3. Dinâmica de um sistema de pontos materiais 3.1 Sistemas de pontos materiais e movimento de centro de massa   Um sistema de pontos materiais é um conjunto de corpos entre os quais se exercem forças de interacção. As distâncias entre os pontos materiais são fixas de modo que o movimento de um influencia o movimento dos outros. Entre os pontos materiais se exercem forças as quais tomam o nome de forças internas, e que são responsáveis pela interacção. Para alem das forças internas, exercem-se as forças externas originárias do exterior. Por exemplo as forças F2 e F4 são forças externas.

Quando a distribuição da massa de um corpo qualquer é homogénea, é possível equilibrá-lo aplicando uma força no seu centro. Isso significa que é nesse ponto onde se exerce a resultante de todas as forças aplicadas sobre ele. A este ponto dá-se o nome de centro de massa ou centro inercial do corpo. Def. Centro de massa de um sistema de pontos materiais é onde se exerce a resultante de todas as forças externas que actuam sobre o sistema e nele se supõe concentrada toda a massa do sistema.

Um corpo ou sistema cuja massa não esteja distribuída homogeneamente, também terá um centro de massas, o qual não tem necessariamente que estar no centro deste. Determinação do centro de massa 1. Caso mais simples: Consideremos um sistema de duas massas localizadas ao longo de uma dimensão.

Se facilmente diríamos que o centro de massa está localizado no ponto médio entre e Neste caso concreto o centro de massa a estará localizada mais próximo de do que . E será determinado com ajuda da seguinte relação: Escrevendo então:

2. Caso de pontos materiais situados num plano:

Teremos assim as coordenadas do centro de massa do sistema: Para n massas teremos:

3. Caso de pontos materiais situados no espaço: O centro de massa terá as coordenadas: Sendo a posição de um ponto material determinada através do vector posição: Escrevemos a formula do centro de massa na sua forma vectorial da seguinte forma: ...forma geral da definição do centro de massa

Para um numero de pequenas partículas dificilmente poderemos fazer o somatório das massas. Por isso o centro de massa será determinado através da integração. Assim ... Definição de centro de massa forma integral. Do mesmo modo: , e

3.3. Movimento do centro de massa de um sistema de pontos materiais Consideremos um sistema de massas constituídas por m1, m2, m3, ... mn, e cuja massa total seja M. Ao longo do movimento nenhuma massa abandona o sistema por isso a massa total M se mantém constante. Então é valido escrevermos Donde é o vector posição do centro de massa em relação à um dado referencial. Derivemos uma vez esta expressão em relação ao tempo: ou é a velocidade do centro de massa

Derivemos mais uma vez em relação ao tempo: ou De acordo com a 2ª Lei de Newton: ...é a aceleração do centro de massa do sistema Conclusão: O produto da massa total M de todos os pontos materiais pela aceleração do centro de massa do sistema é igual ao somatório vectorial de todas as forças aplicadas sobre o sistema.  

Segundo a 3ª Lei de Newton as são pares e anulam-se Segundo a 3ª Lei de Newton as são pares e anulam-se. Por isso: Esta última expressão significa que o centro de massa do sistema se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele e como se todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto. Como m é uma constante a relação não se altera se escrevermos donde . Então ou ...2ª Lei de Newton Conclusão: A razão da variação do momento linear pelo tempo, é directamente proporcional a resultante das forças que actuam sobre o corpo e na direcção da força.

Momento Linear Choques ou Colisoes

3. 4. Momento linear de um sistema de massas 3. 4. 1 3.4. Momento linear de um sistema de massas 3.4.1. Conservação do momento linear Para um sistema de massas é valida a expressão (derivando) ...supõe-se que no movimento nenhum ponto material abandona o sistema ... Momento linear total O momento linear total é igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa

Conclusão: Num sistema de pontos materiais sobre o qual não se exercem forças externas, os momentos lineares dos pontos materiais podem variar independentemente, mas a sua soma é sempre constante.   Esta formulação toma o nome de Principio de conservação do momento linear.  

3.5 Aplicações dos Princípios de conservação do momento linear e de Energia mecânica 3.5.1 Choque ou colisões O princípio de conservação do momento linear apropria-se particularmente para a determinação do movimento de corpos sujeitos à fenómenos de choques (colisões). Colisão é um fenómeno em que dois corpos em movimento (ou pelo menos um deles) interagem em tempo muito reduzido um com o outro.

Exemplo: Interessa-nos saber como é modificado o movimento linear de ambos corpos depois do fenómeno de colisão.

Choques elásticos e inelásticos Nos choques é valido o Princípio de conservação do momento linear. Quando depois do choque os dois ou mais corpos se movem juntos com a mesma velocidade diz-se que colisão é inelástica ou perfeitamente inelástica.

Quando depois do choque os dois corpos se afastam movendo-se cada um com a sua velocidade ( e ) diz-se que a colisão é elástica ou perfeitamente elástica. Assim Nas colisões perfeitamente elásticas é também válido o PCEM: Considerando e igual a zero, teremos apenas ou seja

Vamos analisar as velocidades para determinadas relações das massas a) Seja: Duas massas iguais colidem entre elas. A condição é ainda que ou seja esta em repouso. Depois da colisão a esfera que estava em movimento entra completamente em repouso e a outra que estava em repouso entra em movimento com a velocidade

b) Seja Uma esfera pequena e leve colide com outra de maior massa, ou seja muito mais pesada. Conclusão 2: A esfera maior quase que nem se move.

c) Seja Uma esfera grande e pesada colide contra uma esfera pequena e leve. A esfera maior conserva a sua velocidade após a colisão e a esfera pequena ganha o dobro da velocidade da esfera maior. Exemplo1: Um corpo de massa m=4kg , movendo-se para a direita com a velocidade de 6m/s , efectua uma colisão elástica com um outro corpo de 2kg, movendo-se para a direita a 3m/s. Determinar as velocidades finais u1 e u2. R:/ u1=6 e u2=3 ou u1=4 e u2=7

Exemplo2: Uma bala é atirada, com a velocidade inicial contra um grande bloco, suspenso. Determinar a altura h a que o sistema bala – bloco se eleva, admitindo que a bala fica encravada no bloco.