Matrizes Definição Tipos de matrizes Matrizes Iguais Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar e utilizar cálculos com matrizes Aplicar as matrizes para soluções de diversos problemas que envolvem sistemas lineares e vetores. Definição Tipos de matrizes Matrizes Iguais Matrizes Especiais Operações com Matrizes Aplicações

Definição: Matriz é um arranjo numérico formado por linhas e colunas. Representação: Amxn = [aij]mxn m: número de linhas n: Número de colunas aij: é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna Amxn= a22 a21 a23 .......a24 a12 a11 a13 .......a14 am2 am1 am3 .......amn . =[aij]mxn A: Denota a matriz A ou Amxn para definir numero de linhas e colunas Os elementos de uma matriz podem ser reais ou complexo

Outras formas de se representar uma matriz: .......amn . = Exemplo de matriz: A2x3= -3 4 2 1 -4 Linha Coluna a13=-4 a22=-3

Tipo de Matrizes: Matrizes Especiais: Matrizes Iguais: Amxn=Brxs quando m=r e n=s e aij=bij Exemplo: 22 2 5 1 32 log1 4 sen90 9 = Matrizes Especiais: Matriz Quadrada: Quando m=n Exemplo: 4 -2 3 2 5 1 -5 8 Neste caso Amxm dizemos que A é matriz de ordem m.

Matriz nula: Quando todos os elementos aij=0 Exemplo: Matriz Coluna: Quando n=1. Exemplo: 4 1 -3 y x Matriz linha: Quando m=1. Exemplo: 1 7 2 -3 y x Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada cujos elementos aij=0 para i≠j. Exemplo: 3 5

Matriz Identidade: É a matriz diagonal quando aij=1 (ou aii=1) para i=j. Exemplo: 1 1 Matriz Triangular Superior: É a matriz quadrada (m=n) onde os elementos abaixo da diagonal são nulos: aij= 0 para i>j. Exemplo: -1 4 2 3 Matriz Triangular Inferior: É a matriz quadrada (m=n) onde os elementos acima da diagonal são nulos: aij= 0 para i<j. Exemplo: -1 2 -3 1 3

+ = + = Operações com Matrizes: Matriz Simétrica: É a matriz quadrada (m=n) onde aij=aji. Exemplo: e b f g d i j c h a 2 3 -1 4 5 Operações com Matrizes: Adição: Dadas duas matrizes Amxn e Boxp a adição só será possível quando: m=o e n=p e portanto C=A+B = [aij+bij]mxn=[cij] a22 a21 a23 a24 a13 a14 a32 a33 a34 a31 a12 a11 b22 b21 b23 b24 b14 b11 b32 b34 b31 b12 b13 a11+b11 a12+b12 a13+b13 a14+b14 + = a21+b21 a22+b22 a23+b23 a24+b24 a31+b31 a32+b32 a33+b33 a34+b34 Exemplo: 4 -1 1 5 2 5 -2 3 1 5 2 1 3 + =

= Propriedades da Soma: A+B=B+A (comutativa) A+(B+C)=(A+B)+C (Associativa) A+0 = A onde 0 é a matriz nula Multiplicação de Matriz por escalar: Seja k um escalar e A uma matriz qualquer: kA=[kaij]mxn ou seja, cada elemento da matriz é multiplicado por este escalar. Examplo: 4 -1 1 5 2 -8 2 -2 -10 -4 = -2 Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem mxn e os escalares k, k1, k2: k(A+B)=kA+kB (k1+k2)A=k1A+k2A 0 A=0 se multiplicarmos o número zero por uma matriz obtemos uma matriz nula. k1(k2A)=(k1k2)A

Transposição de Matrizes: Dada a matriz A=[aij]mxn pode-se obter a matriz transposta A’=[bij]nxm cujo as linhas e colunas de A passam a ser colunas e linhas de A’, isto é: bij=aji. Exemplo: 4 -1 1 5 2 -1 4 1 5 2 A = A’ = 2x3 3x2 Propriedades: Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual a sua transposta, ou seja A=A’. Exemplo: 2 1 2 1 A = A’ = A’’=A (A+B)’ = A’ + B’ (kA)’=kA’

Multiplicação de Matrizes: Sejam as matrizes A=[aij]mxn e B[brs]nxp define-se AB = [cuv]mxp onde: O produto só é possivel se (Amxn e Blxp) se n=l, ou seja o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; ii. O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna) é obtido multiplicando-se os elementos da i-ésima linha da 1ª Matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz e somando-os

b22 b21 b12 b11 b32 b41 b42 b31 4x2 a22 a21 a23 a24 a12 a11 a13 a14 a32 a33 a34 a31 3x4 3x2 c21 c22 c11 c12 c31 c32 =

Propriedades: Em geral AB≠BA sendo possível as operações; AI=IA=A (I é a matriz identidade); A(B+C)=AB+AC (distributividade à esquerda); (A+B)C=AC+BC (distributividade à direita); (AB)C=A(BC) (Associatividade); (AB)’=B’A’ (OBSERVE A ORDEM) 0A=0 e A0=0

P E R G U N T A S ?