MATRIZES - 2 OPERAÇÕES

IGUALDADE Duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]pxq são iguais se e somente se m = p e n = q (mesma ordem) e aij = bij, i, j. APLICAÇÃO Se A = B e A = x + 4 8 5 e B = 12 8 3y - 1 então X + 4 = 12  x = 8 e 3y – 1 = 5  y = 2.

ADIÇÃO Duas matrizes são conformes para a adição se e somente se apresentarem a mesma ordem. Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]mxn duas matrizes. Se C = [cij]mxn e C = A + B, então cij = aij + bij. Exemplo: 13 11 9 16 4 + 9 6 + 5 3 + 6 9 + 7 6 3 9 9 5 6 7 + = =

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR (Nº REAL) Seja a matriz A = [aij]mxn e o escalar “r”. O produto rA é definido como sendo a matriz de ordem mxn e elementos bij, tais que bij = raij. Exemplo: 3 x 2 8 4 3.5 3.2 3.8 3.4 15 6 24 12 = =

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Artigos/Despesa A B C Mão de obra 2 1,5 3 Manutenção Impostos 4 1,2 2,4 Custo de produção (Despesa X produto) jan fev mar abr mai A 300 100 200 150 B 400 500 800 600 C 350 250 Quantidade produzida (Produto X mês) Qual foi a despesa com “mão de obra” para produzir os artigos A, B e C no mês de janeiro? 2X300 + 1,5x400 + 3x200 = 1.800,00 (Despesa X mês)

Formalizando: cij = aik . bkj Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]pxq duas matrizes, tais que n = p. Define-se o produto A x B como sendo uma matriz C = [cij]mxq (nº de linhas da 1ª e nº de colunas da 2ª) onde cada cij é formado pela soma dos elementos da linha i da matriz A multiplicados pelos elementos da coluna j da matriz B, isto é:  cij = aik . bkj k = 1 n

EXEMPLO: B = 6 7 2 1 5 0 1 4 1 9 8 3 A = 2 3 4 1 7 0 A tem ordem 2 X 3 e B tem ordem 3 X 4. O resultado será uma matriz 2 x 4. 2 x 3 3 x 4 Têm que ser iguais Resultado 2 X 4 c11 = linha 1 da primeira X coluna 1 da segunda = 2.6 + 3.5 + 4.1 = 31. c12 = 2.7 + 3.0 + 4.9 = 50 c13 = 2.2 + 3.1 + 4.8 = 19 c14 = 2.1+3.4+4.3 = 26 c21 = 1.6 + 7.5 + 0.1 = 41 50 19 26 41 7 9 29 A X B = c22 = 1.7 + 7.0 + 0.9 = 7 c23 = 1.2 + 7.1 + 0.8 = 9 c24 = 1.1+ 7.4 + 0.3 = 29

02 -Considere as matrizes Determine: A + BT           b)  3A         c) (AT)T           d) A x B          e) (AxB)T       f) BTxAT. g) Por que razão não é possível efetuar A + B  e B x A h) Que conclusão se pode tirar dos resultados obtidos nos itens e e f? 03 - Sabe-se que o produto Amxp . Bqxn é possível. Que relação existe em p e q? Qual será a ordem da matriz A. B? 04 - Existe ou não as operações A + B, A.B, B.A , B.AT e A.BT, onde A e B são as matrizes do item 2? Justifique suas respostas. 05 - Uma matriz A2x3 foi multiplicada por outra matriz Bmxn, resultando numa matriz Cpx5. Qual é a ordem da matriz B? Qual é o valor de p?

06 - Considere as matrizes Determine os valores de x, y, w e t se 2A + 3B = C b) Determine a matriz D tal que 2.(3A + D) = 3.(2B - A). c) Calcule 5.A.B.I onde I é a matriz identidade de ordem 2. d) Calcule a matriz M tal que M.A = I onde I é a matriz identidade de ordem 2. 07 – Seja A = [aij]5x7 tal que aij = 5 + 2i – 3j se i = j e aij = 2 – 3i + 4j se i  j B = [bij]7x6 tal que aij = 3i – 2j se i > j e aij = 2i – 3j se i < j. a) Determine o elemento c42 da matriz C tal que C = A x B. b) Determine a soma dos elementos da terceira coluna da matriz C se C = A + B. c) Qual é a ordem da matriz C se C = A x B? d) É possível o produto B x A? Justifique.

Calcule: a) A2 b) A3 c) A4 d) B2 e) AB f) BA g) 2AB h) 2BA i) (A + B)2 j) A2 + 2AB + B2 k) A2 + AB + BA + B2 Observando os itens i, j e k, que conclusões você pode tirar? 10 – Usando as mesmas matrizes do exercício anterior verifique a validade ou não das igualdades a) (AB)T = AT.BT       b) (AB)T = BT.AT      c) 2.(AB) = A.(2B) 11 – Usando as matrizes Verifique as propriedades: a) (A + B) + C = A + (B + C) b) A + B = B + A c) A . (B + C) = A . B + A . C d) 2.(A + B) = 2.A + 2.B e) A . B  B . A f) A . B = BT . AT