SÓLIDOS PLATÓNICOS

Os sólidos platónicos são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares e congruentes, e que em cada um dos seus vértices converge o mesmo número de arestas. A sua designação deve-se ao facto de Platão ter concebido as suas teorias cosmogónicas, associando aos cinco poliedros regulares convexos os constituintes fundamentais da Natureza. A existência destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos. Por sua vez, os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura e noutros objectos que construíram.

Existem apenas cinco sólidos platónicos, que são os seguintes:

Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma:

Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos platónicos pode ser obtida através do processo da sua construção, como Platão fez num seu texto incluído no diálogo Timeu. Manuscrito de Timeu, tradução para latim de Calcídio, primeira metade do século X.

Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas podemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos por considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com menos lados. Quantos poliedros se podem construir, com todas as faces triangulares regulares? Para responder a esta pergunta, centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros (basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).

Com dois triângulos equiláteros, não se consegue constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo sólido tem de ser constituído pelo menos por três planos. Com três triângulos equiláteros é possível constituir um vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro.

Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma das amplitudes dos ângulos internos adjacentes no vértice é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco desses triângulos num vértice, essa soma é de 300º, ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro.

Passando para seis triângulos equiláteros, chegamos a uma impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos internos adjacentes no vértice é, neste caso, 360º, o que não permite «fechar» o vértice, isto é, formar um ângulo sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo plano (formando uma pavimentação do plano em torno do suposto vértice). A consideração de um número maior de triângulos equiláteros em torno de um vértice, obviamente já não possibilita a construção de um poliedro.

Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás enunciado, chegamos à conclusão de que apenas conseguimos construir o cubo. Com pentágonos regulares, apenas conseguimos construir o dodecaedro.

Com hexágonos regulares não se consegue construir nenhum sólido platónico. Basta verificar que três hexágonos adjacentes em torno de um ponto (supostamente um vértice) pavimentam o plano, pois a soma das amplitudes dos ângulos internos desses hexágonos é precisamente 360º, o que não permite formar um ângulo sólido. Um número maior de hexágonos regulares, obviamente, também não permite a construção de um sólido platónico. Analogamente, com polígonos regulares com um número maior de lados, isso também não é possível.

Enumeremos então os sólidos que acabámos de construir: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.