Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Conectivos lógicos Conjunção “e” = and = “^” Disjunção “ou” = or = “ v ” Negação “não” = not = “¬” Condicional “” Bicondicional 

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Conectivo «... se somente se» () – bicondicional Definição Chama-se bicondicional uma proposição representada por « p se e somente se q », cujo valor logico é verdade (V) quando p e q sao ambas, verdadeiras ou falsas. O bicondicional de duas proposiçoes p e q indica-se com a notaçao « p  q », e pode ser lida da seguinte forma: p é condiçao necessaria e suficiente para q q é condiçao necessaria e suficiente para p p se e somente se q , « p sse q » Quando temos um bicondicional pq, na verdade implicamos pq e qp ao mesmo tempo. So serà verdade quando ambas forem verdadeiras.

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Ex. João é careca, se somente se João não tem cabelo. Essa afirmação implica: p: Se João é careca, entao João nao tem cabelo q: Se João nao tem cabelo, entao João é careca Obrigatoriamente, as duas proposições simples que compõem cada uma das proposições condicional p e q devem ser ambas verdadeiras ou falsa, para a condicional ser verdadeira

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Ex. Paulo fica alegre, se somente se Ana ri. Paulo fica alegre somente se Ana ri Ana ri, somente se Paulo fica alegre. No caso de: p: Paulo fica alegre q: Ana ri Analisando os possíveis valores lógicos: Vl(p) = V e Vl(q) = F então Vl(pq)= F Vl(p) = F e Vl(q) = V então Vl(pq)= F Mas se Vl(p) = V e Vl(q) = V então Vl(pq)= V Vl(p) = F e Vl(q) = F então Vl(pq)= V

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Ex. «Paulo fica alegre, se somente se Ana ri » p: Paulo fica alegre q: Ana ri Valor lógico das proposições: Paulo fica alegre p Ana ri q Paulo fica alegre, se somente se Ana ri p q V F

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Num encadeamento de proposições , quem resolver primeiro? p   q  r  s Para decidir qual proposição está sendo indicada, é necessário saber qual o conectivo que atua primeiro, se o conectivo da conjunção ou da condicional. Por esse motivo é necessário estabelecer uma hierarquia de operação dos conectivos. Tal hierarquia (ou ordem de precedência) é a seguinte: ~ negação  ,  conjunção e disjunção  implicação  bicondicional

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Equivalência Lógica De acordo com os valores lógicos que as proposições compostas assumem, em suas possíveis interpretações, elas podem ser classificadas em vários tipos: se a expressão assume sempre o valor V, em qualquer interpretação, é chamada uma tautologia, ou uma expressão válida; são exemplos de tautologias: p  ~ p ~ (p  ~ p)   se a expressão assume o valor V em alguma interpretação, é dita satisfatível, ou consistente; evidentemente, as tautologias são exemplos de expressões satisfatíveis; outros exemplos são: p  ~ p (assume V quando p é falso) p  q (assume V quando p ou q for verdadeiro)

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital se a expressão assume sempre o valor F, em qualquer interpretação, é chamada uma contradição, ou uma expressão insatisfatível, ou inconsistente. São exemplos de contradições:  p   p ~ (p  ~ p) se a expressão assume o valor F em alguma interpretação, é chamada uma expressão inválida; claramente, as contradições são, também, expressões inválidas; outras expressões inválidas são: p  q (assume F quando p for falso) ~ p (assume F quando p for verdadeiro)

RESUMO

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Exercícios fixação Dê o valor lógico das proposições (8>2) ^(4 ≤4) (6< 10).(6> ⅓) (7<2) +[(4-3)≥1] (5>8) (4>3) (4<2) + (2<4) (8-3 = 5) (2≤ 2) (8-10=2)  (6-2=4) (4-2)(8-2=15) ~(4 >5) ^ (⅕ > ⅓)

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital 2) A proposição “ Se Marcos não estuda, então Pedro não passeia” equivale dizer: Marcos estudar é condição necessária para Pedro não passear Marcos estudar é condição suficiente para Pedro não passear Marcos não estudar é condição necessária para Pedro não Passear Marcos não estudar é condição suficiente para Pedro passear Marcos estudar é condição suficiente para Pedro passear

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital 3) Seja a proposição “p: Está frio” e a proposição “q: Está chovendo”. Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições: ~p p.q p+q p q p~q p v ~q ~p^~q ~~q

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital 4) Verifique se as afirmações dadas são suficientes para determinar o valor da expressão (p q) r , onde r tem valor lógico V (p+r)+(sq), onde q tem valor lógico F [(p+q)(p.q)] [(r.p)+q], onde q tem valor lógico V (pq) p, onde q tem valor lógico V

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital 5) Considerando Vl(p)=F; Vl(q)=V; Vl(x)=F e Vl(y)=V, determine: Vl([(p+q).(x+y)]p)= Vl(x.yp)= Vl(p.y.p.x)=

p q p  q V F p q p  q V F p  p V F p q p  q V F p q p  q V F

Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Sistemas dicotômicos Chama-se interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico que pode assumir um dos dois estados: Fechado (1) Aberto (0) Quando fechado o interruptor permite que a corrente passe através do ponto. Quando aberto nenhuma corrente pode passar através do ponto. Representação: