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Monitoria de Matemática Discreta Denise Jaeger Tenório (djt) www.cin.ufpe.br/~djt/monitoriadis.

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1 Monitoria de Matemática Discreta Denise Jaeger Tenório (djt)

2 Conjuntos – noções básicas Os objetos de um conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto. Dizemos que um conjunto A contem seus elementos. Três maneiras de descrever um conjunto: Listando seus elementos Definindo uma propriedade Definição recursiva

3 Conjuntos – Diagrama de Venn

4 Conjuntos Para dois conjuntos serem iguais, basta terem os mesmos elementos. Não importa a ordem. Nem a repetição. {w,d,e,f,g,f} = {d,e,f,g,g,g,w}

5 Conjuntos – Outras definições Subconjunto Subconjunto Próprio Cardinalidade Conjunto das partes Produto Cartesiano

6 Conjuntos - Operações Básicas União (A U B) Interseção (A B) Pode-se subtrair conjuntos (A - B) (complemento de A em relação a B) Complemento, não A Conjuntos disjuntos – interseção é vazia. As operações entre conjuntos são idênticas aos operadores lógicos.

7 Conjuntos - Identidades

8 Questões

9 Função Uma função f de A em B é um subconjunto de A x B onde cada elemento de A aparece exatamente uma única vez como componente de um par ordenado. A é o domínio e B o contradomínio da função. Se f é uma função de A em B, escrevemos f : A B.

10 Função Sobrejetora Injetora Bijetora Inversa f 1 (b) = a. Composta (f 0 g)(a) = f (g(a)) Função chão e teto.

11 Função - exercícios

12 Sequência Uma sequência é uma estrutura discreta usada para representar listas ordenadas. Uma sequência possui uma fórmula ou regra geral para construir a ordem dos termos. Elementos : a 1, a 2, a 3... a n

13 Relações - definição Uma relação R em um conjunto S é uma relação de S para S (relação binária), ou seja, um subconjunto de S x S. Representação: R = {(x,y)| x e y S e condição} xRy x,y S e condição. Listando seus elementos ex.: R 1 = {(a,a),(d,s)} Usando Matriz de bits

14 Relações - Propiedades Reflexiva – se (a,a) R para todo elemento a A Simétrica – (a,b) R (b,a) R para a,b A Anti-simétrica – (a,b) R Λ (b,a) R a = b Transitividade – (a,b) R Λ (b,c) R (a,c) R

15 Relações - Propiedades Uma relação em um conjunto A é chamada de relação de equivalência se ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Ex.: S = {a,b,c,d} R1 = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)} R 2= {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(a,c),(b,c),(c,a),(c,b)} Ex2: ((a, b), (c, d)) R ad = bc

16 Questões Construa um conjunto S com as letras: {a,b,c}. Para cada caso abaixo, apresente uma relação binária R em S que satisfaça às condições pedidas. Caso haja alguma situação onde não é possível construir a relação, justifique. a) R é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva. b) R é irreflexiva e anti-simétrica, mas não é transitiva. c) R é irreflexiva, simétrica e transitiva.


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