POLIEDROS Etimologicamente, a palavra Poliedro deriva dos termos gregos: Poli (Muitos) e hedro (plano). INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (UERJ) – GEOMETRIA NO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO P. DE SÁ

Atividade POLIEDROS a. Cite uma característica comum a todos os sólidos geométricos vistos acima. b. Dê três exemplos de objetos do mundo real que podem ser considerados poliedros.

DEFINIÇÃO De forma simplificada, podemos dizer que poliedros são sólidos geométricos limitados por faces que são polígonos planos.

Atividade Observe os seguintes poliedros Imagine que os poliedros acima estão sobre um mesmo plano. Quais deles não conseguem ficar apoiados sobre alguma de suas faces?

Definição Aos poliedros que ficarem totalmente contidos num mesmo semi-plano dos definidos por qualquer de suas faces, denominamos CONVEXO. Nos casos contrários o chamamos de poliedro CÔNCAVO. Salvo qualquer menção em contrário, estaremos sempre nos referindo a poliedros convexos.

Atividade Na figura a seguir temos representado um poliedro e alguns de seus elementos estão indicados. a. Como podemos definir cada um desses elementos? b. Quantas faces, arestas e vértices tem esse poliedro? c. Qual a quantidade mínima de faces que devem concorrer num mesmo vértice? O número de faces que concorrem num mesmo vértice é denominado de ordem desse vértice.

FÓRMULA DE EULER (1750) Conte o número de vértices, faces e arestas dos poliedros ao lado e indique na tabela abaixo: Poliedro Nº de vértices (V) Nº de faces (F) Nº de arestas (A) 1 2 3 4 5 8 10 7 15 12 20 13 11 22 Consegue perceber alguma relação entre esses elementos?

Esta é a relação de Euler CONCLUSÃO Em todos os poliedros convexos se verifica a relação: V + F = A + 2 Esta é a relação de Euler

Existem ainda outros elementos importantes dos poliedros, como: Como você define a diagonal do poliedro? E plano diagonal?

Quais das afirmações abaixo são verdadeiras? 1. Em um poliedro, a quantidade mínima de arestas que concorrem num mesmo vértice é 4. F 2. As faces de um poliedro são sempre iguais. F 3. Existem poliedros com 3 faces. F 4. Em cada vértice de um poliedro concorrem sempre o mesmo número de arestas. F 5. As faces de um poliedro sempre serão polígonos. V 6. Todos os poliedros com 5 faces têm 8 arestas e 5 vértices. F 7. O cilindro é um poliedro. F

POLIEDROS REGULARES Os poliedros ditos Platônicos, em homenagem a Platão (séc. IV a. C.) são os que apresentam faces de mesmo tipo e vértices de mesma ordem. Os poliedros ditos regulares, além de serem Platônicos, possuem faces que são polígonos regulares.

TETRAEDRO REGULAR É formado por 4 triângulos eqüiláteros. Possui 4 faces, 4 vértices e 6 arestas.

OCTAEDRO REGULAR Formado por oito triângulos eqüiláteros. É compostos por 8 faces, 12 arestas e 6 vértices.

ICOSAEDRO REGULAR Formado por vinte triângulos eqüiláteros. Possui 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.

HEXAEDRO REGULAR É Formado por seis quadrados. É composto por 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

DODECAEDRO REGULAR É formado por doze pentágonos regulares. Possui 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Planificações dos poliedros regulares

Por que só existem CINCO poliedros regulares? Já os gregos reconheciam que só podem existir 5 sólidos platônicos, logo só existem também 5 poliedros regulares. Vamos tentar verificar que isso é verdade. Cada ângulo poliédrico (constituído por todas as faces que convergem num vértice) terá de ter menos de  360 graus. Por outro lado, cada um desses ângulos terá de ter pelo menos 3 faces . Logo as faces só podem ser triângulos (âng. interno 60º), quadrados (âng. internos 90º) e pentágonos (âng. interno 108º). Repare-se que com Hexágonos regulares tal seria um absurdo: a amplitude dos seus ângulos internos é 120º  e...  3 vezes 120º dá 360º!!!

Analisemos, individualmente, cada um dos casos: Triângulos eqüiláteros: Como cada ângulo interno é de 60º pode existir em cada vértice 3, 4 ou 5 triângulos. Logo:  3 triângulos em cada vértice obtém-se um  Tetraedro (1) 4 triângulos em cada vértice  obtém-se um  Octaedro (2) 5 triângulos em cada vértice obtém-se um  Icosaedro (3) Quadrados: Como cada ângulo interno mede 90º só pode existir em cada vértice ter 3 quadrados. Logo, tem-se um cubo (4) Pentágonos: Como cada ângulo interno mede 108º só podem ter 3 em cada vértice,  temos o  Dodecaedro (5)

Contagem dos elementos dos poliedros regulares (Platônicos)   N.º de Faces   N.º de Arestas   N.º de Vértices Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro 4 6 6 12 8 8 12 6 12 30 20 20 30 12

Duais dos Sólidos Platônicos O Dual de um Sólido é um outro sólido que se obtém unindo os pontos centrais das faces adjacentes do sólido original.

O Dual de um sólido Platônico é sempre um sólido Platônico, Dualidade Tetraedro / Tetraedro Dualidade Cubo / Octaedro Dualidade Octaedro / Cubo Dualidade Dodecaedro / Icosaedro O Dual de um sólido Platônico é sempre um sólido Platônico, Dualidade Icosaedro / Dodecaedro

O que mostramos antes, põe em evidência uma certa repartição dos 5 poliedros regulares em 3 classes: Tetraedro (dual de si próprio)  Cubo dual do Octaedro  Dodecaedro dual do Icosaedro. Se você comparar o número de faces e de vértices entre os pares duais: Cubo/Octaedro e Dodecaedro/Icosaedro e tetraedro / tetraedro, chegará a uma interessante conclusão, qual?

S = 360º. (V – 2) DEMONSTRAÇÃO: Cálculo do número de diagonais de um poliedro convexo Soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro S = 360º. (V – 2) DEMONSTRAÇÃO: Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer é dada por S = 180º. (n – 2). Podemos aplicar essa fórmula a cada uma das F faces do Poliedro. Vejamos: Somando todas as equações obtidas, teremos: Sif = 180º.(n1 + n2 + ....+ nF) – 360º. F Sif = 180º. 2A – 360º. F = 360º. (A – F) Como V + F = A + 2, temos que (A – F) = (V – 2) OU Sif = 360º . (V – 2) S1 = 180º.(n1 – 2) S2 = 180º.(n2 – 2) ... SF = 180º.(nF – 2)

Poliedros no cotidiano Em ornamentações, luminárias, prédios, telhados, etc. As bolas de futebol que são poliedros formados por pentágonos e hexágonos. Formas naturais de minerais e pedras preciosas. Alguns vírus (verrugas e poliomielite) têm a forma de um icosaedro. As colméias das abelhas são prismas hexagonais.

ESTUDANDO AS BOLAS DE FUTEBOL Na copa mundial de 1970 o mundo do futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos. Esta estrutura poliédrica chama-se icosaedro truncado, e é constituída de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes.

O icosaedro truncado pode ser obtido a partir do icosaedro. Para se obter o icosaedro truncado tomamos um icosaedro sólido e "cortamos" suas "pontas". Assim a cada vértice do icosaedro corresponde uma pequena pirâmide regular de base pentagonal que é retirada do icosaedro. Veja a seguir o icosaedro truncado inserido no esqueleto do icosaedro: No lugar de cada pirâmide retirada fica sua base pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vértices, o poliedro resultante tem 12 faces pentagonais.

BOLAS DE FUTEBOL (ELEMENTOS) RESUMINDO E CONTANDO: BOLAS DE FUTEBOL (ELEMENTOS) As bolas de futebol são poliedros Arquimedianos (inflados), construídos a partir de invenção de Leonardo da Vinci. Elas são formadas por 12 pentágonos (polígonos pretos na figura) e 20 hexágonos (polígonos brancos na figura). Os demais elementos você já sabe calcular. Vejamos: Arestas (A) = Vértices (V)=

Em obras de arte, como essa, de Salvador Dali.

Pirâmides - Egito

Telhado Poliédrico - Caracas

Parque Infantil

Alguns poliedros feitos de papel (Origami)

Referências: Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. e Morgado, A. C., A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, 1998. http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm http://www.dm.ufscar.br/hp/hp153/hp153001/hp153001.html