Utiliza-se a MoP para a análise da assimetria Assimetria positiva: (concentração à izquierda) Simétrica: (concentração no centro) Assimetria negativa: (concentração à direita) 4,63 4,7 4,86 x x x

ROTEIRO - Medidas de assimetria - Coeficiente de Assimetria (As) - Separatrizes 1) Mediana 2) Quartil (Qi) 3) Decil (Di) 4) Percentil (Pi)

Medidas de assimetria Estas medidas referem-se à forma da curva de uma distribuição de freqüências, especificamente do polígono de freqüências ou do histograma,

Medidas de assimetria Exemplo: Para efeitos de aplicação prática: vamos supor que foi efetuada uma prova de Estatística para verificação de aprendizagem em três turmas diferentes e, no final os resultados foram os seguintes:

1º Turma (A): Notas fi Pm fi*Pmo fac 0 |- 2 10 1 2 |- 4 20 3 60 30 Tabela 1 Notas fi Pm fi*Pmo fac 0 |- 2 10 1 2 |- 4 20 3 60 30 4 |- 6 5 150 6 |- 8 7 140 80 8 |- 10 9 90 n 450 Media 5,0 Mediana Mop Media 5,0 Mediana Mop S 2,32

1º Turma (B): Notas fi Pm fi*Pm fac 0 |- 2 30 1 2 |- 4 20 3 60 50 Tabela 2 Notas fi Pm fi*Pm fac 0 |- 2 30 1 2 |- 4 20 3 60 50 4 |- 6 5 100 70 6 |- 8 10 7 80 8 |- 10 9 90 n 350 Media 3,89 Mediana 3,50 Mop 2,72 3,89 2,72 3,50 S 2,70

1º Turma (C): Notas fi Pm fi*Pm fac 0 |- 2 10 1 2 |- 4 3 30 20 4 |- 6 Tabela 3 Notas fi Pm fi*Pm fac 0 |- 2 10 1 2 |- 4 3 30 20 4 |- 6 5 100 40 6 |- 8 7 140 60 8 |- 10 9 270 90 n 550 Media 6,11 Mediana 6,50 Mop 7,28 7,28 6,11 6,50 S 2,70

Resumo Turma A Turma B Turma C Média 5,0 3,89 6,11 Mediana 3,50 6,50 Mop 2,72 7,28 S 2,32 2,70 2,70

Coeficiente de Assimetria (As) Karl Pearson propôs duas maneiras de avaliar o grau de deformação da curva de uma distribuição de freqüências, cujo objetivo principal é justamente indicar a grandeza do afastamento em termos relativos.

Coeficiente de Assimetria (As) 1o Coeficiente 2o Coeficiente = Média Aritmética Em função dos resultados de As, é possível determinar o comportamento da curva de cada distribuição: = Moda = Desvio-Padrão AS = 0 a distribuição é simétrica = Mediana AS > 0 a distribuição é assimétrica positiva AS < 0 a distribuição é assimétrica negativa

Coeficiente de Assimetria (As) Turma A 1o Coeficiente 2o Coeficiente Logo: a distribuição é simétrica

Coeficiente de Assimetria (As) Turma B 1o Coeficiente 2o Coeficiente Logo: a distribuição é assimétrica positiva

Coeficiente de Assimetria (As) Turma C 1o Coeficiente 2o Coeficiente Logo: a distribuição é assimétrica negativa

Separatrizes

Separatrizes São valores que ocupam determinados lugares de uma serie ordenada (rol) Podem ser classificadas em: 1) Mediana 2) Quartil (Qi) 3) Decil (Di) 4) Centil ou Percentil (Pi)

Separatrizes Quartis São Separatrizes que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais

Separatrizes Determinação de Q1 Q1 Classe fi fac 7 |- 17 6 17 |- 27 15 Quartis Exemplo Q1 Classe fi fac 7 |- 17 6 17 |- 27 15 21 27 |- 37 20 41 37 |- 47 10 51 47 |- 57 5 56 n Classe Q1 Determinação de Q1 1O Passo: Calcula-se 2o Passo: Identifica-se a classe Q1 pela fac 3o Passo: Aplica-se a formula

Separatrizes Quartis Determinação da Med Classe fi fac 7 |- 17 6 Q2 = Em Classe fi fac 7 |- 17 6 17 |- 27 15 21 27 |- 37 20 41 37 |- 47 10 51 47 |- 57 5 56 n Classe Md Determinação da Med 1O Passo: Calcula-se 2o Passo: Identifica-se a classe mediana pela fac 3o Passo: Aplica-se a formula

Quartis Separatrizes Determinação de Q3 Q3 Classe fi fac 7 |- 17 6 17 |- 27 15 21 27 |- 37 20 41 37 |- 47 10 51 47 |- 57 5 56 n Classe Q3 Determinação de Q3 1O Passo: Calcula-se 2o Passo: Identifica-se a classe Q3 pela fac 3o Passo: Aplica-se a formula

Separatrizes Quartis Diante desses resultados, podemos afirmar que, nesta distribuição, temos: 25% 25% 25% 25%   7 22,3 30,5 38 57 Q1 Q2= Med Q3

Separatrizes Decis

Decis São valores que dividem a série em 10 partes iguais. 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%   D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Determinação de D 1O Passo: Calcula-se em que i=1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 2o Passo: Identifica-se a classe Di pela fac 3o Passo: Aplica-se a formula

Decis Seu cálculo é dado por: 1O Passo: Calcula-se em que i=1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 2o Passo: Identifica-se a classe Di pela fac 3o Passo: Aplica-se a formula lDi = limite inferior da classe Di i = 1,2,3,,,,,9 n = tamanho da mostra h = amplitude da classe fDi = freqüência da classe Di fant = freqüência acumulada anterior a classe Di

Decis Exemplo: determinar o 4º Decil da seguinte distribuição Classe Calcule D4 Decis 1º Passo Exemplo: determinar o 4º Decil da seguinte distribuição 2º Passo: identifica-se a classe D4 pela fac Classe fi fac 4 |- 9 8 9 |- 14 12 20 14 |- 19 17 37 19 |- 24 3 40 n lDi = 9 n = 40 h = 5 fDi = 12 fant = 8 3º Passo lDi = limite inferior da classe Di i = 1,2,3,,,,,9 n = tamanho da mostra h = amplitude da classe fDi = freqüência da classe Di fant = freqüência acumulada anterior a classe Di

Percentis São medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. 1% 2% 3% 50% 97% 98% 99%   P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99 Seu cálculo é dado por 1O Passo: Calcula-se em que i=1,2,3,..., 99 2o Passo: Pela fac identifica-se a classe Pi 3o Passo: Aplica-se a formula

Percentis Seu cálculo é dado por 1O Passo: Calcula-se em que i=1,2,3,..., 99 2o Passo: Pela fac identifica-se a classe Pi 3o Passo: Aplica-se a formula lPi = limite inferior da classe Pi i = 1,2,3,,,,,9 n = tamanho da mostra h = amplitude da classe fPi = freqüência da classe Pi fant = freqüência acumulada anterior a classe Pi

Percentis Exemplo: determinar o 72º Percentil da seguinte distribuição Calcule P72 1º Passo Exemplo: determinar o 72º Percentil da seguinte distribuição 2º Passo: identifica-se a classe P72 pela fac Classe fi fac 4 |- 9 8 9 |- 14 12 20 14 |- 19 17 37 19 |- 24 3 40 n 3º Passo lPi =14 n = 40 h = 5 fPi = 17 fant = 20 lPi = limite inferior da classe Pi i = 1,2,3,,,,,9 n = tamanho da mostra h = amplitude da classe fPi = freqüência da classe Pi fant = freqüência acumulada anterior a classe Pi

1o Coeficiente 2o Coeficiente RESUMO Determinação de Q1 Q1 1O Passo: Calcula-se 2o Passo: Identifica-se a classe Q1 pela fac 2o Coeficiente 3o Passo: Aplica-se a formula Q1 = Média Aritmética = Moda = Desvio-Padrão = Mediana

Decis Percentis RESUMO Seu cálculo é dado por: Seu cálculo é dado por 1O Passo: Calcula-se em que i=1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 2o Passo: Identifica-se a classe Di pela fac 3o Passo: Aplica-se a formula Percentis Seu cálculo é dado por 1O Passo: Calcula-se em que i=1,2,3,..., 99 2o Passo: Pela fac identifica-se a classe Pi 3o Passo: Aplica-se a formula

ROTEIRO - Medidas de assimetria - Coeficiente de Assimetria (As) - Separatrizes 1) Mediana 2) Quartil (Qi) 3) Decil (Di) 4) Percentil (Pi)

ROTEIRO CURTOSE

CURTOSE O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose? Significa verificar o “grau de achatamento da curva”. Ou seja, saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é mais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma Curva Padrão, chamada de Curva Normal

Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades: Curva Leptocúrtica Curva Mesocúrtica Curva Platicúrtica acima, uma curva (um conjunto) poderá ser, quanto à sua Curtose: Mesocúrtica: ou de curtose média. Esta curva está no meio termo: nem muito achatada, nem muito afilada; Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra o de um prato emborcado. Então “prato” lembra “plati” e “plati” lembra “platicúrtica”; - Leptocúrtica: é a curva mais afilada

Já vimos que existe relação entre o valor das Medidas de Tendência Central (Média, Mediana e Moda) e o comportamento da Assimetria de um conjunto. Todavia, quando se trata de Curtose, não há como extrairmos uma conclusão sobre qual será a situação da distribuição – se mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica – apenas conhecendo os valores da Média, Mediana e Moda. não existe uma relação entre as situações de Assimetria e as situações de Curtose de um mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas independentes e que não se influenciam mutuamente

Forma de calcular o Índice de Curtose de um conjunto Índice Percentílico de Curtose: Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula: Onde: Q3 é o terceiro quartil; Q1 é o primeiro quartil; D9 é o nono decil e D1 é o primeiro decil. Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes – o Quartil e o Decil

Exemplo: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüência abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna fac% representa a freqüência relativa percentual acumulada. Classes fac% 70 – 90 90 – 110 110 – 130 130 – 150 150 – 170 170 – 190 190 - 210 5 15 40 70 85 95 100 Estudar a distribuição com respeito à curtose.

Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o Índice Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos: Todos perceberam que havia um trabalho preliminar a ser realizado, de chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples – fi. Classes fac(%) fi% fi 70 – 90 5% 10 90 – 110 15% 10% 20 110 – 130 40% 25% 50 130 – 150 70% 30% 60 150 – 170 85% 30 170 – 190 95% 190 – 210 100%

 Cálculo do Primeiro Quartil – Q1: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 n=200 Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50

2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200 n=200

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200  10 é maior ou igual a 50? NÃO!  30 é maior ou igual a 50? NÃO!  80 é maior ou igual a 50? SIM! n=200 Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro Quartil.

4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como referência a Classe do Q1. Teremos:

Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150  Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 Solução: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 n=200 Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150

2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200 n=200

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200  10 é maior ou igual a 150? NÃO!  30 é maior ou igual a 150? NÃO!  80 é maior ou igual a 150? NÃO!  140 é maior ou igual a 150? NÃO!  170 é maior ou igual a 150? SIM! n=200 Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil.

4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do Q3, que acabamos de identificar.

 Cálculo do Primeiro Decil: D1 Solução: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 n=200 Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=20

2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200 n=200

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200  10 é maior ou igual a 20? NÃO!  30 é maior ou igual a 20? SIM! n=200 Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe do Primeiro Decil

4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil:

 Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9: Solução: 1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10): Xi fi 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 n=200 Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180

2º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200 n=200

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil: Xi fi fac 70 !--- 90 90 !--- 110 110 !--- 130 130 !--- 150 150 !--- 170 170 !--- 190 190 !--- 210 10 20 50 60 30 80 140 170 190 200  10 é maior ou igual a 180? NÃO!  30 é maior ou igual a 180? NÃO!  80 é maior ou igual a 180? NÃO!  140 é maior ou igual a 180? NÃO!  170 é maior ou igual a 180? NÃO!  190 é maior ou igual a 180? SIM! n=200 Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe do Nono Decil.

4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil:

Agora sim Chegou o momento de reunirmos os valores encontrados, para compormos a fórmula da Curtose Teremos, portanto:  Resposta

Interpretação do Resultado do Índice Percentílico de Curtose: A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do índice percentílico. Pede-se saber se a distribuição é Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de Curtose. No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do resultado é a seguinte: Se C<0,263  A distribuição é LEPTOCÚRTICA; Se C=0,263  A distribuição é MESOCÚRTICA; Se C>0,263  A distribuição é PLATICÚRTICA. Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tendo encontrado C=0,242, concluiríamos que se tratava de uma distribuição Leptocúrtica, caso isso estivesse sendo questionado pela questão.