Funções Prof. Márcio

Noção intuitiva de função Com frequência encontramos em matemática relação entre duas grandezas variáveis. Observemos uma situação: Exemplos: Seja um quadrado cujo o lado mede L. Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre p e L a seguinte relação expressa pela fórmula matemática: L L

A todos os valores de L estão associados valores de p; Notamos, então, que a medida p do perímetro depende da medida L do lado quadrado, o que pode ser verificado pela tabela seguinte: Medida do lado (L) Medida do perímetro (P) 0,5 2 1 4 1,2 4,8 8 3 12 4,5 18 Pela tabela, observamos que: A medida L do lado do quadrado é uma grandeza variável; A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável; A todos os valores de L estão associados valores de p; A cada valor de L esta associado um único valo de p.

Na lei de associação dessa função, temos: Dizemos, então: A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida L do lado. A relação p = 4 . L chama-se Lei da associação ou fórmula matemática desta função Na lei de associação dessa função, temos:

Função polinomial do 1º grau ou função afim Consideremos um retângulo da base X e altura 10 cm. Designando por p a medida do perímetro desse retângulo, podemos estabelecer entre p, x e 10 a relação expressa pela fórmula matemática: Polinomio de 1º grau Vemos, então, que a medida p do perímetro é dada em função da medida x da base, ou seja:

Designando por S a área desse retângulo, podemos estabelecer entre S, x e 10 a relação expressa pela formula matemática: Verificamos também, que a área S é dada em função da medida x da base, ou seja: Observamos, então que em ambos os casos o 2º membro da fórmula matemática que representa a função é um Polinômio do 1 grau na variável x.

Definição Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = ax + b ou y = ax + b, com a є R, b є r e a ≠ 0, definida para todo x real, é denominada função do 1ºgrau. Na sentença matemática y = ax + b, as letras x e y representam as variáveis enquanto a e b são denominadas coeficientes. Assim, são funções do 1º grau: F(x) = 2x + 3 (a = 2 e b = 3) y = -3x (a = -3 e b = 0) F9x) = 5x – 1 (a = 5 e b = - 1) y = 1 - 2x ( a = -2 e b = 1) 3 3 O a é chamado de coeficiente angular, se ele é positivo, a função é crescente, se ele for negativo a função é decrescente. O b é o coeficiente linear ou termo independente, é onde intercepta o eixo das ordenadas.

Observações 1ª) No caso de a ≠ o e b ≠ 0, a função polinomial do 1ª grau recebe o nome de Função afim. exemplos: f(x)= 1 x -3 (a = 1 e b = -3) y = 7 – x (a = -1 e b = 7) 2 2 2ª) No caso de a ≠ 0 e b = 0, a função polinomial do 1ª grau recebe o nome de função linear. f(x) = -8x (a = -8 e b = 0) y = 3 x ( a = 3 e b = 0 ) 2 2

Gráfico no sistema cartesiano ortogonal 1º caso: a > 0 Vamos construir, num sistema cartesiano ortogonal, o gráfico da função f(x) = 2x – 1 (ou y = 2x -1). x y = f(x) -2 -5 -1 -3 1 2 3

não dar uma resolução direta. Determinando uma função de 1º grau dado o seu gráfico Para determinar uma função de 1º grau a partir de gráfico, basta identificar dois pontos. y Usar: y = ax + b (0, 8) 8 Substituindo (0, 8) 8 = a.0 + b b = 8 (4, 0) (4, 0) = a.4 + 8 a = - 2 4 x Substituindo a e b, temos: y = - 2x + 8 Obs.: Quando se faz a substituição, forma-se um sistema, que pode ou não dar uma resolução direta.

Exercícios resolvidos 1°) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4)=20.

f(3)=5: a.3 + b =5 f(-2) = - 5: a.(-2) + b = -5 2°) Dada a função f(x) = ax + b, com a diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(-2) = - 5, calcule f(1/2). f(3)=5: a.3 + b =5 f(-2) = - 5: a.(-2) + b = -5

Existem dois métodos para resolver esse sistema: ADIÇÃO E SUBSTITUIÇÃO 1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação por (-1) e somar as equações

2° SUBSTITUIÇÃO: Escolhe uma equação isolando uma letra e depois substitui essa letra isolada na equação que sobrou

Logo, a função é f(x)= 2x – 1. Assim, f(1/2)=2 Logo, a função é f(x)= 2x – 1. Assim, f(1/2)=2.(1/2) - 1 = 1 – 1 f(1/2) = 0

Há uma outra forma de resolver esse tipo de exercício que se conhece os valores de uma função em dois pontos distintos. Basta usar a fórmula:

Voltando a questão, quem seria esses valores? Temos que f(3) = 5 e f(-2) = - 5 Então, Logo,

Gráficos Toda gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Estudaremos como essa reta vai se comportar através de cada função.

Como fazer um gráfico 1° método: Para achar o gráfico de qualquer função, basta achar dois pontos qualquer dela e passar uma reta entre essas retas.

Exemplo: f(x) = x – 2 X Y 1 -1 3

2° método: 1° passo: iguale a função a zero. O valor de x que você achar é que passará no eixo do x. 2° passo: o valor de b é o ponto que toca no eixo do y.

x – 2 = 0 x = 2 b = - 2

Bibliografia GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto e GIOVANNI Jr. José Ruy. Matemática Fundamental, volume único, FTD.

EXERCICIOS Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.

Solução f(1) = 5 f(1) = a * 1 + b 5 = a + b a + b = 5 f(–3) = –7

Juntando: um sistema

isolando a na 1º equação a + b = 5 a = 5 – b Substituindo o valor de a na 2º equação –3a + b = –7 –3 * (5 – b) + b = –7 –15 + 3b + b = –7 4b = –7 + 15 4b = 8 b = 2 

Substituindo o valor de b na 1º equação a = 5 – b a = 5 – 2 a = 3 A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.

(U. Católica de Salvador-BA) Seja a função f de R em R definida por f(x) = 54x + 45, determine o valor de f(2 541) – f(2 540).

f(2 541) = 54 * 2 541 + 45 f(2 541) =  137 214 + 45 f(2 541) = 137 259 f(2 540) = 54 * 2 540 + 45 f(2 540) = 137 160 + 45 f(2 540) = 137 205 f(2 541) – f(2 540) → 137 259 – 137 205 → 54 A diferença será igual a 54.

(U. F. Viçosa-MG) Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Se f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine o valor de f(3).

f(x) = ax + b f(–1) = 3 f(–1) = a * (–1) + b 3 = – a + b f(1) = –1 f(1) = a * 1 + b –1 = a + b

Isolando b na 1ª equação –a + b = 3 b = 3 + a Substituindo o valor de b na 2ª equação a + b = –1 a + 3 + a = –1 2a = –1 – 3 2a = –4 a = – 2

Substituindo o valor de a na 1ª equação b = 3 + a b = 3 – 2 b = 1 A função será dada pela expressão f(x) = – 2x + 1. O valor f(3) será igual a: f(3) = –2 * 3 + 1 f(3) = – 6 + 1 f(3) =  – 5 O valor de f(3) na função f(x) = – 2x + 1 é igual a –5.

Bom aprendizado!