UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade V Integração Numérica

2 – Fórmulas de Newton - Cotes Sumário: 1 – Introdução 2 – Fórmulas de Newton - Cotes 3 – Regra dos Trapézios 3.1 – Erro de Truncamento 4 – Regra dos Trapézios Repetida 4.1 – Erro de Truncamento 5 – Regra 1/3 de Simpson 5.1 – Erro de Truncamento 6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida 6.1 – Erro de Truncamento

1 – Introdução

Seja f(x) uma função contínua em [a, b]. O problema da integração numérica consiste em calcular um valor aproximado para: A idéia básica da integração numérica é a substituição de f(x) por um polinômio pn(x), que aproxime a função no intervalo [a, b]. Desta forma, a solução é obtida pela integração trivial de polinômios, ou seja: onde, I’ é a integral aproximada e Ei o erro da integração numérica.

2 – Fórmulas de Newton - Cotes

Quando os pontos usados na determinação do polinômio interpolador são igualmente espaçados e, no caso particular onde x0 = a e xn = b, tem-se o processo conhecido como “fórmulas fechadas de Newton-Cotes”. f(x1) f(x0) a b || x0 x1 f(x) p(x) Assim, tem-se:

Considerando uma variável auxiliar u, pode-se escrever: Portanto, a integral é dada por: Nesta unidade desenvolveremos as seguintes fórmulas de Newton-Cotes: Regra dos Trapézios Regra 1/3 de Simpson

3 – Regra dos Trapézios

Desenvolvimento por Lagrange Desenvolvimento por Newton - Gregory

Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a e xn = b. Seja pn(x) um polinômio que interpole a função y = f(x) sobre n + 1 pontos. Pela fórmula de Lagrange, temos que: Portando a integral aproximada é dada por:

Pela Regra dos Trapézios considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 1, assim temos: Para fazer a integração consideremos os pontos igualmente espaçados de h e a variável auxiliar u:

Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases f(x1) f(x0) a = x0 b = x1 f(x) p(x) h Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases f(x0) e f(x1).

Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a e xn = b. O polinômio interpolador que passa por estes dois pontos terá grau máximo n = 1.

A integral aproximada é dada por: fi+1 fi a = xi b = xi+1 f(x) p(x) h A integral aproximada é dada por: mas, logo, Esta equação representa a área do trapézio de altura h e bases fi e fi+1.

3.1 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Sabe-se que : Considerando a variável auxiliar u, o erro da interpolação polinomial, obtido na unidade anterior, é dado por: Substituindo na equação anterior resulta:

O teorema do valor médio para integral, permite escrever: desde que yn(u) não mude de sinal no intervalo e n impar. Desta forma, a equação do erro pode ser reescrita como: No caso da Regra dos trapézios, faz-se n = 1 e obtém-se:

4 – Regra dos Trapézios Repetida

Com a finalidade de minimizar o erro cometido, seja a regra dos trapézios aplicada repetidas vezes. Considere pontos distintos (xi , yi) i = 0, ... , m igualmente espaçados com passo h, tais que xi+1 - xi = h. f(x) x x0 x1 x2 x3 xm-2 xm-1 xm ...

Segundo a propriedade das integrais, tem-se: Utilizando a equação da regra dos trapézios, resulta:

4.1 – Interpretação Geométrica f(x) x A1 A2 A3 A4 ITR = A1 + A2 + A3 + A4 + ... + Am

4.2 – Erro de Truncamento na Regra dos Trapézios Repetida Considerando que f ”(x) seja contínua no intervalo [a, b] , pode-se escrever que: Desta forma, o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios repetida é dado por: E a cota superior (ou limitante) do erro absoluto vale:

a) Aproximar I, usando a regra do Trapézios Repetida sobre 7 pontos. Exemplo 1: Seja a) Aproximar I, usando a regra do Trapézios Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido. a) xi -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 yi 0.1991 0.1970 0.1901 0.1778 0.1596 0.1353 0.1050

b)

5 – Regra 1/3 de Simpson

Desenvolvimento por Lagrange Desenvolvimento por Newton - Gregory

Consideremos o intervalo [a, b] tal que x0 = a , x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b. f(x) x x0 x1 x2 Utilizando novamente o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração de f(x) tem-se:

A integral aproximada é dada por: Pela Regra 1/3 de Simpson considera-se o polinômio pn(x) de grau máximo n = 2, assim temos:

Para fazer a integração consideremos a variável auxiliar u:

portanto,

Seja o intervalo [a, b] dividido em três pontos, portanto dois sub-intervalos: f(x) x xi xi+1 xi+2 A integral aproximada, utilizando um polinômio de segundo grau, de acordo com a equação acima, vale:

mas, portanto,

5.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson O erro cometido ao se utilizar a regra 1/3 de Simpson não pode ser obtido através da equação abaixo: pois yn(u) muda de sinal no intervalo. Demonstra-se que, para f (IV)(x) contínua em [x0, xn], o erro pode ser calculado por:

6 – Regra 1/3 de Simpson Repetida

Seja m +1 pontos igualmente espaçados, tal que o intervalo [a, b] seja subdividido em m intervalos pares. Segundo a propriedade das integrais, tem-se: Utilizando a equação da regra 1/3 de Simpson, resulta:

6.1 – Erro de Truncamento na Regra 1/3 de Simpson Repetida Considerando que f (IV)(x) seja contínua no intervalo [a, b], o erro pode ser calculador por: Desta forma, o erro cometido pela aplicação da Regra 1/3 de Simpson Repetida vale:

Assim, a cota superior do erro absoluto vale:

a) Aproximar I, usando a regra 1/3 de Simpson Repetida sobre 7 pontos. Exemplo 2: Seja a) Aproximar I, usando a regra 1/3 de Simpson Repetida sobre 7 pontos. b) Estime o erro cometido. a) xi -2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 yi 0.1991 0.1970 0.1901 0.1778 0.1596 0.1353 0.1050

b)

Do exemplo 1 temos que