PROF. NAYARA ZAGO BASSETTO Introdução a Lógica PROF. NAYARA ZAGO BASSETTO

Estudar Lógica... para quê? Pensar “corretamente” encadeando o raciocínio. Formalizar o raciocínio lógico: tornar explícito aquilo que é implícito. Facilitar a programação lógica: Circuitos lógicos, Fluxogramas, Modelagem de dados, Linguagens de montagem e linguagens estruturadas de computação. Solucionar problemas com uso de técnicas de inteligência artificial: Lógica “fuzzy”, Redes Neurais, Algoritmos genéticos.

História e evolução da lógica A lógica iniciou-se com Aristóteles (384-322 A.C.), em sua obra Organum (“ferramenta”) estabeleceu os princípios gerais e sólidos que domina o pensamento ocidental há mais de 2 mil anos. Os filósofos gregos utilizavam a Lógica em suas discussões sob formas de sentenças afirmativas ou negativas. Leibniz, por volta de 1666, a utilizou em vários trabalhos chamando-a de calculus ratiotinator originando a idéia da lógica matemática.

História e evolução da lógica Euler, no século XVIII, fez a 1a representação gráfica entre sentenças (proposições). Entre 1847 a 1859 DeMorgan e Boole publicaram vários tratados e livros que deram uma base algébrica e formal para a lógica. Em 1879, Fregue provoca uma revolução ao desenvolver um sistema de representação simbólica: a lógica de predicados. Em 1937/1938 Nakashima e Shannon aplicam a álgebra de Boole em circuitos com relés dando origem ao 1o computador eletro-mecânico.

História e evolução da lógica A representação gráfica de Euler é ampliada por Venn no século XIX, Veitch em 1952 e Karnaugh em 1953 (mapas Veitch- Karnaugh). Na década de 60 Zadek estabeleceu a base formal da teoria de conjuntos para a lógica “fuzzy” ou difusa. “A Lógica tem por objeto o estudo das leis gerais do pensamento e as formas de aplicá-las corretamente na investigação da verdade”.

Evolução da lógica: argumentos Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos anteriores considerados verdadeiros (axiomas), permitiam obter novos conhecimentos (novas verdades): Essa forma de encadeamento é chamado, em Lógica, de argumento. Argumento é coleção de informações (sentenças ou proposições) em que uma delas, chamada conclusão, é obtida a partir das outras, chamadas premissas. As afirmações envolvidas são chamadas proposições; Usualmente, a proposição derivada é chamada conclusão, e as demais, são as premissas.

Evolução da lógica: argumentos Em um argumento válido, as premissas são provas da verdade da conclusão. Eis um exemplo de argumento válido: Se eu ganhar na Loteria, serei rico Eu ganhei na Loteria Logo, sou rico Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das duas premissas, esse argumento é considerado válido. “A Lógica formal se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a forma do raciocínio, e não com seu conteúdo”. “O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é ou não uma conseqüência lógica das premissas”.

Evolução da lógica: argumentos A validade do argumento está ligada à forma pela qual ele se apresenta, como mostrado no enunciado: Se eu ganhar na Loteria, serei rico Não ganhei na Loteria Logo, não sou rico Embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, portanto, não é um argumento válido. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 10

Argumentos: dedução e indução Argumentos dedutivos: as premissas fornecem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão. Argumentos indutivos: as premissas nem sempre apresentam provas da veracidade da conclusão, mas, apenas indicações dessa veracidade: Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou; Joguei outra pedra no lago e ela também afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar. “ Eles não são válidos ou inválidos, mas costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas”.

EXEMPLOS Todos os homens são mortais Todos os homens são mortais Todos os atenienses são homens. Sócrates é homem. Todos os atenienses são mortais. Sócrates é mortal Nenhum astro é perecível Nenhum tirano é amado. Todas as estrelas são astros Dionísio é tirano. Nenhuma estrela é perecível. Dionísio não é amado.

Proposições e Predicados Como a Lógica das proposições singulares é mais simples que a lógica que trata também com conjuntos de objetos, o estudo é separado em duas partes: O Cálculo Proposicional, ou Lógica Sentencial, que se ocupa das proposições singulares. Se o cão é mamífero, então mama; Premissa Se A, então B O cão é mamífero; Premissa Vale para A Logo, o cão mama. Conclusão Então, vale B O Cálculo de Predicados, ou Lógica dos Predicados, que trata dos conjuntos de objetos e suas propriedades. Todos os homens são mortais. Premissa Todo B é A Sócrates é um homem. Premissa Algum B é C Logo, Sócrates é mortal. Conclusão Logo, algum C é A.

A Lógica e seus “Princípios” A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais. São eles: Principio da Identidade: toda proposição é idêntica a si próprio, (se uma afirmação é verdadeira, ela é um axioma). Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode, simultaneamente, ser verdadeira e falsa. Isto é, de duas afirmações contraditórias, uma necessariamente é falsa. Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição é verdadeira ou falsa, não existindo uma terceira opção.

Proposições: linguagem e dicotomia A lógica estuda a validade de argumentos. A linguagem utilizada é fundamental, pois por meio dela expressamos as idéias em nossos raciocínios. O mundo apresenta situações dicotômicas, com duas condições ou dois estados que mutuamente se excluem: Verdadeiro (V) Falso (F) Ligado Desligado Sim (S) Não (N) Branco Preto 1

Proposições e conectivos Conectivos são expressões usadas para,a partir de proposições conhecidas, gerar novas proposições. Em geral usam-se letras latinas A, B, C,... (a,b,c,..) para indicar proposições arbitrárias. Conectivo Função Símbolo (a, b) Significado Não negação ¬a ou a ou a’ não a e conjunção a ۸ b ou a • b a e b ou disjunção a ۷ b ou a + b a ou b se .....não condicional a  b ou a  b Se a, então b se..e somente..se bicondicional a  b ou a  b a se, e somente se b

Tabelas-verdade Tabela-verdade é uma forma de representar todas as combinações lógicas possíveis. Assim dados dois interruptores/portas lógicas a e b, teremos: 1) s = a 2) s = a + b (a ۷ b) 3) s = a • b (a ۸ b) a b s = a + b 0 (F) 1(V) 1 (V) a b s = a • b 0 (F) 1 (V) a s = a 0 (F) 1 (V)