Noções de geometria projetiva INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE - Campus Apodi Desenho e construções  ’ Noções de geometria projetiva

Noções de geometria descritiva Ponto Reta Plano

Estudo do Ponto: Não tem definição. Além disso, não tem dimensão. Graficamente, expressa-se o ponto pelo sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel. Sua representação também se dá pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser retas ou curvas. Figura geométrica sem dimensão, que representa um local no plano, é a intersecção entre duas linhas. A localização de uma cidade no mapa, a marca de uma ponta de giz no quadro, por exemplo, nos dão a idéia de ponto. Designamos os pontos com letras maiúsculas A, B, C, ... e sua representação gráfica é:

Estudo do ponto O espaço: Planos de projeção: Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos. Linha de terra: a interseção ente os planos horizontal () e vertical de projeção (’), representada por LT ou ( ’). (’) ()

ELEMENTOS DE PROJEÇÃO A projeção de um objeto é sua REPRESENTAÇÃO GRÁFICA num plano - Plano de projeção - Objeto - Projetante, ou raio projetante - Centro de projeção Desenho – Professora Dr. Sc. Danila Neri

Elementos de projeção:

Conceitos: Projetante: é a reta que passa pelos pontos do objeto e intercepta o plano de projeção. Centro de projeção: é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes. Um ponto se projeta num plano quando a projetante intercepta o plano de projeção

Elementos de projeção:

- A lanterna é o centro de projeção; - Os raios de luz são as projetantes; - A sombra é a representação do objeto em projeção. O CENTRO DE PROJEÇÃO É PRÓPRIO: PROJEÇÃO CÔNICA OU SISTEMA CÔNICO DE PROJEÇÃO

O CENTRO DE PROJEÇÃO É IMPRÓPRIO: PROJEÇÃO CILINDRICA - O centro de projeção está no infinito; - Os raios solares podem ser considerados raios projetantes; - A sombra é a representação da projeção do objeto. O CENTRO DE PROJEÇÃO É IMPRÓPRIO: PROJEÇÃO CILINDRICA OU SISTEMA CÔNICO DE PROJEÇÃO

Veja agora como é possível determinar a forma e a posição dos objetos no espaço As projeções no PLANO VERTICAL são diferentes das projeções no PLANO HORIZONTAL, isto faz com que os objetos fiquem melhor definidos.

Fazer o plano de projeção com papel. ’ 

Semi-planos de projeção: A linha de terra divide cada plano de projeção em duas partes iguais ou dois semi-planos, sendo: Semi-plano horizontal anterior (HA ou A): a parte do plano horizontal de projeção à direita da linha de terra. Semi-plano horizontal posterior (HP ou P): a parte do plano horizontal de projeção à esquerda da linha de terra. Semi-plano vertical superior (VS ou ’S): a parte do plano vertical de projeção acima da linha de terra. Semi-plano vertical inferior (VI ou ’I): a parte do plano vertical de projeção abaixo da linha de terra.

Preencher o plano de projeção com as novas informações ’  ’S A P ’I

Diedros: As regiões compreendidas ente os semi-planos de projeção, sendo: 1º d = 1º diedro: a região compreendida entre A e ’S 2º d = 2º diedro: a região compreendida entre P e ’S 3º d = 3º diedro: a região compreendida entre P e ’I 4º d = 4º diedro: a região compreendida entre A e ’I

ESTUDO DO PONTO: O ESPAÇO 3º Diedro SPVI 4º Diedro 1º Diedro SPVS SPHA 2º Diedro SPHP Linha de Terra

Preencher o plano de projeção com as novas informações ’  ’S A P ’I 2º d 1º d 3º d 4º d

Representação de um ponto no espaço por suas coordenadas descritivas: Para representar um ponto (P) no espaço, obtêm as suas projeções ortogonais horizontal (P) e vertical (P’), respectivamente nos planos horizontal () e vertical (’).  ’

Coordenadas: Afastamento de um ponto (y): a posição da projeção horizontal do ponto A em relação a linha de terra. Se medido no semi-plano HA é positivo logo y 0, se medido no semi-plano HP é negativo logo y 0. y 0 y  0 y 0 y  0

Coordenadas: Cota de um ponto (Z): a posição da projeção vertical do ponto A’ em relação a linha de terra. Se medido no semi-plano VS é positivo logo Z 0, se medido no semi-plano VI é negativo logo Z 0. Z  0 Z  0 Z  0 Z  0

Coordenadas: Abscissa de um ponto (X): a posição da projeção do ponto A na linha de terra, é necessário estabelecer um referencial. Se a abscissa for medida a direita da origem ela é positiva logo X  0, se for medida a esquerda da origem ela é negativo logo X 0.

Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: As coordenadas: abscissa, afastamento e cota de um ponto são denominadas coordenadas descritivas de um ponto. Um ponto é representado numericamente pel expressão (P) [x; y; z), onde: (P): significa o ponto objeto, X: abscissa, Y: afastamento, Z: cota. separados por ; e entre [].

Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Exemplo: P [1,4,2].

1º Diedro (P) [x; y; z] Y > 0 e Z >0 REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO LT Y > 0 e Z >0 X (A) z (A) (A) y (A) Afastamento Cota Plano de perfil A0 abscissa A` A 1º Diedro SPVS SPHP SPHA SPVI Um ponto é caracterizado numericamente pela expressão: (P) [x; y; z]

2º Diedro (B) [x; y<0; z>0] REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO LT Y< 0 e Z >0 y (B) (B) B` SPVS (B) [x; y<0; z>0] z (B) B0 B SPHP X (B) SPHA SPVI

3º Diedro (B) [x; y<0; z<0] REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO SPVS y (C) LT SPHP C0 X (C) C SPHA z (C) C` (C) 3º Diedro SPVI Y< 0 e Z <0 (B) [x; y<0; z<0]

4º Diedro (D) [x; y>0; z<0] REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO SPVS y (D) SPHP SPHA D0 D X (D) z (D) LT C` 4º Diedro D´ (D) SPVI Y> 0 e Z <0 (D) [x; y>0; z<0]

Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas: Exemplos: A [3; 4; 2] B [6; -3; 7] C [8; -6; -3,5] D [10; 5; -2] E [5; 5; 5] F [7; -5; 9] G [4; 5; 1] H [9; -6; 7] I [8; -1,5; -5,5] J [2; 6; -6] L [0; 10; 5] M [7; -10; 3]

Épura Figura plana que representa a superposição dos planos de projeção horizontal e vertical. O interessante da épura é observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no espaço.

Representação de um ponto na Épura 1º diedro

Representação de um ponto na Épura 2º diedro

Representação de um ponto na Épura 3º diedro

Representação de um ponto na Épura 4º diedro

Representação de um ponto por suas coordenadas descritivas na ÉPURA: G [4; 5; 1] H [9; -6; 7] I [8; -1,5; -5,5] J [2; 6; -6] L [0; 10; 5] M [7; -10; 3] Exemplos: A [3; 4; 2] B [6; -3; 7] C [8; -6; -3,5] D [10; 5; -2] E [5; 5; 5] F [7; -5; 9]

EXERCÍCIOS 1) Representar por suas projeções os seguintes pontos: B [4; -2; 5] C [6; -4; -2,5] D [8; 3; -1] E [1; 4; 2] F [6; -5; 10] G [2; 3; -3] H [4; -3; -6] I [-6; -4; -2,5] J [10; 1; -5] L [1; 7; 2] M [-2; -2;-2]

2) Construir e ler as épuras dos seguintes pontos, utilizando uma só linha de terra: B [6;0;-5] C [8;0;0] D [10;-5; 0] E [ 12; 4; -4] F [ 14; 3; 3] G [16; -5; 5] H [ 18; -2; -2] I [ 20; 0; 5]