Laboratório 2 de Fundamentos de Física e Matemática Revisão das atividades do Lab anterior: Plot de Graficos – Maximos locais e globais

Determinando a inclinação da função A inclinação da reta verde representa exatamente a inclinação da curva azul no limite em que vai para zero a distância entre os dois pontos usados para determinar a reta verde (Fonte: http://www.sosmath.com/calculus/diff/der00/der00.htm)l

Encontrando a inclinação da função nos máximos e nos mínimos https://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point#/media/File:Animated_illustration_of_inflection_point.gif

Revisão das atividades do Lab anterior: Limites Quanto vale a função abaixo quando x tende a 1? (Veja que a função não é definida para x=1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −1 𝑥−1 lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =?

O Limite existe: lim 𝑥→ 1 − 𝑓 𝑥 =2 lim 𝑥→ 1 + 𝑓 𝑥 =2 Como o limite à esquerda é igual ao limite à direita, o limite existe. Portanto, o limite vale: lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =2 O ponto que o excel disse “DIV/0! (que não existe) e que o excel Plotou em (1,0) é na verdade (1,0), conforme calculamos pelo Limite. Devemos então substituir na tabela do excel a formula pelo Resultado que é 2, somente no ponto onde o domínio vale x=1. Note que os sinais + e – ao lado do Numero 1 (que significam direita e esquerda) Não aparecem mais no limite.

O Limite não existe: lim 𝑥→ 1 − 𝑓 𝑥 =−∞ lim 𝑥→ 1 + 𝑓 𝑥 = +∞ Como o limite à esquerda é diferente do limite à direita, o limite não existe. O ponto que o excel disse “DIV/0!” não deve ser Colocado no gráfico porque não existe. O ponto Que o excel colocou em (1,0) esta portanto errado. O ponto x=1 não tem correspondente em y – deixar em branco na tabela

O conceito de limite É útil para determinar valores para os quais tendem funções em pontos não definidos e com indeterminação do tipo: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 0 0 0 ∞ ∞ Exemplo: Calcular os limites pela esquerda e pela direita e ver se convergem para o mesmo numero. lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 = ?

O Limite existe: lim 𝑥→0− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 =1; lim 𝑥→0+ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 =1 O limite existe e vale: lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 =1

Encontrando a taxa de crescimento de uma função https://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point#/media/File:Animated_illustration_of_inflection_point.gif

Como encontrar a inclinação da curva? P A inclinação no ponto P é calculada no limite em que dx vai para zero. https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative#/media/File:Tangent_animation.gif

Calculando a tangente no ponto x (inclinação no ponto x) lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ

A inclinação da reta no ponto OU tangente do ângulo da inclinação OU taxa de variação OU simplesmente: derivada da função

Tangente do ângulo da inclinação local da curva

O que acontece com a inclinação da reta nos pontos de máximo e mínimo? https://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point#/media/File:Animated_illustration_of_inflection_point.gif

Pontos críticos (ou estacionários) e pontos de inflexão

Encontrando Max, Min e Ponto de Inflexão Max, Min: 1ª. Derivada Zero Pt. Inflexão: 2ª. Derivada muda de sinal

Encontrando Max, Min e Ponto de Inflexão Max, Min: 1ª. Derivada Zero

Encontrando Max, Min e Ponto de Inflexão No Max e no Min: 1ª. Derivada é zero No Max, 2ª. Derivada é sempre < 0 No Mínimo, 2ª. Derivada é sempre >0

Encontrando Max, Min e Ponto de Inflexão No Max e no Min: 1ª. Derivada é zero No Max, 2ª. Derivada é sempre < 0 No Mínimo, 2ª. Derivada é sempre >0 E se a primeira derivada for zero e a segunda derivada for também zero? No Pt. De Inflexão: 2ª. Derivada é zero e muda de sinal

Encontrando Max, Min e Ponto de Inflexão Max, Min: 1ª. Derivada Zero Pt. Inflexão: 2ª. Derivada muda de sinal

Nomenclaturas e com ler as notações de derivadas 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =𝑦′ (todas significam a mesma coisa: primeira derivada) Lê-se: Éfi linha de x = dê-éfi-dê-xis = ypisilon linha 𝑓 ′ ′ 𝑥 = 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑥 2 = y’’ (todas significam a mesma coisa: segunda derivada) Éfi duas linhas de x = dê-dois-éfi-dê-xis-dois = ypisilon duas linhas

Documento para Entregar Impresso Introdução: Conceito de Derivada, Histórico e notações Explicar derivada como taxa de variação ou velocidade, como tangente do ângulo de inclinação da curva no ponto. Discutir uso da derivada para encontrar pontos de máximo e de mínimo de função Discutir uso de derivada para encontrar pontos de inflexão de função Usar nas discussões acima pelo menos 6 funções criadas neste laboratório (ou outras funções, mas usando a mesma técnica de derivação usando o excel). Conclusão Não é necessário em nenhuma parte da discussão calcular derivadas de forma analítica. Tamanho do documento: 6 a 12 folhas. Não precisa ser colorido mas precisa ser entregue impresso -- um por grupo. Não precisa capa mas precisa todos os nomes e numero usp dos integrantes do grupo e o que cada um fez.