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DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS EM MACIÇOS ROCHOSOS FRATURADOS A PARTIR DE MÉTODOS ANALÍTICOS E ESTATÍSTICOS DESIGN OF BLOCKS IN FRACTURED ROCK MASSES FROM ANALYTICAL AND STATISTICAL METHODS P. F. T. Lopes, M. S. Lana Departamento de Engenharia de Minas – DEMIN Escola de Minas – EM Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP

Introdução A ocorrência de blocos rochosos potencialmente instáveis em escavações é um fenômeno muito comum na mineração subterrânea.

Introdução O cálculo do volume destes blocos é fundamental, tanto para as análises de estabilidade, quanto para a proposição de soluções de contenção.

Introdução A solução analítica geral proposta por Lopes & Lana[4] é válida para blocos de diversas formas geométricas. Ela se baseia em fundamentos de álgebra linear e cálculo vetorial, é uma solução exata e depende apenas da orientação das descontinuidades, forma do bloco e de uma dimensão linear do bloco, escolhida de acordo com a conveniência do usuário e a facilidade de medição em campo.

Solução analítica para o cálculo de volumes Seja um plano 𝛼 𝑛 , com atitude 𝜑 𝑛 𝜃 𝑛 , seu vetor “máximo declive”, pode ser escrito na forma 𝜇 𝑛 = 1, 𝜑 𝑛 , 𝜃 𝑛 , em coordenadas esféricas. Este vetor possui módulo igual a 1 unidade, mas ao aplicar-se o espaçamento 𝐸 𝑛 como módulo de 𝜇 𝑛 , criamos um vetor da forma 𝜇 𝑛 = 𝐸 𝑛 , 𝜑 𝑛 , 𝜃 𝑛

Solução analítica para o cálculo de volumes Seja 𝜇 1 , 𝜇 2 e 𝜇 3 vetores diretores dos planos 𝛼 1 , 𝛼 2 e 𝛼 3 , com seus respectivos espaçamentos 𝐸 1 , 𝐸 2 e 𝐸 3 , a transformação destes vetores para coordenadas cartesianas é obtida por: 𝜇 𝑛 = 𝐸 𝑛 , 𝜑 𝑛 , 𝜃 𝑛 → 𝜇 ′ 𝑛 = 𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 , 𝑐 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝐸 𝑛 ∙𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑛 ∙𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝐸 𝑛 ∙𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑛 ∙𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑛 𝑐 𝑛 = 𝐸 𝑛 ∙𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑛

Solução analítica para o cálculo de volumes Agora, o bloco a partir desses 3 vetores, e seu volume é dado por: 𝑉= 𝜇 ′ 1 , 𝜇 ′ 2 , 𝜇 ′ 3 = 𝜇 ′ 1 × 𝜇 ′ 2 ∙ 𝜇 ′ 3 = det(𝑀) Onde: 𝑀= 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑎 3 𝑏 3 𝑐 3

Abordagem estatística Wyllie & Mah[8] atribuem genericamente distribuições exponenciais para a ocorrência do espaçamento, e em alguns casos, distribuições log-normais. Um dos maiores problemas em assumir essas distribuições estatísticas para os valores de espaçamento é a comprovação desses modelos de distribuição, já que seriam necessários mapeamentos extensos, que na maioria das vezes são impraticáveis na rotina operacional de uma mina. Desta forma optou-se pela utilização de uma distribuição uniforme para a geração de volumes de blocos a partir de as combinações dos espaçamentos de cada família de descontinuidades, mediante a adoção de uma faixa de ocorrência, obtida a partir dos valores mínimos e máximos medidos em campo.

Abordagem estatística Foi elaborado um método combinatório para a geração dos volumes utiliza 4 planos em cada família (4³ = 64 combinações volumétricas).

Abordagem estatística Assim é possível gerar uma curva de distribuição volumétrica acumulada, com base num modelo exponencial para densidade de probabilidade: 𝑝 𝑥 = 𝜆 𝑒 −𝜆𝑥

Estudo de caso Foi realizado, para fins de estudo de novas metodologias para dimensionamento de blocos, e consequentemente, de sistemas de contenção, um mapeamento geológico/geotécnico, no nível 23, da mina Córrego do Sítio II, da AngloGold Ashanti, no município de Santa Bárbara MG:

Figura 1: Definição das famílias por projeção estereográfica

Estudo de caso Aplicando-se a metodologia analítica proposta, e implementando estas equações em Mathcad, atribuindo valores numéricos as variáveis, baseados no mapeamento geológico/geotécnico realizado, é possível representar o bloco tridimensionalmente (Figura 2), a partir de um processo de parametrização vetorial:

Figura 2: Representação tridimensional do bloco característico, em escala

Estudo de caso A partir dos métodos estatísticos propostos, foi possível construir o histograma com a frequência simples da população de blocos geradas pelas combinações, segundo 10 classes de volumes. Foi constatado o padrão de distribuição exponencial para os dados agrupados:

Figura 3: Histograma das frequências simples dos volumes de blocos

Conclusões O método analítico para o cálculo de volumes de blocos apresentado nesse trabalho é absolutamente geral e flexível, válido para quaisquer tipos de blocos delimitados por superfícies de descontinuidades, de diversas formas geométricas.

Conclusões A partir destes resultados é possível calcular-se contenções otimizadas, tanto do ponto de vista econômico, minimizando custos desnecessários com contenção, no caso de projetos de contenção superestimados, quanto para a segurança operacional da mina, tornando as contenções aplicadas de fato eficientes para a situação real encontrada em campo.

Referências [1] HOEK E. & BRAY J. W. (1981). Rock Slope Engineering, The Institution of Mining and Metallurgy, 357p. [2] LIMA, E. L. Geometria analítica e álgebra linear, 2ª ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2006, 324 p. [3] LOPES, P. F. T., Relatório de estágio curricular supervisionado - Mecânica de Rochas, AngloGold Ashanti, v.1, 2012, 61p. [4] LOPES, P. F. T.; LANA, M. S. Uma solução analítica geral para cálculo de volumes de blocos em maciços rochosos fraturados. CILAMCE XXXII Congresso Ibero Latino Americano de Métodos Computacionais em Engenharia. v. 1, 2011, 11p. [5] PRIEST, S. D. Hemispherical projection methods in rock mechanics, Allen & Unwin, London, 1985. [6] LANA, M. S.; LEITE, L. F.; CABRAL, I. E. Aplicação de métodos de agrupamento para definição de famílias de descontinuidades, Revista Brasileira de Geociências. v 39, 2009, p. 657-667. [7] STUART J. Calculus Early Transcendentals, McMaster University, 6e, Thomsom Brooks/Cole, 2008, 1308p. [8] WYLLIE D. C. & MAH C. W. (2007).Rock Slope Engineering – Civil and Mining, Spon Press, 431p. [9] PARAMETRIC TECHNOLOGY CORPORATION (PTC), Mathcad 15.0, 2010. [10] ROCSCIENCE INC., Dips Version 5.1, www.rocscience.com, Toronto, Ontario, Canadá