AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine AED-11 AERODINÂMICA BÁSICA Prof. Kleine

Objetivos Definir soluções elementares no plano complexo Encontrar a relação entre circulação e sustentação para um corpo bidimensional qualquer

Roteiro Função de variável complexa Condições de Cauchy-Riemann Revisão de potencial de velocidade e função de corrente Potencial complexo e velocidade complexa Soluções elementares Circulação e Fluxo Escoamento em volta de cilindro arbitrário Velocidade Forças e momentos Teorema de Kutta-Joukowski

Função de Variável Complexa

Função de Variável Complexa Em um plano 2D: Uma função complexa pode ser escrita como um par de funções reais: Estamos interessados em funções diferenciáveis Estas funções são chamadas de funções analíticas (ou holomorfa)

Função de Variável Complexa Exemplos de funções analíticas: - Para n>0: todo o plano - Para n<0: exceto z=0 Em uma região que não inclua z=0; e desde que argumento esteja restrito a um intervalo

Função de Variável Complexa Derivando Então: Condições de Cauchy-Riemann

Condições de Cauchy-Riemann Algumas consequências das condições de Cauchy-Riemann:

Condições de Cauchy-Riemann 1 – Se as partes real e imaginária de uma função complexa possuem derivadas parciais contínuas e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, então a função complexa é analítica

Condições de Cauchy-Riemann 2 – as partes real e imaginária de uma função analítica satisfazem a Eq. de Laplace

Condições de Cauchy-Riemann Derivando: Então:

Condições de Cauchy-Riemann Equação de Laplace: Analogamente: 2 – as partes real e imaginária de uma função analítica satisfazem a Eq. de Laplace Funções harmônicas

Condições de Cauchy-Riemann 3 – A parte real e a parte imaginária não são independentes Sabendo a parte real é possível determinar a parte imaginária (exceto apenas por uma constante aditiva) São chamadas funções harmônicas conjugadas

Condições de Cauchy-Riemann 4 – A família de curvas definida por e a família de curvas definida por são ortogonais entre si

Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente

Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente Para um escoamento 2D irrotacional e incompressível, é possível definir um potencial de velocidade e uma função de corrente de modo que:

Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente Equação de Laplace: O potencial de velocidade e a função de corrente satisfazem a Eq. de Laplace Funções harmônicas

Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente O potencial de velocidade e a função de corrente não são independentes Sabendo uma é possível determinar a outra (exceto apenas por uma constante aditiva) São chamadas funções harmônicas conjugadas

Revisão de Potencial de velocidade e função de corrente 4 – A família de curvas definida por e a família de curvas definida por são ortogonais entre si

Potencial complexo e velocidade complexa

Potencial complexo e velocidade complexa Combinando o potencial de velocidade e a função de corrente: Potencial complexo

Potencial complexo e velocidade complexa O potencial complexo é uma função analítica Pode-se derivar F: Velocidade complexa

Potencial complexo e velocidade complexa A velocidade complexa é o conjugado do vetor velocidade

Potencial complexo e velocidade complexa Velocidade complexa é uma função analítica (F’ é analítica) Equações de Cauchy-Riemann: Continuidade Irrotacionalidade

Potencial complexo e velocidade complexa Toda função analítica satisfaz as condições de Cauchy-Riemann Potencial de velocidade e função de corrente definidos a partir de uma função analítica satisfazem as condições de movimento irrotacional bidimensional de um fluido perfeito (continuidade e irrotacionalidade são satisfeitos automaticamente) O problema fica reduzido a achar uma função analítica que satisfaz as condições de contorno

Soluções elementares

Soluções elementares

Soluções elementares

Circulação e Fluxo

Circulação e Fluxo Em uma curva fechada C Circulação (definição do Karamcheti, sinal oposto ao do Anderson): Fluxo volumétrico por unidade de comprimento: Então: Onde z2 e z1 são pontos coincidentes em C

Obs: circulação no sentido anti-horário Circulação e Fluxo Em uma curva fechada Em volta de um corpo bidimensional fechado: Q=0? G=0? Sim Não (mas pode ser) Obs: circulação no sentido anti-horário

Escoamento em volta de cilindro arbitrário

Escoamento em volta de cilindro arbitrário Corpo bidimensional fechado (Pode não ser circular) Cilindro

Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade Série de Laurent (Karamcheti 14.22): Permite expansão em torno de um ponto na região fora do domínio

Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0 Os termos com expoentes positivos podem ser eliminados Condição de contorno no infinito

Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0:

Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0: O termo A0 é dado pela velocidade no infinito Condição de contorno no infinito

Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade Escrevendo a velocidade complexa como uma série de Laurent em torno de z=0: Teorema dos resíduos (Karamcheti 14.23) Relação com circulação: Para um circuito envolvendo a origem

Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade Ou: Obs: circulação no sentido anti-horário Circulação no sentido horário (sustentação positiva)

Escoamento em volta de cilindro arbitrário - Velocidade Aplicação: Cilindro circular É possível provar que (Karamcheti 15.5): Circulação no sentido horário (sustentação positiva)

Forças e momentos - cilindro arbitrário

Forças e momentos - cilindro arbitrário Força resultante no cilindro

Forças e momentos - cilindro arbitrário Aplicando eq. de Bernoulli: Força resultante no cilindro Momento resultante no cilindro

Forças e momentos - cilindro arbitrário Caso 2D: integrais de superfície se tornam integrais de linha

Forças e momentos - cilindro arbitrário Utilizando Chegamos a: Força na direção x Força na direção y

Forças e momentos - cilindro arbitrário Escrevendo agora na forma complexa X-iY Força complexa Chegamos a: Força complexa

Forças e momentos - cilindro arbitrário Com relação ao momento Chegamos a:

Forças e momentos - cilindro arbitrário Relações de Blasius:

Forças e momentos - cilindro arbitrário Força em cilindro arbitrário por meio da Eq. QDM em volume de controle integral (Lab AED-01) Bernoulli (para eliminar p) Integral de superfície se torna integral de linha (2D) Álgebra Forças e momentos no plano real Definição de força complexa Utilização do conceito de velocidade complexa Álgebra Obs: Onde se lê “Álgebra”, entenda-se: Algumas folhas de papel e noites mal dormidas depois... Relações de Blasius

Teorema de Kutta-Joukowski Forças e momentos - cilindro arbitrário Teorema de Kutta-Joukowski

Teorema de Kutta-Joukowski Relações de Blasius: E se utilizarmos a expansão em série de Laurent?

Teorema de Kutta-Joukowski Então:

Teorema de Kutta-Joukowski Juntando: Chegamos a:

Teorema de Kutta-Joukowski Lembrando que: Obtemos: Obs: circulação no sentido anti-horário

Teorema de Kutta-Joukowski Logo: Utilizando a notação mais usual: Obs: circulação no sentido anti-horário Arrasto Circulação no sentido horário (sustentação positiva) Sustentação

Teorema de Kutta-Joukowski Arrasto Consequências: Força resultante em um corpo bidimensional fechado Sempre perpendicular ao escoamento não-perturbado Arrasto Sempre nulo (segundo a teoria potencial) Sustentação Proporcional à circulação Circulação no sentido horário (sustentação positiva) Sustentação

Teorema de Kutta-Joukowski Outra forma: Consequências: Se você souber a circulação, a sustentação é independente do formato do perfil! Mas: A circulação depende do formato do perfil! Como saber a circulação? É o que veremos a seguir... :) Circulação vetorial, seguindo a regra da mão direita

Forças e momentos - cilindro arbitrário Só pra terminar:

Referências Karamcheti, K., Principles of Ideal Fluid Aerodynamics Capítulos 14, 15.1 a 15.7, Apêndice A Durand, W. F., Aerodynamic Theory Volume 1, Capítulo A.1 (variáveis complexas) Milne-Thomson, L. M.,Theoretical Aerodynamics Seções 3.4, 3.5, 3.7, 5.4, 5.7