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Funções Injetoras Observe o gráfico da função f: R R abaixo: Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:

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2 Funções Injetoras Observe o gráfico da função f: R R abaixo: Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:

3 Note que o mesmo não ocorre no gráfico abaixo: Existem valores diferentes de x que possuem a mesma imagem: Se uma função é só crescente ou só decrescente, valores diferentes de x possuem imagens diferentes. Quando isso ocorre dizemos que a função é injetora. Em outras palavras, uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem sempre a duas imagens distintas em B.

4 Exemplo 1: O diagrama a seguir representa a função injetora f: A B Exemplo 2: O diagrama a seguir não representa uma função injetora f: A B

5 Quando estudamos uma função f: A B, três conjuntos estão relacionados: - conjunto A é o domínio da função, formado pelos valores da variável independente x; - conjunto B é o contradomínio da função; - conjunto Im(f), formado pelos valores de y tais que y = f(x). O conjunto Im(f) é subconjunto do contradomínio B. Uma função é dita sobrejetora quando o contradomínio da função for igual ao conjunto imagem. Em outras palavras uma função é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Im(f) = B Exemplo 1: A função f: R [1,) é sobrejetora, pois, segundo o gráfico

6 Exemplo: Im(f) = [1,[ Exemplo 2: A função f: A B, a seguir, representa uma função sobrejetora

7 Dado dois conjuntos não vazios A e B uma função f: A -> B é dita bijetora se ela for tanto sobrejetora quanto injetora. Exemplo 1 Noção Via Conjunto

8 Exemplo 2

9 A função acima não é bijetora, pois a mesma não é sobrejetora. Podemos perceber pelo simples fato de que o conjunto do contradomínio é diferente do conjunto imagem (nem todos elementos do contradomínio foram flechados).

10 A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A B e g: B C, h: A C.

11 Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos: a) g o f b) f o g

12 2) Se f(x) = x 3 e g(x) = x 4, mostre que fog(x) 3) PUC-CAMP) Sejam f e g funções de R em R, definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² + 3. Determine fog(2).

13 4) (FGV) Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação f(g(x))=0 são : 5) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6).

14 01) (g o f)(x) = g(f(x)) g(x) = x² + 5 g(4x) = (4x)² + 5 g(4x) = 16x² + 5 (g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5 b) f o g (f o g)(x) = f(g(x)) f(x) = 4x f(x² + 5) = 4 * (x² + 5) f(x² + 5) = 4x² + 20 (f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20

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