Regras de Inferência Como gerar na Lógica Proposicional formas válidas de argumento? Regras de Inferência permitem gerar formas de argumentos numa série.

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1 Regras de Inferência Como gerar na Lógica Proposicional formas válidas de argumento? Regras de Inferência permitem gerar formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio chamada prova ou derivação. Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras de inferência. Existem 10 regras básicas: uma para incluir e outra para excluir cada um dos operadores lógicos.

2 Ex: {C, SA, CS} |-- A 1. C P 2. SA P 3. CS P 4. S 1 e 3 MP
5. A 2 e 4 MP

3 Derivação Uma derivação (prova) de uma forma de argumento é uma seqüência de enunciados <e1, e2, .... en>, onde: en é a conclusão Cada e1, e2, .... en pode ser: Uma premissa ou O resultado da aplicação de uma regra à enunciados anteriores.

4 Derivação No exemplo, temos que a seqüência de fórmulas (que representam os enunciados). 1, 2, é uma derivação ou uma prova da forma indicada. A regra utilizada MP chama-se Modus Ponens (modo afirmativo).

5 Modus Ponens (MP): de um condicional e de seu antecedente, podemos inferir o seu conseqüente. α α  β β

6 Ex: {~P(QR), ~P, Q} |-- R
2. ~P P 3. Q P 4. QR 1 e 2 MP 5. R 3 e 4 MP

7 Eliminação da negação (~E):
de uma fórmula da forma ~~α, podemos inferir α. ~~α α

8 Ex: {~P  ~~Q, ~~~P} |-- Q 1. ~P  ~~Q P 2. ~~~P P 3. ~P 2 ~E
4. ~~Q 1 e 3 MP 5. Q 4 ~E

9 Introdução de conjunção (^I):
de quaisquer fórmulas α e β. podemos inferir a conjunção α e β. α β α ^ β

10 Eliminação de conjunção (^E):
de uma conjunção podemos inferir qualquer um dos seus componentes. α ^ β α ^ β α β

11 Ex:{P(Q^R), P} |-- P ^ Q 1. P(Q^R) P 2. P P 3. Q^R 1 e 2 MP
4. Q 3 ^E 5. P ^ Q 2 e 4 ^I

12 Ex:{(P^Q)(R^S),~~P, Q} |-- S
2. ~~P P 3. Q P 4. P 2 ~E 5. P ^ Q 3 e 4 ^I 6. R^S 1 e 5 MP 7. S 6 ^E

13 Introdução de disjunção (νI) :
de uma fórmula α, podemos inferir a disjunção de α com qualquer fórmula β. α . α v β

14 Ex:{P |-- (PvQ) ^ (PvR)}
2. PvQ vI 3. PvR vI 4. (PvQ) ^ (PvR) 2 e 3 ^I

15 Ex:{P, ~~(PQ) |--(R^S)vQ}
2. ~~(PQ) P 3. PQ 2 e ~E 4. Q 1 e 3 MP 5. (R^S)vQ 4 e vI

16 Eliminação de disjunção (vE):
De quaisquer fórmulas da forma α v β, αγ, βγ , podemos inferir γ. α v β αγ βγ γ

17 Exemplo: Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana. {SvD, SF, DF} |-- F

18 Introdução do Bicondicional ():
de quaisquer fórmulas da forma α  β e β α, podemos inferir αβ. α  β β α αβ

19 Eliminação do Bicondicional (E):
de qualquer fórmula da forma αβ, podemos inferir as fórmulas α β ou β α. αβ , αβ αβ βα

20 Exemplos: Hoje é um fim de semana se e somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado. {F(SvD), S} |-- F

21 {F(SvD), S} |-- F 1. F(SvD) P 2. S P 3. SvD 2 vI 4. (SvD)F 1 E
5. F 2 e 4 MP

22 {PQ, (PQ)(QP)} |-- PQ
3. QP 1 e 2 MP 4. PQ 1 e 3 I

23 Regras Hipotéticas Introdução do condicional e da negação empregam raciocínio hipotético: Raciocínio baseado em hipóteses. As hipóteses não são consideradas como verdadeiras, elas são "artifícios lógicos" (estratégia de prova).

24 Exemplo: Um atleta machucou o tornozelo uma semana antes de um campeonato de corrida e seu técnico procura convencê-lo a parar alguns dias para que seu tornozelo sare totalmente: O técnico argumenta: "Se você continuar a correr, você não estará apto para disputar o campeonato". O atleta não se convence e diz: "Prove isso".

25 Solução A maneira mais comum de provar um condicional é colocar o seu antecedente como hipótese (admiti-lo como verdadeiro) e provar que a partir dele seu consequente se verifica. Para esse exemplo, equivale a raciocinar do seguinte modo:

26 Solução "Olhe, suponhamos que você continue correndo, o seu tornozelo está muito inchado. Se ele está muito inchado e você continuar correndo, ele não sarará em uma semana. Se ele não sarar em uma semana, então você não estará apto para disputar o campeonato. Deste modo, você não estará apto para disputar o campeonato."

27 Solução O novo argumento emprega três suposições afirmadas como verdadeiras: 1) Seu tornozelo está muito inchado. 2) Se o seu tornozelo está muito inchado e você continuar correndo, ele não irá sarar em uma semana. 3) Se o seu tornozelo não sarar em uma semana, então você não estará apto a disputar o campeonato.

28 Solução O argumento hipotético demonstra que se a hipótese "você continuar correndo" é verdadeira, então a conclusão do argumento "você não estará apto para disputar o campeonato", se verifica. Assim, fica provada a verdade do condicional: "Se você continuar correndo, você não estará apto a disputar o campeonato".

29 Formalizando: Suposições desse argumento hipotético:
1. I Tornozelo está inchado 2. (I ^ C)~S Se tornozelo inchado e continuar correndo, então não irá sarar. 3. ~S~A Se seu tornozelo não sarar você não estará apto para o Campeonato. Conclusão a ser provada: C~A Se você continuar correndo agora, você não estará apto para Campeonato.

30 Formalizando: Forma do novo argumento: {I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A

31 Derivação: {I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A
1. I P 2. (I ^ C)~S P 3. ~S~A P 4. | C H p/ PC 5. | I ^ C 1 e 4 ^I 6. | ~S 2 e 5 MP 7. | ~A 3 e 6 MP 8. C~A 4 e 7 PC

32 Prova do Condicional (PC):
Dada uma derivação de uma fórmula  a partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir  {} ├   Em relação ao exemplo da corrida,  é C e  é ~A.

33 Outros exemplos: Ex. 1: {P  Q, Q  R} ├ P  R 1. P  Q P 2. Q  R P
3. | P H p/PC 4. | Q 1 e 3 MP 5. | R 2 e 4 MP 6. P  R 3 e 5 PC

34 Outros exemplos: Ex. 2: {(P ^ Q)  R} ├ P  (Q  R) 1. (P ^ Q)  R P
2. | P H p/PC 3. | | Q H p/PC 4. | | P ^ Q 2 e 3 ^I 5. | | R e 4 MP 6. | Q  R 3 e 5 PC 7. P  (Q  R) 2 e 6 PC

35 Outros exemplos: Ex. 3: {(P ^ Q) v (P ^ R)} ├ P ^ (Q v R)
2. | P ^ Q H 3. | P 2 p/ ^E 4. | Q 2 p/ ^E 5. | Q v R 4 p/ vI 6. | P ^ (Q v R) 3 e 5 ^I 7. (P ^ Q)  P ^ (Q v R) 2 e 6 PC 8. | P ^ R H 9. | P 8 p/ ^E 10. | R 8 p/ ^E 11. | Q v R 10 p/ vI 12. | P ^ (Q v R) 9 e 11 ^I 13. (P ^ R)  P ^ (Q v R) 8 e 12 PC 14. P ^ (Q v R) 1 e 7 e 13 vE

36 Redução ao Absurdo (RAA):
Dada uma derivação de uma contradição a partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir ~. {} ├  ^ ~ ~ Obs: Uma contradição é qualquer fórmula da forma  ^ ~, onde  pode ser qualquer fórmula.

37 Ex: {P  Q, ~Q} ├ ~P 1. P  Q P 2. ~Q P 3. | P H p/RAA 4. | Q 1 e 3 MP
5. | Q ^ ~Q 2 e 4 ^I 6. ~P 3 e 5 RAA

38 Ex: {(~P  P)} ├ P 1. ~P  P P 2. |~P H p/RAA 3. |P 1 e 2 MP
4. |P ^ ~P 2 e 3 ^I 5. ~~P 2 e 4 RAA 6. P ~E

39 Regras Derivadas 1- Modus Tollens (MT): (modo negação)
{P  Q, ~Q} ├ ~P Derivação: 1. P  Q P 2. ~Q P 3. | P H p/ RAA 4. | Q 1e 3 MP 5. | Q ^ ~Q 2e 4 ^I 6. ~P 3e 5 RAA

40 Regras Derivadas 2 – Contradição (CONTRAD): {P, ~P} ├ Q Derivação:
3. | ~Q H 4. | P ^ ~P 1 e 2 ^I 5. ~~Q 3 e 4 RAA 6. Q 5 p/ ~E

41 Regras Derivadas 3 - Silogismo Disjuntivo (SD): {P v Q, ~P} ├ Q
Solução: 1. P v Q P 2. ~P P 3. | P H p/PC 4. | Q 2 e 3 CONTRAD 5. P  Q 3 e 4 PC 6. | Q H p/PC 7. Q  Q 6 e 6 PC 8. Q 1 e 5 e 7 vE

42 Exercício: Mostre que os seguintes argumentos são válidos:
Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

43 Solução: Identificando as Sentenças: Formalizando:
P: as premissas deste argumento são verdadeiras. S: este argumento é correto. V: este argumento é válido. Formalizando: {(~S ^ V)  ~P, P, V} ├ S

44 Prova: {(~S ^ V)  ~P, P, V} ├ S
4. | ~S H p/RAA 5. | ~S ^ V 3 e 4 ^I 6. | ~P 1 e 5 MP 7. | P ^ ~P 2 e 6 ^I 8. ~~S 4 e 7 RAA 9. S ~E

45 Exercício: Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. {D  V, ~V} ├ ~D Derivação: 1. D  V P 2. ~V P 3. | D H 4. | V 1 e 3 MP 5. | V ^ ~V 2 e 4 ^I 6. ~D 3 e 5 RAA

46 ou então: {D  V, ~V} ├ ~D 1. D  V P 2. ~V P 3. ~D 1 e 2 MT

47 Exercício: Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado. {Q  X, X  S} ├ Q  S

48 Prova: {Q  X, X  S} ├ Q  S 1. Q  X P 2. X  S P 3. | Q H
4. | X 1e 3 MP 5. | S 2e 4 MP 6. Q  S 3e 5 PC