TEORIA DOS NÚMEROS NO COTIDIANO

Apresentação em tema: "TEORIA DOS NÚMEROS NO COTIDIANO"— Transcrição da apresentação:

1 TEORIA DOS NÚMEROS NO COTIDIANO
PALESTRANTE: JOÃO MARCOS BRANDET

2 NÚMERO NATURAL O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

3 NÚMERO PRIMO Um número primo é um número natural maior do que 1 que tem apenas dois divisores positivos distintos, 1 e ele mesmo. Alguns números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347.

4 PROPRIEDADES DOS NÚMEROS NATURAIS
1) A soma de dois números naturais é um número natural. 2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural. 3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o antecessor de n+1.

5 NÚMERO INTEIRO Os números inteiros são constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e todos números negativos opostos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3,−4 ...). Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.

6 PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
1) Todo número natural é um número inteiro. 2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em um outro número inteiro. 3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um número inteiro.

7 NÚMERO RACIONAL Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros. ℚ= 𝒂 𝒃 𝒂∈ℤ;𝒃∈ ℤ ∗

8 PROPRIEDADES DOS NÚMEROS RACIONAIS
1) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em um outro número racional. 2) O produto entre dois números racionais é um número racional. 3) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.

9 NÚMERO IRRACIONAL Número irracional é um número que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo. Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. 

10 NÚMERO DE EULER Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. 𝒆=𝟐,𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖… NÚMERO PI Na matemática, o número  é uma proporção numérica que tem origem na relação entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p e diâmetro d então aquele número é igual a  p/d. 𝝅=𝟑,𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓…

11 MAIS SOBRE OS NÚMEROS IRRACIONAIS
1) Um número irracional não é um número racional. 2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um número racional é um número irracional. 3) A produto entre um número irracional e um número racional é um número irracional. 4) O quociente entre um número irracional e número racional , diferente de zero, é um número irracional.

12 NÚMERO REAL O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Nas palavras de Dedekind: Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um, ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes, este corte da reta em duas porções. (...) Assumir esta propriedade da linha não é nada além do que o axioma pelo qual consideramos a reta contínua.

13 EXERCÍCIOS (BRANDET)Dê como resposta a soma das proposições corretas. 01)Todo número racional é real. 02)Todo número irracional é real. 04)Todo número real é irracional. 08)Todo número real é racional. 16) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 32)Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. 64)Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. SOMA DAS CORRETAS: =35

14 01)O valor absoluto de um número real menor que zero é o oposto dele.
(BRANDET)Dê como resposta a soma das proposições corretas. 01)O valor absoluto de um número real menor que zero é o oposto dele. 02)Um número é chamado de primo se possui apenas dois divisores naturais distintos, em outras palavras, ele mesmo e a unidade. 04)Um número que não é primo é chamado número composto. 08)A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. 16)O número pi é um número irracional. SOMA DAS CORRETAS: =27

15 (BRANDET)Classifique os itens abaixo em corretos ou incorretos
(BRANDET)Classifique os itens abaixo em corretos ou incorretos. Justifique a resposta. Existem 5 números inteiros positivos n tais que ao dividir 2032 por n temos resto 17. O número 437 é primo. Resposta: Como 2032 deixa resto 17 na divisão por n, 2032 – 17= 2015 é múltiplo de n. Por outro lado, devemos ter n > 17, pois o resto deve ser menor do que o divisor. Os valores de n são os divisores de 2015 = 5∙13∙31 maiores que 17: 31, 65, 155, 403 e 2015.Com isto, há 5 possíveis valores para n. Logo, o item I é correto. 19 divide 437.Logo,o item II é incorreto.

16 NÚMEROS COMPLEXOS-INTRODUÇÃO
No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam um conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos conjuntos. A teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto dos números reais, como representado abaixo.

17 FORMA ALGÉBRICA Números complexos representados na chamada forma algébrica: 𝒛=𝒂+𝒃𝒊 em que a e b são números reais, e i é chamado unidade imaginária. A unidade imaginária é um número i tal que: 𝒊= −𝟏 Decorrência da definição anterior: 𝒊²=−𝟏

18 Coeficiente a: parte real de z, representada por Re(z).
Coeficiente b: parte imaginária de z, indicada por Im(z). Todo número real é complexo e pode ser representado como tal, desde que sua parte imaginária b seja igual a zero. Se a parte real de um número complexo é nula, ele é um número imaginário puro. Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais. Definição do conjunto dos números complexos: ℂ= 𝒛 𝒛=𝒂+𝒃𝒊,𝒄𝒐𝒎 𝒂,𝒃 ∈ℝ 𝒆 𝒊 2 =−𝟏

19 OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Dados os dois números complexos z = a + bi e w = c + di: Soma e subtração: é feita pela soma (ou subtração) de suas respectivas partes reais e imaginárias: 𝒛±𝒘= 𝒂±𝒄 + 𝒃±𝒅 𝒊 Multiplicação: é feita pela aplicação da propriedade distributiva: 𝒛×𝒘= 𝒂+𝒃𝒊 × 𝒄+𝒅𝒊 = 𝒂𝒄−𝒃𝒅 + 𝒂𝒅+𝒃𝒄 𝒊

20 𝒘 𝒛 = 𝒘 𝒛 × 𝒛 𝒛 Divisão: necessita do conceito de complexo conjugado.
O conjugado de z é dado por: 𝒛 =𝒂−𝒃𝒊 O produto de um número complexo por seu conjugado resulta sempre em um número real. Assim, para obter o quociente w/z ,devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z: 𝒘 𝒛 = 𝒘 𝒛 × 𝒛 𝒛

21 Potências de i: observe na tabela que os resultados se repetem a partir da quarta potência de i:
Na potenciação de i, já que há 4 possibilidades de resultado, divide- se o expoente por 4 (lembrar que i4 = 1) e toma-se o resto da divisão como um valor equivalente para o expoente de i.

22 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE NÚMERO COMPLEXO
Representação por um ponto O número complexo z = a + bi é representado, no plano de Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de imagem de z, e z é denominado afixo do ponto P.

23 Representação vetorial: podemos representá-lo como um vetor OP, com origem em O(0, 0) e extremidade no ponto P. Módulo de z: indicado pela letra grega  (rô), é definido como a medida do segmento OP e dado por: 𝝆= 𝒛 = 𝒂²+𝒃² Direção de z: indicada pelo ângulo  (0 ≤  ≤ 2), que o vetor estabelece com eixo real. Esse ângulo é conhecido como argumento de z.

24 Observando a figura ao lado
Representação trigonométrica: como decorrência da representação de um número complexo z por um vetor e a partir da substituição de seu módulo  e de seu argumento  na forma algébrica, podemos também representá-lo na forma trigonométrica ou polar: 𝒛=𝝆(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽) temos que: 𝒔𝒆𝒏𝜽= 𝒃 𝝆 𝒆 𝒄𝒐𝒔𝜽= 𝒂 𝝆 ,𝒄𝒐𝒎 𝝆= 𝒛

25 OPERAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Dados dois números complexos z1 = 1(cos 1 + i sen 1) e z2 = 2 (cos 2 + i sen 2), definimos: Produto 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 = 𝝆 𝟏 𝝆 𝟐 [𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 ]+ i sen( 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 ) Quociente 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 = 𝝆 𝟏 𝝆 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟏 − 𝜽 𝟐 +𝒊 𝒔𝒆𝒏( 𝜽 𝟏 − 𝜽 𝟐 ) Potenciação (1a fórmula de De Moivre) 𝒛 𝒏 = 𝝆 𝒏 [𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽+𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝜽]

26 Radiciação (2a fórmula de De Moivre)
Todo número complexo w, tal que wn = z, é denominado raiz enésima de z. As raízes enésimas de z podem ser obtidas pela fórmula: 𝒛 𝟏 𝒏 = 𝒏 𝝆 [cos( 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 )+ i sen ( 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 )] com k = 0, 1, 2, 3, ... (n - 1) e n  ℕ e n > 1. Podemos interpretar os valores obtidos pela fórmula como as enésimas raízes distintas de z, todas de mesmo módulo 𝒏 𝒑 ; e argumentos distintos iguais 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 . No plano imaginário, os pontos que representam as n raízes de z estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio 𝒏 𝒆 ; a circunferência fica então dividida em n arcos congruentes medindo cada um 𝟐𝝅 𝒏 .

27 EXERCÍCIOS (UFRJ) Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo RESPOSTA:

28 Determine o tiro certeiro de z em w.
(UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura ao lado. Determine o tiro certeiro de z em w. RESPOSTA:

29 (UFAL) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z.
Se o número complexo z1 = a + bi é o cubo de z, determine o valor da diferença b  a. RESPOSTA:

30 (UFC-CE) Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas representações geométricas coincidem com os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem. Se x = i, determine y, z e w. RESPOSTA:

31 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Robert D. Poodiack & Kevin J. LeClair (2009) "Fundamental theorems of algebra for the perplexes", The College Mathematics Journal 40(5):322–35  Antonio González Carlomán, Didáctica del número natural, Universidad de Oviedo, 1984 ISBN    Richard Dedekind, Continuity and irrational numbers (seção V, subseção VI) (1872), citado por Jim Propp, Dedekind's forgotten axiom and why we should teach it (and why we shouldn't teach mathematical induction in our calculus classes)  An Imaginary Tale: The Story of i (the square root of minus one), por Paul J. Nahin, no site Princeton University Press  Cerri, Cristina; Monteiro, Martha S. (setembro de 2001). História dos Números Complexos Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. William Rowan Hamilton (1853) Lectures on Quaternions, Article 669. This historical mathematical text is available on-line courtesy of Cornell University.