DETEÇÃO E ESTIMAÇÃO Aula 19: Deteção Gaussiana – Parte 2
Retrospectiva Deteção Gaussiana geral LRT quadrática Casos especiais Matrizes de covariância iguais para H0 e H1 Componentes independentes, variâncias iguais Componentes independentes, variâncias diferentes Componentes dependentes (caso geral)
Componentes independentes Estatística suficiente Simplicidade dos casos anteriores advém da matriz de covariância ser diagonal Solução: transformação de variáveis para diagonalizar matriz
Componentes dependentes Mudanças no sistema de coordenadas Novas bases são ortogonais
Componentes dependentes Novo sistema deve ser tal que componentes sejam independentes Transformação de variáveis
Componentes dependentes Logo Condição necessária e suficiente
Componentes dependentes Prova da suficiência Prova da necessidade Prova por contradição Assuma o oposto do que você quer provar Encontre um resultado absurdo
Componentes dependentes Suprimindo o sub-índice
Componentes dependentes Solução não-trivial existe se e somente se
Componentes dependentes Propriedades Como matriz de cov. é simétrica, autovalores são reais Como matriz é PD, auto-valores são não-negativos Para cada autovalor, existe uma solução. É sempre possível escolher as soluções de forma que Se autovalores são distintos, autovetores correspondentes são ortogonais
Componentes dependentes Se uma raiz em particular tem multiplicidade M, os autovetores associados são linearmente independentes Se definirmos podemos definir K como
Componentes dependentes A matriz de autovetores é ortogonal Se K é não-singular, então
Componentes dependentes Mudança de coordenadas tal que observações são estatísticamente independentes
Componentes dependentes Estatística suficiente Distância entre as hipóteses
Implementação Deteção por diagonalização
Implementação Deteçao por branqueamento
Implementação Deteção por correlação
Exemplo 3.3 Dados
Exemplo 3.3 – Solução Autovalores Autovetores
Exemplo 3.3 – Solução Matriz de transformação
Exemplo 3.3 – Solução Estatística suficiente Distância