ou não –p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) –q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso) –para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 –para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 –Exemplo: A probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p = 1/6, logo, a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado: q = 1 - p ou q = 1 - 1/6 = 5/6.

11 Vanessa FortesAula 511 PROBABILIDADE Eventos Independentes Eventos Independentes –Quando a ocorrência de um deles não afeta de modo algum a probabilidade do outro. –O conhecimento de que um dos eventos ocorreu não altera de nenhum modo a estimativa da probabilidade do outro evento.

12 Vanessa FortesAula 512 PROBABILIDADE Exemplo Exemplo –Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. –Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado? P1 é a probabilidade de realização do primeiro evento P1 é a probabilidade de realização do primeiro evento P2 a probabilidade de realização do segundo evento P2 a probabilidade de realização do segundo evento a probabilidade dos eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: P (1 2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2) a probabilidade dos eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: P (1 2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2) P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6 P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6 P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36 P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36

13 Vanessa FortesAula 513 PROBABILIDADE Eventos Mutuamente Exclusivos Eventos Mutuamente Exclusivos –Quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). –Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2) –Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2) –Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ? –Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

14 Vanessa FortesAula 514 PROBABILIDADE Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional –Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B. –Os eventos são dependentes e definidos pela fórmula: P (A e B ) = P (A) x P(B/A) –Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS? P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 % P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 % P(Copas1) = 13/52 P(Copas1) = 13/52 P(Copas2/Copas1) = 12/51 P(Copas2/Copas1) = 12/51

15 Vanessa FortesAula 515 PROBABILIDADE –No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. O resultado seria: –P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 % Variável aleatória Variável aleatória –Regra que atribui um valor numérico a cada possível resultado de um experimento. –Funções de probabilidades: f(X) = p(X= xi)

16 Vanessa FortesAula 516 DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS Variáveis *Distribuição Normal Distribuição t student Atributos *Distribuição Binomial *Distribuição Poisson

17 Vanessa FortesAula 517 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Exemplo – Distribuição de Probabilidade Exemplo – Distribuição de Probabilidade –Ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida por "pontos de um dado", pode tomar os valores 1,2,3,4,5 e 6. –Então resulta a seguinte distribuição de probabilidade:

18 Vanessa FortesAula 518 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Distribuição Binomial Distribuição Binomial Fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, sucesso e insucesso. Fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, sucesso e insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. onde

19 Vanessa FortesAula 519 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo: Exemplo: –Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. –Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. –n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2 –n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2 –P(x=3) = 5/16 onde

20 Vanessa FortesAula 520 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Distribuição de Poisson Distribuição de Poisson –Distribuição de probabilidades aplicada para acontecimentos raros, entretanto o seu maior uso prático é como aproximação para a distribuição binomial. A P(x) é calculada pela fórmula abaixo: A P(x) é calculada pela fórmula abaixo: Onde: Onde: é a média da distribuição (n. p) é a média da distribuição (n. p) representa a constante de valor igual a 2,718 representa a constante de valor igual a 2,718 x ! é o fatorial de x (0 ! = 1 e qualquer número elevado a zero é igual a 1) x ! é o fatorial de x (0 ! = 1 e qualquer número elevado a zero é igual a 1)

21 Vanessa FortesAula 521 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Quando um acontecimento segue a distribuição binomial Quando um acontecimento segue a distribuição binomial –um p (sucesso) muito pequeno de tal modo que é necessário um n muito grande para que o sucesso ocorra –Pode-se simplificar os cálculos usando a distribuição de Poisson como aproximação para a distribuição binomial. Para que os resultados aproximados pela distribuição de Poisson sejam satisfatórios Para que os resultados aproximados pela distribuição de Poisson sejam satisfatórios –Deve-se fazer a substituição da distribuição binomial pela de Poisson –quando n for maior ou igual a 50 e p menor ou igual a 0,1 ou p maior ou igual a 0,9 ( p próximo de 0 ou próximo de 1)

22 Vanessa FortesAula 522 DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) É a distribuição mais comumente utilizada na análise de dados. É a distribuição mais comumente utilizada na análise de dados. A soma de um grande número de observações independentes de qualquer distribuição tem uma distribuição normal. A soma de um grande número de observações independentes de qualquer distribuição tem uma distribuição normal. É a distribuição que representa o comportamento de uma infinidade de coisas do universo. É a distribuição que representa o comportamento de uma infinidade de coisas do universo. Sua curva possui forma de sino e existe uma concentração muito grande de itens em torno de uma média e à medida que avançamos para os extremos essa concentração diminui. Sua curva possui forma de sino e existe uma concentração muito grande de itens em torno de uma média e à medida que avançamos para os extremos essa concentração diminui.

23 Vanessa FortesAula 523 DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Propriedades Propriedades –1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. –2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. –3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.

24 Vanessa FortesAula 524 DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Propriedades Propriedades –4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. –5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

25 Vanessa FortesAula 525 Por que a distribuição normal é importante? Por que a distribuição normal é importante? –68% de todas as observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média –um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores –99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média 34% 2 DP Média 1 DP 68,3% 2 DP 95,5% 3 DP 99,7% DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)

26 Vanessa FortesAula 526 DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) A equação da curva é dada por: A equação da curva é dada por: –A área total sob a curva representa uma probabilidade total que é igual a 1

27 Vanessa FortesAula 527 Distribuição Normal (Gauss) Distribuição Normal (Gauss) –Os dois parâmetros (média e desvio padrão) apresentam variações. –Para utilizar apenas uma tabela de área é realizada uma transformação, onde a equação se torna mais simples: DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)

28 Vanessa FortesAula 528 Cálculo da porcentagem fora da especificação Cálculo da porcentagem fora da especificação –É possível realizar este cálculo quando julgamos que o processo varia conforme a distribuição normal –Pode-se determinar a porcentagem de defeituosos a partir das especificações fornecidas e dos parâmetros (média e desvio padrão) –Zab = Porcentagem abaixo –Zac = Porcentagem acima DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)

29 Vanessa FortesAula 529 Índice de Capacidade do Processo (Cp) Índice de Capacidade do Processo (Cp) –É possível realizar este cálculo também pela capacidade do processo Especificações bilaterais (LSE e LIE) Especificações bilaterais (LSE e LIE) Especificações unilaterais (LSE ou LIE) Especificações unilaterais (LSE ou LIE) DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)

30 Vanessa FortesAula 530 Índice de Capacidade do Processo (Cp) Índice de Capacidade do Processo (Cp) –A avaliação é feita da seguinte forma: 1,33 Cp bastante satisfatório 1,33 Cp bastante satisfatório 1,00 Cp 1,33 adequado 1,00 Cp 1,33 adequado Cp 1,00 inadequado Cp 1,00 inadequado DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS)

31 Vanessa FortesAula 531 Análise da Capabilidade / Capacidade C p = Tolerancia 6 = LSC - LIC 6 Resume o potencial do processo para atingir os limites de especificação


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