Amostragem

Amostragem x[n]=xa(nT) -<n< x[n] é o sinal de tempo discreto obtido através da amostragem do sinal analógico xa(t) a cada T segundos. T -> período ou intervalo de amostragem (s) . fs -> taxa ou frequência de amostragem (Hz) ws -> frequência de amostragem em rad/s

Amostragem A amostragem é, em geral, não reversível Dado um sinal amostrado pode-se ajustar infinitos sinais contínuos através das amostras Questão fundamental em processamento de sinais: se perdermos informação durante a amostragem não poderemos recuperá-la Sob certas condições um sinal analógico pode ser amostrado sem perdas, de modo que pode ser reconstruído perfeitamente. 20 40 60 80 100 -0.5 0.5 1 -1 Güner Arslan(2005 )

Amostragem

Amostragem Ideal Trem de Impulsos

Representação da Amostragem no Domínio da Frequência Modulação (multiplicação) do sinal de tempo contínuo com o trem de impulsos Obtendo a Transformada de Fourier de xp(t) e p(t) A transformada de Fourier de um trem de impulsos é um trem de impulsos A multiplicação no tempo é a convolução no domínio da frequência FT FT Güner Arslan(205)

Consequências da Amostragem Domínio do tempo Domínio da Frequência * = wm -> frequência máxima Esta equação mostra que o espectro de xp(t) é composto de infinitas cópias do espectro de xa(t), sendo que os deslocamentos na frequência múltiplos inteiros da frequência de amostragem.

Consequências da Amostragem Para evitar que as cópias dos espectros interfiram uma com as outras este sinal deve ter largura de faixa limitada a wm. se ws-wm>wm, ou seja, ws>2wm podemos recuperar o espectro Xa(jw) a partir de Xp(jw). O Espectro Xa(jw) esta intacto em Xp(jw), exceto por uma alteração de amplitude de 1/T. se ws-wm<wm, ou seja, ws<2wm os espectros se sobrepõem . Esta sobreposição é chamada de aliasing. Nesse caso não é possível recuperar o sinal original.

Ex. de Aliasing Duas senóides f1=1/8Hz e f2=7/8 Hz produzem amostras idênticas quando amostradas a fs=1Hz

Teorema de Amostragem Se a maior frequência contida em um sinal analógico é e o sinal é amostrado em uma taxa ou então xa(t) pode ser completamente recuperado de seus valores amostrados x[n]. A taxa de amostragem é chamada de Taxa de Nyquist.

Recuperação do Sinal Original Podemos extrair a parcela central de Xp(jw) usando um filtro passa baixa com frequência de corte (wc) tal que: (Hpb)

Recuperação no Domínio do Tempo Domínio da Frequência Domínio do Tempo se wc=ws/2 lembrando que: FT

Recuperação no Domínio do Tempo como x[n]=xa(nT) -<n<

Processamento de Sinais Analógicos

Referências Bibliográficas DINIZ, Paulo Sergio Ramirez; SILVA, Eduardo Antônio Barros da; LIMA NETTO, Sergio. Processamento digital de sinais: projeto e análise de sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2004. 590 p. OPPENHEIM, Alan V.; SCHAFER, Ronald W.. Digital signal processing. New Jersey: Prentice-Hall, c1975. 585 p.