Resolução.

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1 Resolução

2 Equivalências de 1a Ordem
As leis de equivalência lógica permitem simplificar fórmulas da Lógica de 1a Ordem em fórmulas equivalentes, porém mais simples – Forma Normal Prenex. Na forma Prenex todos os quantificadores encontram-se no início da fórmula. Veremos uma outra forma normal, na qual elimina-se os quantificadores existenciais – Forma Normal de skolem

3 Forma Normal Skolem Essa forma elimina os quantificadores existenciais de uma forma prenex obtendo uma generalização A eliminação do existencial é obtida pelo seguinte procedimento proposto por Skolem:

4 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Seja a uma fórmula na forma normal prenex Q1x1, ..., Qnxn(M), onde M está na forma normal conjuntiva e Qr um quantificador existencial no prefixo de a Q1x1, ... ,Qnxn, 1  r  n. A eliminação de Qnxn é feita observando-se os quantificadores que o antecedem. Ocorre da seguinte maneira:

5 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Se não existir nenhum quantificador universal anterior a Qrxr no prefixo, faça: escolha uma nova constante c diferente de qualquer outra que ocorre em M, substitua todos os xr ocorrendo em M por c e elimine Qrxr do prefixo. senão ...

6 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
... senão .., Se Qs1, ... ,Qsm são os quantificadores universais anteriores a Qr no prefixo, 1  s1 < s2 < ... < sm < r, faça: escolha um novo símbolo funcional m-ário f diferente de outros símbolos funcionais ocorrendo em M, substitua todos os xr ocorrendo em M pelo termo f(s1, ... , sm) e elimine Qrxr do prefixo.

7 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Depois do processo de eliminação (skolemização) ser aplicado a todos os quantificadores existenciais do prefixo, a fórmula obtida está na forma normal de skolem, denotada por skolem(a).

8 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Exemplo: obter skolem(a) a = xyzu(P(x, y, z, u)) x não é precedido de quantificador universal, então: yzu(P(a, y, z, u)) 2. u é precedido por yz, então: yz (P(a, y, z, f(y, z)))

9 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Observe a semântica da função skolem: Considere o predicado Mãe definido com o seguinte significado: Mãe(x,y): x é mãe de y papel do 1o termo: é mãe papel do 2o termo: é filho

10 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Exemplo 1: “Todo mundo tem mãe” significa que “para todo x existe um y que é mãe de x “ a = xy(Mãe(y,x)) skolem(a) = x(Mãe(f(x),x)) a função f expressa que o valor de y: a mãe, depende do valor de x: o filho

11 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Exemplo 2: “Existe alguém que é mãe de todos” = “existe um x que para todo y, x é mãe de y “ a = xy(Mãe(x,y)) skolem(a) = y(Mãe(a,y)) a constante a pode ser = “Nossa Senhora”

12 Procedimento de Eliminação de Quantificadores Existenciais
Exemplo: obter skolem()  = (xyz((~P(x,y) ^ Q(x,z)) v R(x,y,z)) xyz((~P(x,y) ^ Q(x,z)) v R(x,y,z)) xyz((~P(x,y) v R(x,y,z)) ^ (Q(x,z) v R(x,y,z))) xz((~P(x,f(x)) v R(x,f(x),z)) ^ (Q(x,z) v R(x,f(x),z))) x((~P(x,f(x)) v R(x,f(x),g(x)) ^ (Q(x,g(x)) v R(x,f(x),g(x))))

13 Forma Normal Skolem Teorema 1: Seja a um fórmula de 1a ordem. Então, a é insatisfatível se e somente se skolem(a) é insatisfatível. As outras formas normais preservam os modelos das fórmulas originais (são tautologicamente equivalentes) A forma normal de skolem preserva apenas a condição de insatisfatibilidade da fórmula original.

14 Forma Normal Skolem Exemplo: Seja a = x(P(x)) então, skolem(a) = P(a)
Seja I a seguinte interpretação : D = {1, 2} aI = 1 PI(1) = F PI(2) = V Então, I satisfaz a, mas não satisfaz skolem(a).

15 Representação Clausal de Fórmulas
Def.2  Um literal é uma fórmula atômica (literal positivo) ou a negação de uma fórmula atômica (literal negativo). Def.3  Uma cláusula é uma disjunção de literais Exemplo: P(x)  Q(a)  ~R(y)

16 Representação Clausal de Fórmulas
Por conveniência, uma cláusula pode também ser representada como um conjunto, o conjunto de seus literais. Exemplo: {P(x), Q(a), ~R(y)}

17 Representação Clausal de Fórmulas
Def.4  A cláusula vazia é uma cláusula sem literais (conjunto vazio) e é representada por  e Representa uma fórmula insatisfatível ( ^ ~). Qualquer fórmula de 1a ordem pode ser transformada em um conjunto de cláusulas.

18 Procedimento de Transformação de Fórmulas em Cláusulas
1. Eliminar  usando a “lei” a  b |=|(a  b)^(b  a) 2. Eliminar  usando a “lei” a  b |=| ~ a  b 3. Reduzir escopo de ~ usando a “lei” de De Morgan e outras “leis” 4. Renomear variáveis 5. Skolemizar 6. Converter para a Forma Normal Prenex 7. Converter matriz para a Forma Normal Conjuntiva 8. Eliminar quantificadores universais 9. Eliminar ^ e obter o conjunto de cláusulas

19 Exemplo:Transformar  em cláusula =x(P(x)  (y(P(y)  P(f(x, y))) ^ ~y(Q(x, y)  P(y))))
4. x(~P(x)  (y(~P(y)  P(f(x, y))) ^ w(Q(x, w) ^ ~P(w)))) 5. x(~P(x)  (y(~P(y)  P(f(x, y))) ^ (Q(x, g(x)) ^ ~P(g(x))))) 6. xy (~P(x)  ((~P(y)  P(f(x, y)) ) ^ (Q(x, g(x)) ^ ~P(g(x)) ))) 7. xy ( (~P(x)  (~P(y)  P(f(x, y)))) ^ (~P(x) v (Q(x, g(x)) ^ ~P(g(x)) ))) 8. xy((~P(x)  ~P(y)  P(f(x, y))) ^ (( ~P(x)  Q(x, g(x))) ^ (~P(x)  ~P(g(x))))) 9.{ ~P(x)  ~P(y)  P(f(x, y)), ~P(x)  Q(x, g(x)), ~P(x)  ~P(g(x)) }

20 Exemplo: Transformar  em cláusula =x(P(x)  (y(P(y)  P(f(x, y))) ^ ~y(Q(x, y) P(y))))
A fórmula  foi transformada em um conjunto, S, de 3 cláusulas : S= {~P(x)  ~P(y)  P(f(x, y)), ~P(x)  Q(x, g(x)), ~P(x)  ~P(g(x)) }

21 Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário”
Exemplo: A transformação da fórmula 12 em cláusulas xyz((depende(x, z) & depende(z, y))  depende(x, y)) xyz(~(depende(x, z) & depende(z, y))v depende(x, y)) xyz((~depende(x,z) v ~depende(z,y)) v depende(x,y)) S = {~depende(x,z) v ~depende(z,y) v depende(x,y)} A fórmula 12 foi transformada em um conjunto S de apenas uma cláusula

22 Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário”
Representação clausal após as transformações: 1. programa(a, fortran) 2. programa(b, pascal) 3. programa(c, fortran) 4. arquivo(d, sequencial) 5. arquivo(e, direto) 6. chama(a, b) 7. chama(a, c) 8. usa(a, d) 9. usa(b, e) Continua... Um fórmula atômica é uma cláusula. cada fato (dado) do “Dicionário” já estava representado por uma fórmula atômica.

23 Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário”
Continuação... 10. ~chama(x, y)  depende(x, y) 11. ~usa(x, y)  depende(x, y) 12. ~depende(x, z)  ~depende(z, y)  depende(x, y) cada regra foi transformada em conj. de cláusulas As três últimas cláusulas também podem ser representadas por conjunto de literais: 10’. ~chama(x, y), depende(x, y)) 11’. ~usa(x, y), depende(x, y) 12’. ~depende(x, z), ~depende(z, y), depende(x, y)

24 Exemplo: Fazer a representação clausal de um estado do “Dicionário”
Representação clausal completa: 1. programa(a, fortran) 2. programa(b, pascal) 3. programa(c, fortran) 4. arquivo(d, sequencial) 5. arquivo(e, direto) 6. chama(a, b) 7. chama(a, c) 8. usa(a, d) 9. usa(b, e) 10. ~chama(x, y)  depende(x, y) 11. ~usa(x, y)  depende(x, y) 12. ~depende(x, z)  ~depende(z, y)  depende(x, y) F A T O S REGRAS

25 Resolução 5.1 O Princípio da Resolução (Lógica Proposicional)
Para quaisquer duas cláusulas C1 e C2, se existe um literal L1 em C1 que seja complementar a um literal L2 em C2, então retire L1 e L2 de C1 e de C2 respectivamente, e construa a disjunção das cláusulas remanescentes. A cláusula assim construída é dita ser um resolvente de C1 e C2.

26 Resolução Considere as seguintes cláusulas C1 e C2 abaixo:
C1: P  R C2: ~P  Q R  Q é um resolvente de C1 e C2.

27 Resolução Teorema 1: Dado duas cláusulas C1 e C2, um resolvente C de C1 e C2 é conseqüência lógica de C1 e C2. Def.1  Dado um conjunto S de cláusulas, uma resolução (dedução) de uma cláusula C a partir de S é uma seqüência finita C1, ... ,Ck de cláusulas tal que cada Ci é uma cláusula em S ou um resolvente de cláusulas precedendo Ci, e Ck = C. Uma dedução de  a partir de S é chamada uma refutação de S.

28 Resolução Exemplo: Prove que o conjunto de cláusulas S é insatisfatível: S = {~P  Q, ~Q, P} 1. ~P  Q C1 2. ~Q C2 3. P C3 4. Q de 1 e 3, R 5.  de 4 e 2, R

29 Unificação Aplicar o Princípio da Resolução implica em procurar literais complementares. Para cláusulas sem variáveis é muito simples. Para cláusulas com variáveis, é necessário fazer substituições para unificar os literais Exemplo: C1: P(x)  Q(x) C2: ~P(f(y))  R(y)

30 Unificação: Exemplo:C1 (P(x)  Q(x)) e C2 (~P(f(y))  R(y))
Aplicando-se as substituições s1 e s2 à C1 e C2, C1: P(x)  Q(x) s1 = {x/f(a) } C2: ~P(f(y))  R(y) s2 = {y/a } Obtém-se C’1 e C’2, C’1: P(f(a))  Q(f(a)) C’2: ~P(f(a))  R(a) Aplicando-se o princípio da Resolução à C’1 e C’2 obtém-se o resolvente C: C: Q(f(a))  R(a)

31 Unificação Outras substituições também poderiam ser aplicadas
Exercício: Para s1 = {x/f(f(a))} e s2 = {y/f(a)}, Qual seria o resolvente obtido? Teria outras possíveis substituições? Uma substituição mais geral seria substituir x por f(y) em C1 e obter-se: C1*: P(f(y))  Q(f(y)) e um resolvente mais geral C: C: Q(f(y))  R(y)

32 Unificação A cláusula C é a cláusula mais geral no sentido de que todas as outras cláusulas que podem ser obtida pelo processo anterior são instâncias de C. Por exemplo, C’ é uma instância de C. C: Q(f(y))  R(y) C’: Q(f(a))  R(a)

33 Unificação Def.2  Sejam as substituições  = {x1/t1, ... ,xn/tn } e
 = { y1/u1, ... , ym/um} a composição de  com  () é a substituição obtida do conjunto { x1/t1, ... , xn/tn, y1/u1, ... , ym/um} excluindo-se os seguintes elementos: xj/tj para o qual tj = xj e yi/ui tal que yi  {x1, ... ,xn}.

34 Unificação Exemplo: Sejam as substituições
 = {t1/x1, t2/x2} = { x/f(y), y /z }  = { y1/u1, y2/u2, y3/u3 } = { x/a, y/b, z/y } () = { x1/t1, x2/t2, y1/u1, y2/u2, y3/u3 } = { x/f(b), y/y, x/a, y/b, z/y } = { x/f(b), z/y }

35 Unificação Def.3  Uma substituição  é chamada um unificador para um conjunto de expressões {E1, ... ,En} se e somente se E1 = E2 = ... = En. O conjunto {E1, ... ,En} é dito ser unificável se existe um unificador para ele.

36 Unificação Def.4  Um unificador s para um conjunto de expressões {E1, ... ,En} é um unificador mais geral (umg) se e somente se para cada unificador  para o conjunto, existe uma substituição l tal que  = sl.

37 Unificação Exemplo: E = {Q(x), Q(f(y))}
Entre outras possíveis substituições,  unifica E  = {x/f(a) , y/a} e o umg s = {x/f(y)} Existe uma substituição l tal que  = sl Essa substituição seria: l = {y/a} {x/f(a) , y/a} = sl {x/f(a) , y/a} = {x/f(y)}  {y/a} {x/f(a) , y/a} = {x/f(a), y/a} Para outra substituição  = {x/f(f(a)), y/f(a)}, l seria {y/f(a)}

38 Unificação Def.5  Um conjunto de termos D é o conjunto de discórdia de um conjunto de expressões E = {E1, ... ,En} se e somente se: (i) D =  , se n = 1 (ii) D = {t1, ... ,tn}, se n > 1 e todas as expressões em E são idênticas até o i-ésimo símbolo, exclusive, e t1, ... ,tn são os termos ocorrendo em E1, ... ,En que começam na posição i.

39 Unificação Exemplo1: Discórdia de E1 E1 = {P(x), P(a)}
E2 = {P(x, f(y, z)), P(x, a), P(x, g(h(k(x))))} D = {x, a} D = {f(y, z), a, g(h(k(x)))}

40 Algoritmo de Unificação
1. Faça k = 0, Ek = E e sk =  2. Se Ek é um conjunto unitário, pare. sk é um unificador mais geral para E. Caso contrário, encontre o conjunto discórdia Dk de Ek. 3. Se existem vk e tk em Dk tal que vk é uma variável que não ocorre em tk, vá para 4. Caso contrário, pare. E não é unificável. 4. Faça sk+1= sk{ vk/tk } e Ek+1= Ek{ vk/tk } 5. Faça k = k+1 e vá para 2.

41 Algoritmo de Unificação Exemplo: E = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))}
K= 0 S0 = e E0 = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))} D0 = {a, z}. v0 = z e t0 = a. S1 = s0 {v0/t0} = e{z/a} = {z/a} E1= E0.{v0/t0} = {P(a, x, f(g(y))), P(a, f(a), f(u))} D1 = {x, f(a)}. v1 = x e t1 = f(a) K = 1 S2 = s1{v1/t1} = {z/a}{x/f(a)} = {z/a, x/f(a)} E2 = E1. { v1/t1} = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(u))} D2 = {g(y), u} v2 = u e t2 = g(y) K = 2

42 Algoritmo de Unificação Exemplo: E = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))}
Continuação ... S3 = s2 {v2/t2} = {z/a, x/f(a), u/g(y)} E3 = E2.{v2/t2} = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(u))}.{g(y)/u} = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(g(y)))} = { P(a, f(a), f(g(y)))} K = 3 Visto E3 ser unitário, S3 é um umg S3 = {z/a, x/f(a), u/g(y)} para E. E = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(z), f(u))}

43 Resolução: Definições
Def.6  Se dois ou mais literais (com o mesmo sinal) de uma única cláusula C tem um unificador mais geral s, então Cs é chamado um fator de C

44 Resolução: Definições
Exemplo: Seja C = P(x)  P(f(y))  ~Q(x) P(x) e P(f(y)) tem um umg s = {x/f(y)} Cs = P(f(y))  ~Q(f(y)) é um fator de C.

45 Resolução: Definições
Def.7  Sejam C1 e C2 duas cláusulas sem variáveis comuns. Sejam L1 e L2 literais de C1 e C2, respectivamente. Se L1 e ~L2 tem um unificador mais geral s, então a cláusula: (C1s  L1s)  (C2s  L2s) é chamada um resolvente binário de C1 e C2.

46 Resolução: Definições
Exemplo: Sejam C1: P(x)  Q(x) (C2 não tem x) C2: ~P(a)  R(y) (C1 não tem y) literais L1 = P(x) L2 = ~P(a), então, ~L2 = P(a). umg de L1 e L2 é s = {x/a} logo, (C1s  L1s)  (C2s  L2s) = Q(a)  R(y) um resolvente binário de C1 e C2.

47 Resolução: Definições
Def.8  Um resolvente de cláusulas C1 e C2 é um dos seguintes resolventes binários: (i) um resolvente binário de C1 e C2 (ii) um resolvente binário de C1 e um fator de C2 (iii) um resolvente binário de um fator de C1 e C2 (iv) um resolvente binário de um fator de C1 e um fator de C2

48 Resolução: Definições
Exemplo: Sejam C1 = P(x)  P(f(y))  R(g(y)) C2 = ~P(f(g(a)))  Q(b) Um fator de C1 é: C1’ = P(f(y))  R(g(y)) Um resolvente binário de C1’ e C2 é: C = R(g(g(a)))  Q(b)

49 Resolução: Definições
Teorema 2: Se C é um resolvente de duas cláusulas C1 e C2 então C é consequência lógica de C1 e C2.

50 O Sistema Formal da Resolução
Def.9  O Sistema Formal da Resolução R consiste de: (i) Classe de linguagens Para cada alfabeto de 1a ordem, o conjunto das cláusulas sobre este alfabeto. (ii) Axiomas Nenhum. (iii) Regras de Inferência Regra da Resolução definida como: Se C’ e C’’ são cláusulas e C é um resolvente de C’ e C’’, então derive C de C’ e C’’

51 O Sistema Formal da Resolução
Observe que a noção de uma dedução (derivação ou prova) em R é formalizada de maneira semelhante à noção de dedução em um sistema formal axiomático, no qual usa-se regras de inferência e axiomas.

52 O Sistema Formal da Resolução
Teorema 3: Teorema da Correção Para todo conjunto S de cláusulas, se existe uma refutação a partir de S em R, então S é insatisfatível. “tudo que se deriva é semanticamente correto” Teorema 4: Teorema da Completude Para todo conjunto S de cláusulas, se S é insatisfatível, então existe uma refutação a partir de S em R. “se é consequência lógica existe uma derivação”

53 Exemplos de Aplicações: Banco de Dados
Exemplo 1: Considere o Banco de Dados que segue a seguinte Questão ou Consulta: Quem é o chefe de João? gerente(Vendas, José) lotado(João, Vendas) lotado(y, x) & gerente(x, z)  chefe(y, z) FATOS REGRA

54 Exemplos de Aplicações: Banco de Dados
Transformando essa descrição para cláusulas e fazendo derivações: 1. gerente(Vendas, José) 2. lotado(João, Vendas) 3. ~lotado(y, x)  ~gerente(x, z)  chefe(y, z) 4. ~lotado(y, Vendas)  ~gerente(Vendas, José)  chefe(y, José) 5. ~lotado(y, Vendas)  chefe(y, José) , 3 R 6. ~lotado(João, Vendas)  chefe(João, José) 7. chefe(João, José) , 5 R

55 Exemplos de Aplicações: Banco de Dados
Exemplo 2: A figura que segue representa a maneira que umas caixas estão arrumadas: C A B chão Use a Linguagem da Lógica de 1a Ordem para descrever essa arrumação, ou seja, as caixas que estão no topo, no chão e o que está sobre cada caixa. Uma regra de restrição observada para as caixas que estão no topo é: “as caixas que estão no topo, não têm nenhuma caixa sobre elas”.

56 Exemplos de Aplicações: Banco de Dados
Descrição da situação: 1. chão(A) 2. chão(B) 3. topo(C) 4. sobre(C, A) 5. x(topo(x)  ~y(sobre(y, x)) Questão: tem algum bloco sobre o bloco C? F A T O S REGRA

57 Exemplos de Aplicações: Banco de Dados
Transformando para cláusulas e fazendo derivações: 1. chão(A) 2. chão(B) 3. topo(C) 4. sobre(C, A) 5. ~topo(x)  ~sobre(y, x) 7. ~topo(C)  ~sobre(y, C) 8. ~sobre(y, C)

58 Métodos Básicos de Resolução (Refutação)
Método de Resolução por Saturação 1. Dado um conjunto finito de cláusulas S, construa uma sequência S0, S1, ... de conjuntos de cláusulas da forma seguinte: S0 = S Sn+1= Sn  {C : C é um resolvente de cláusulas em Sn} 2. Pare com SIM quando  for gerada. 3. Pare com NÃO quando não houver novos resolventes a derivar.

59 Métodos Básicos de Resolução (Refutação)
Esse procedimento: sempre pára com SIM quando S for insatisfatível (método é refutacionalmente completo) nunca pára quando S for satisfatível e existir um conjunto infinito de resolventes obtidos a partir de S sempre pára com NÃO quando S for satisfatível mas o conjunto de resolventes obtido a partir de S é finito.

60 Exemplo: S = {P  Q, ~P  Q, P  ~Q, ~P  ~Q}
5. Q 1. e 2. 6. P 1. e 3. 7. Q  ~Q 1. e 4. 8. P  ~P 1. e 4. 9. Q  ~Q 2. e 3. 10. P  ~P 2. e 3. 11. ~P 2. e 4. 12. ~Q 3. e 4.

61 Exemplo (continuação):
S2: 13. P  Q 1. e 7. 14. P  Q 1. e 8. . 37. Q 5. e 7. 38. Q 5. e 9. 39.  5. e 12.

62 Métodos Básicos de Resolução (Refutação)
Outros métodos com implementações mais eficientes: Método por Saturação com Filtragem Método de Resolução por conjunto de Suporte Método da Resolução Linear Esses métodos implementam a Resolução visando otimização. Para isso, evitam gerar resolventes (novas cláusulas) que sejam irrelavantes a decisão de insatisfatibilidade do conjunto de cláusulas. O método mais eficiente é o da Resolução Linear, segue um exemplo:

63 Métodos Básicos de Resolução (Refutação Linear)
Exemplo: Seja S o seguinte conjunto de cláusulas: 1. chama(a, b) 2. usa(b, e) 3. ~chama(x, y), depende(x, y) 4. ~usa(x, y), depende(x, y) 5. ~chama(x, z), ~depende(z, y), depende(x, y) Questão: depende(a, e) ? A seguinte sequência de cláusulas é uma refutação linear a partir de S:

64 Métodos Básicos de Resolução (Refutação Linear)
1. chama(a, b) 2. usa(b, e) 3. ~chama(x, y), depende(x, y) 4. ~usa(x, y), depende(x, y) 5. ~chama(x, z), ~depende(z, y), depende(x, y) 6. ~depende(a, e) (negação da tese) 7. ~chama(a, z), ~depende(z, e) 6, 5 R 8. ~depende(b, e) 7, 1 R 9. ~usa(b, e) 8, 4 R 10.  , 2 R

65 Métodos Básicos de Resolução (Refutação Linear)
Exemplo 2: Seja S o seguinte conjunto de cláusulas: 1. genitor(pam, bob) 2. genitor(tom, bob) 3. genitor(tom, liz) 4. genitor(bob, ana) 5. genitor(bob, pat) 6. genitor(pat, jim) 7. ~genitor(X,Z) v descendente (X,Z) 8. ~genitor(X,Y) v ~descendente (Y,Z) v descendente(X,Z) Questão: descendente(tom,pat) ? A seguinte sequência de cláusulas é uma refutação linear a partir de S: F A T O S REGRAS

66 Métodos Básicos de Resolução (Refutação Linear)
1. genitor(pam, bob) 2. genitor(tom, bob) 3. genitor(tom, liz) 4. genitor(bob, ana) 5. genitor(bob, pat) 6. genitor(pat, jim) 7. ~genitor(X,Z) v descendente (X,Z) 8. ~genitor(X,Y) v ~descendente (Y,Z) v descendente(X,Z) 9. ~descendente(tom, pat) (negação da tese) 10. ~genitor(tom,Y) v ~descendente (Y, pat) v descendente(tom, pat) 8. X/tom, Z/pat 11. ~genitor(tom,Y) v ~descendente (Y, pat) 10, 9 R 12. ~genitor(tom, bob) v ~descendente (bob, pat) Y/bob 13. ~descendente (bob, pat) , 2 R 14. ~genitor(bob, pat) v descendente (bob, pat) , X/bob, Z/pat 15. ~genitor(bob, pat) , 13 R 10.  , 5 R