Lógica Matemática

Proposições

Proposição Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Transmitem pensamentos Afirmam fatos Sentença declarativa, afirmativa. Frases que possam assumir valor verdadeiro ou falso.

Proposições A Lua é um satélite da Terra. Recife é a capital de Pernambuco. O México fica na América do Norte. 𝜋> 5 Vasco da Gama descobriu o Brasil. O Japão fica na África. Ela é muito talentosa!

Valor lógico Verdade: se a proposição é verdadeira Falsidade: se a proposição é falsa

Proposições A Lua é um satélite da Terra. Recife é a capital de Pernambuco. O México fica na América do Norte. π> 5 Vasco da Gama descobriu o Brasil. O Japão fica na África.

Princípios Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Proposições simples Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Designadas por letras latinas minúsculas p,q,r,s. p: Carlos é careca. q: Pedro é estudante. r: O número 25 é quadrado perfeito.

Valores lógicos p: A Lua é um satélite da Terra. V(p) = V q: Recife é a capital de Pernambuco. V(q) = V r: Vasco da Gama descobriu o Brasil. V(r) = F

Exercício Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: O número 17 é primo. Fortaleza é a capital do Maranhão. Tiradentes morreu afogado. (3+5) 2 = 3 2 + 5 2 -1 < -7 Todo número divisível por 5 termina por 5. O produto de dois número ímpares é um número par. O número 11 é primo.

Exercício Quais das frases a seguir são proposições: Curitiba é a capital do Paraná. Todos os animais são mamíferos. Quero mais café! 3 + 4 = 7 1 > 2

Exercício 7 – 2 X > 3 Ele é médico. Ana é fisioterapeuta. Você gosta de quiabo?

Proposições compostas e conectivos

Proposições compostas Proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. Designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S. P(p,q) P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é infeliz.

Conectivos Palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é infeliz. S: Não está chovendo. T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.

Tabela-Verdade

Tabela Verdade Toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa. V p V F p F

Tabela Verdade O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. A Tabela-Verdade é um recurso utilizado para determinar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta, a partir de todas as possíveis atribuições de valores lógicos dados às proposições simples que a compõem.

Tabela Verdade V P(p,q) p q V F q V F p V F q F

Tabela Verdade Q(p,q,r) R(p,q,r,s)

Tabela Verdade http://www.calculadoraonline.com.br/tabela-verdade

Interruptores F a V a a

Operações Lógicas sobre Proposições

Operações lógicas O raciocínio envolve certas operações sobre proposições: operações lógicas Estas operações obedecem a regras do cálculo proposicional

Negação (~)

Negação p: O Sol é uma estrela. V(p) = V ~p: O Sol não é uma estrela. V(~p) = F q: 2+3 = 5. V(q) = V ~q: 2+3≠ 5. V(~q) = F r: Roma é a capital da França. V(r)=F ~r: Roma não é a capital da França. V(~r)=V

Negação p: Carlos é mecânico. ~p: Não é verdade que Carlos é mecânico. Ou ~p: É falso que Carlos é mecânico.

Negação a a

Negação p ~p V F Seja p uma proposição. ~p : não p ~p tem o valor lógico oposto ao de p ~V = F, ~F = V V(~p) = ~V(p) p ~p V F

Conjunção (∧)

Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. p e q p ∧ q

Conjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∧ q A neve é branca e 2<5.

Conjunção a b a b a b a b

Conjunção V ∧ V = V V ∧ F = F F ∧ V = F F ∧ F = F p q p ∧ q V F

Conjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∧ q A neve é branca e 2<5. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V = V

Conjunção p: O céu é roxo. q: 7 é um número primo. p ∧ q O céu é roxo e 7 é um número primo. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ V = F

Conjunção p: Os elefantes são grandes. q: 5 < 2. p ∧ q Os elefantes são grandes e 5 < 2. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ F = F

Conjunção p: 10 < 5. q: 20 > 30. p ∧ q 10 < 5 e 20 > 30. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ F = F

Disjunção(∨)

Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q são verdadeiras e falsidade (F) quando ambas as proposições são falsas. p ou q p∨q

Disjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q A neve é branca ou 2<5.

Disjunção a a b b a a b b

Disjunção V ∨ V = V V ∨ F = V F ∨ V = V F ∨ F = F p q p ∨ q V F

Disjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q A neve é branca ou 2<5. V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ V = V

Disjunção p: O céu é roxo. q: 7 é um número primo. p ∨ q O céu é roxo ou 7 é um número primo. V(p∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ V = V

Disjunção p: Os elefantes são grandes. q: 5 < 2. p ∨ q Os elefantes são grandes ou 5 < 2. V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ F = V

Disjunção p: 10 < 5. q: 20 > 30. p ∨ q 10 < 5 ou 20 > 30. V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ F = V

Disjunção exclusiva (V)

Disjunção exclusiva A palavra ou tem dois sentidos: P: Carlos é médico ou professor Q: Mario é alagoano ou gaúcho P: Ou inclusivo, ambas as situações podem acontecer Q: Ou exclusivo, somente uma das situações pode acontecer

Disjunção exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras. A falsidade (F) é quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. p∨q

Disjunção exclusiva p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q A neve é branca ou 2<5, mas não ambas.

Disjunção exclusiva p q p ∨ q V F V ∨ V = F V ∨ F = V F ∨ V = V F ∨ F = F p q p ∨ q V F

Condicional()

Condicional Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade(F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Se p então q p implica q pq

Condicional pq p é condição suficiente para q q é condição necessária para p p é antecedente q é consequente

Condicional Se a umidade subir acima de 90% então choverá em menos de 24 horas. p: A umidade sobe acima de 90% q: Choverá em menos de 24 horas. p  q p é condição suficiente para q

Condicional Uma condicional p  q não afirma que o consequente se deduz ou é consequência do antecedente p. Sempre que o antecedente for verdadeiro, o consequente deve ser verdadeiro para que o resultado de toda a proposição seja verdadeira. Uma condicional afirma unicamente a relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente.

Condicional VV = V VF = F FV = V FF = V p q pq V F

Condicional p q pq V F p: João é engenheiro. q: João sabe matemática. Se João é engenheiro então sabe matemática. p q pq V F

BiCondicional()

BiCondicional Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. p se e somente se q p  q

BiCondicional p  q p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p (p  q) ∧ (q  p)

BiCondicional VV = V VF = F FV = F FF = V p q pq V F

BiCondicional João é careca, se e somente se, João não tem cabelo. p: João é careca. q: João não tem cabelo. pq: Se João é careca, então João não tem cabelo e Se João não tem cabelo, então João é careca.

BiCondicional p q pq V F p: João é careca. q: João não tem cabelo. Se João é careca, então João não tem cabelo e Se João não tem cabelo, então João é careca.

Ordem de precedência Negação (~) Conjunção e Disjunção Condicional Bicondicional

Ordem de precedência p  q  r p ∨ ~q  q ∧ r (p  (q  r)) Bicondicional p ∨ ~q  q ∧ r p ∨ (~q)  q ∧ r ((p ∨ (~q)) ( q ∧ r )) Condicional