Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - derivação numérica: -aproximação das derivadas: diferenças divididas finitas -diferenças finitas de primeira ordem -diferenças finitas de segunda ordem -formulas com precisão elevada -derivação com pontos não igualmente espaçados Derivação numérica Pontos mais importantes: 1

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas A função a ser diferenciada ou integrada pode ser tipicamente: -uma função contínua simples e.g. polinómio, exponencial ou trigonométrica - uma função contínua complicada, difícil ou frequentemente impossível de ser derivada ou integrada directamente - conjunto dos pontos Nos últimos dois casos a derivada ou integral é determinada numericamente usando métodos aproximados! Engenharia: - estudo de variação de quantidades físicas com o espaço e/ou tempo > derivação - as leis de natureza são dadas por equações diferenciais (mecânica dos fluidos, transferência do calor e massa, cinética, etc.), solução > integração 2

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Derivação numérica de primeira ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode ser usada para aproximar as derivadas de uma função contínua: -truncatura após o segundo termo, e rearrangando o resultado para a derivada dá: -h=x i+1 -x i (passo) -o erro é proporcional a h -o operador  representa as diferença finitas progressivas eq. * 3 truncatura

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - Exemplo 100,54 20,250,49 30,50,32 40,750,01 xf(x)i 4 -0,2 -0,68 -1,24 -

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (ii) diferença dividida finita regressiva: -duma maneira semelhante a expansão de Taylor pode ser escrita para um ponto anterior: eq. ** - eq. ** pode ser rearrangada para a derivada: -o erro é proporcional a h -o operador  representa as diferença finitas regressivas 5 truncatura

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (iii) diferença dividida finita central: -subtracção de eq.** na eq. * resulta: - rearrangando para a derivada temos: 6

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas 7 - Exemplo 100,54 20,250,49 30,50,32 40,750,01 xf(x)i -0,2-- -0,68-0,2-0,44 -1,24-0,68-0,96 --1,24-

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Derivação numérica de segunda ordem: (i) diferença dividida finita progressiva: -a expansão de Taylor pode para aproximar o valor de função no ponto x+2h: -multiplicação de eq.* por 2, e subtracção na eq. ***, após rearranjo resulta na formula seguinte para a segunda derivada: eq. *** 8

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas (ii) diferença dividida finita regressiva: Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) (iii) diferença dividida finita central: 9

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas - Exemplo 100,54 20,250,49 30,50,32 40,750,01 xf(x)i 10 -1, ,24--1,92 --1,92-2,24 --2,24-

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica (diferenças divididas finitas) Formulas com precisão elevada: -o nível de precisão da aproximação pode ser elevada considerando mais alguns termos da expansão de Taylor: truncatura -rearranjando a expressão anterior para a primeira derivada dá:

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica Derivação com pontos não igualmente espaçados: -às vezes dados (experimentais) disponíveis não são igualmente espaçados ----> os métodos anteriores não podem ser usados -solução: aplicação de um polinómio de Lagrange de grau 2 para cada conjunto de 3 pontos, e derivação analítica do aproximador: -vantagem: x pode ter qualquer valor -desvantagem: a expressão é mais complicada do que dif. div. fin. 13

Elementos de Análise NuméricaDif.e int. numéricas Diferenciação numérica - a diferenciação numérica geralmente tende a amplificar os erros que afectam os dados > a primeira aproximação com regressão seguida de derivação - também a diferenciação baseada num polinómio interpolador é um processo essencialmente instável > pode conduzir a erros importantes 14