Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira.

Apresentação em tema: "Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira."— Transcrição da apresentação:

1 Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira

2 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE2 Ordem Parcial –Uma relação R em um conjunto S com as seguintes propriedades Reflexiva Anti-simétrica Transitiva Conjunto Parcialmente Ordenado (poset) - Um conjunto S juntamente com uma ordem parcial R: (S,R) Definições

3 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE3 Exemplos Mostre que (Z,  ) é um poset –Temos que a   a para todo inteiro a: reflexiva –Se a   b e b  a então a = b: anti-simétrica –Se a   b e b  c então a   c: transitiva –Logo  é uma ordem parcial no conjunto dos inteiros e (Z,  ) é um conjunto parcialmente ordendo.

4 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE4 Exemplos Mostre que a relação de inclusão  é uma ordem parcial no conjunto das partes de um conjunto S. Ou seja, (P(S),  ) é um poset. Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial. Ou seja, (Z+,|) é um poset.

5 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE5 Em um poset a notação a  b denota que (a,b) pertence a R A relação “menor ou igual” é um paradigma para ordens parciais A notação a  b denota que a  b, mas a  b. Dizemos que “a é menor que b” ou “b é maior que a”.

6 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE6 Por quê o nome ordem parcial? –Em (P(Z),  ), {1,4} não se relaciona com {1,2} e nem vice-versa –Em (Z +,|), 2 não se relaciona com 5 e nem vice- versa Os elementos a e b em um poset (S,  ) são chamados de comparáveis se ou a  b ou b  a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis.

7 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE7 Se (S,  ) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e  é chamada de ordem total ou linear. Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia O poset (Z,  ) é uma cadeia O poset (Z +,|) não é totalmente ordenado

8 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE8 Ordem Lexicográfica As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto. Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas.

9 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE9 Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A,  1 ) e (B,  2 ) A ordem lexicográfica  em A  B é definida da seguinte forma: (a1,b1)  (a2,b2) se ou a1 < 1 a2 ou a1 = a2 e b1 < 2 b2 A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A  B

10 Matemática Discreta – if670Centro de Informática / UFPE10 Exemplo Seja o poset (Z  Z,  ), onde  é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual  no conjunto dos inteiros. Determine se (3,5) < (4,8); (3,9) < (3,10); (6,8) < (6,9)