Análise de Circuitos em Corrente Alternada

Tensão  Contínua Tensão continua ou constante pois o seu valor não se altera com o tempo. comportamento da tensão nos terminais da bateria ao longo do tempo: A tensão não muda, permanece constante.

Tensão  Alternada O seu valor  e polaridade  se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da  tensão então temos os diferentes tipos de tensão alternada: senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc. De todas essas  a senoidal é a que  tem   um maior interesse  pois é a  senoidal a tensão que é gerada nas usinas  e que alimenta as industrias e residências.

Considerando o circuito da figura abaixo, no qual temos duas baterias e uma chave  que ora conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta a bateria B2 ao resistor. Vamos supor que cada bateria fica conectada ao resistor durante 1s. Como seria o gráfico da tensão em função do tempo nos terminais da bateria ?

Tensão Senoidal A grande vantagem da alimentação em AC, comparativamente à DC onde as grandezas têm uma evolução constante no tempo, verifica-se na eficiência do transporte de energia por esta se poder fazer a muito alta tensão; a tensão alternada produzida numa central é elevada por um transformador que, conseqüentemente diminui, aproximadamente, na mesma proporção a corrente; as perdas são assim menores em alta tensão, do que seriam se a energia fosse transportada ao nível de tensão a que é produzida. Esta foi a principal razão porque os sistemas AC se impuseram face aos sistemas DC.

Observe que a relação entre ângulo e tempo é dada por :  = 0 +w.t Tensão Senoidal É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal, portanto nesse caso temos uma  expressão matemática para expressar a tensão (no caso da tensão quadrada não temos). A  expressão matemática é: v(t)= VM.sen(wt + o)   ou          v()    = VM.sen    Onde VM (em V) é o valor de pico (valor máximo que a tensão pode ter), w em (rd/s) é a freqüência angular e 0 (rd ou graus) é o angulo de fase inicial,  é o ângulo num determinado instante t. Observe que a relação entre ângulo e tempo é dada por :  = 0 +w.t

Tensão Senoidal A freqüência angular relaciona-se com a freqüência, expressa em ciclos por segundo ou hertz (Hz), através de: =2f A freqüência pode ser expressa em função do período, através de: f= 1/T Todos estes parâmetros da senóide estão graficamente representados na figura seguinte

Todos estes parâmetros da sinusóide estão graficamente representados na figura seguinte

Então uma tensão senoidal varia em função do tempo de acordo com uma lei senoidal, mas a mesma tensão pode ser representada em função do ângulo (não esqueça que a função seno tem período de 360 graus ou de 2 rd), sendo a relação entre ângulo e tempo dada por = 0 +w.t

Dadas duas grandezas sinusoidais com igual frequência, descritas pelas expressões: designa-se por desfasagem entre as grandezas, a diferença de fases iniciais, . De acordo com o exemplo dado, diz-se que a grandeza x(t) está avançada radianos, relativamente a y(t).

Valor Eficaz O conceito de valor eficaz de uma tensão ou corrente alternada senoidal está diretamente ligado à potência transferida por esse par de grandezas; é através do valor eficaz que se pode comparar a potência associada a grandezas AC com potências associadas a grandezas DC. Fisicamente , o valor eficaz de uma corrente alternada é o valor da intensidade de uma corrente contínua que produziria, numa resistência, o mesmo efeito calorífico que a corrente alternada em questão. Matematicamente, o valor eficaz, Xef, de uma grandeza periódica x(t) é determinado através de:

O caso particular de uma grandeza alternada senoidal expressa por , que conduz a: Poder-se-á assim escrever: Graficamente, o valor eficaz está relacionado com a área sob a curva que representa a evolução temporal do quadrado da grandeza, tal como se representa na figura seguinte. O valor eficaz de uma grandeza altera-se com a amplitude, com perturbações na forma da onda, mas não é afetado por variação da freqüência, nem da fase inicial

P. ex. uma tensão senoidal de 155V de pico é aplicada a uma resistência de 100 Ohms. Se ao mesmo resistor for aplicado uma tensão de 110V contínuos, a dissipação de potência será a mesma.

Para a tensão senoidal representada abaixo determine os seus parâmetros: VP=VM= ______V, VPP= _____V, VRMS= ____V, T= ____ms, f= ____Hz, w = ____ rd/s e 0 = ____

Representar as seguintes tensões senoidais v1(t) = 15.sen(2. p.103.t ) ( V ). v2(t) = 20.sen(2. p.103.t + p/2 )( V ).

NOTAÇÃO COMPLEXA É uma forma de representar grandezas alternadas senoidais através de vetores que variam no tempo (vetores girantes). A notação complexa foi introduzida por Steinmetz, em 1893, e veio simplificar a análise do regime permanente de circuitos alimentados em AC. Pretende-se determinar qual o vetor representativo da tensão descrita por Partindo da função de Euler onde j presenta a unidade imaginária, pode-se escrever: multiplicando ambos os membros da expressão por UM, obtém-se: que será designado por vetor girante e representado por:

NOTAÇÃO COMPLEXA Comparando a expressão de com a da evolução temporal de u(t), conclui-se que u(t) corresponde à parte imaginária de . Em termos matemáticos tem-se: Atendendo a que o número complexo pode ser representado no plano complexo como um vetor que, para t=0, vale e que rodará com freqüência angular  ao longo do tempo (correspondente à multiplicação por )

NOTAÇÃO COMPLEXA Representação gráfica de um vetor girante O vetor designa-se por amplitude complexa de . Graficamente, a tensão descrita por será, em cada instante, a projeção de sobre o eixo dos imaginários. Diagrama Fasorial

Circuitos Resistivos em CA Em um circuito puramente resistivo alimentado por uma tensão alternada (CA), a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela lei de ohm, isto é : V =R.I ou I = V/R, sendo que usamos valores eficazes para I e V. Em termos de diagrama fasorial significa que os fasores representativos da tensão e da corrente estão em fase.

Indutor Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A figura abaixo mostra o símbolo para indutor com núcleo de ar, de ferro e de ferrite.

Indutor em Corrente Contínua O que acontece quando no circuito da figura abaixo quando fechamos a chave? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução. Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai atuar na bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente.

Indutor em Corrente Alternada Senoidal A corrente em um indutor está atrasada em relação à tensão em um circuito CC. O que acontece se alimentarmos um indutor ideal de indutância L com uma tensão alternada senoidal de freqüência f? A corrente continua atrasada em relação à tensão e agora de um ângulo bem definido, 90º.

Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está atrasada em relação à tensão. Caso o núcleo fosse de ferro ou ferrite a corrente demoraria mais para aumenta (ou diminuir),  isto porque  a indutância da bobina seria diferente em cada caso. A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, a sua unidade se chama Henry (H). Quanto maior a indutância (L) mais tempo levará para que a corrente no gráfico atinja o seu valor máximo. O valor da indutância depende do número de espiras e do material usado no núcleo. Série Ensino Modular Eletricidade - Circuitos em Corrente Contínua M3-3/6

Reatância Indutiva Como vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida desta oposição é dada pela sua reatância indutiva ( XL ), sendo calculada por: Com L especificado em Henrys (H), f em hertz  (Hz), XL  em ohms (   ).

Capacitor em corrente alternada senoidal Quando ligamos um capacitor em um circuito CC, inicialmente a corrente é máxima com tensão nula no capacitor, isto é, existe uma defasagem entre a corrente e a tensão. Se um capacitor ideal (não tem resistência de perdas) for ligado à uma tensão alternada senoidal, a corrente estará 90º adiantada em relação à tensão.

Reatância Capacitiva  É a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternada é calculada por:   com C em Farads (F), f em Hertz (Hz) resultando XC em Ohms (W). Para calcularmos o módulo da corrente no circuito poderemos usar a lei de Ohm, isto é :

Impedância Complexa

Impedância Complexa Define-se impedância complexa, Z a razão entre os vetores girantes da tensão e da corrente: Explicitando a impedância complexa de cada um dos elementos R, L e C, obtém-se: Uma impedância complexa expressa-se em Ohm 

Impedância Complexa Pode-se representar vetorialmente as impedâncias e as amplitudes complexas de cada um dos elementos. Note-se que a impedância não é um vetor girante, pois não está a representar qualquer grandeza alternada senoidal. Saliente-se, também, o fato de as impedâncias das indutâncias e dos capacitores se alterar com a freqüência de alimentação do circuito, contrariamente ao que acontece com a impedância da resistência

CIRCUITO RL SÉRIE Na prática um indutor apresenta uma resistência, e além disso podemos ter resistores em série com o indutor, neste caso a corrente continuará atrasada em relação à tensão mas de um angulo menor do que 90º. A figura mostra o circuito e o diagrama fasorial, com as seguintes expressões:

circuito RL série Exercício 1: Para o circuito pede-se determinar: Impedância, b) corrente, tensão em R e em L, c) cosf e d) Formas de onda da tensão total e da corrente

CIRCUITO RC SÉRIE Relembrando, em um circuito puramente resistivo a tensão e a corrente estão em fase, e num circuito puramente capacitivo a corrente esta 90º adiantada em relação à tensão. Num circuito como o da figura abaixo a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor do que 90º. Observe o seu diagrama fasorial resultante.

circuito RC série Define-se a impedância (Z) do circuito como sendo: Z=V/ I A impedância é a soma dos efeitos da resistência (R=VR/ I) e da reatância capacitiva (XC=VC/ I) na oposição à passagem da corrente. O diagrama fasorial nos mostra o seguinte: 1- f é o angulo de defasagem entre a tensão total e a corrente consumida pelo circuito (I). 2- A corrente no capacitor continua adiantada em relação à tensão no capacitor (VC). 3- A corrente na resistência (I) está em fase com a tensão na resistência(VR) e defasada de 90º em relação à tensão  no capacitor(VC). A tensão total do circuito é obtida somando VR com VC vetorialmente. Do diagrama fasorial obtemos as relações básicas deste circuito:

cos f = R / Z logo f= arcos(R/Z) circuito RC série Se dividirmos por I2 a primeira igualdade obteremos a expressão que calcula a impedância do circuito O angulo de defasagem, f, também pode ser calculado a partir do diagrama fasorial sendo dado por: cos f = R / Z    logo f= arcos(R/Z)

CIRCUITO RC PARALELO As mesmas considerações feita para o circuito RC série vale para o RC paralelo, ou seja, em um circuito puramente resistivo a tensão e a corrente estão em fase, e num circuito puramente capacitivo a corrente esta 90º adiantada em relação à tensão.

circuito RC paralelo Para este circuito valem as expressões

CIRCUITO RL PARALELO No circuito abaixo  temos o circuito e o diagrama fasorial de um circuito RL paralelo. A corrente total se divide entre o indutor e o resistor e continuam válidas as características do indutor ideal (corrente atrasada de 90º em relação à tensão).

circuito RL paralelo Z= R.XL/(R2+XL2)0.5 É importante notar que a fase inicial da tensão do gerador é ARBITRÁRIA.Caso tivéssemos  considerado a fase inicial de V igual a 0º, todo desenho deveria ser  deslocado de 90º no sentido horário.  Cálculo da Impedância  Do ponto de vista de análise, não interessa saber qual a fase inicial da tensão da rede. O que importa realmente  é a  defasagem entre a tensão total (tensão da rede) e a corrente total (corrente fornecida pela rede), e o que determinará  essa defasagem será a carga (R e L). Para este circuito valem as seguintes expressões. Z= R.XL/(R2+XL2)0.5

CIRCUITO RLC SÉRIE - RESSONÂNCIA Para analisar o circuito abaixo deveremos  lembrar que a tensão total aplicada é a soma vetorial das tensões VC, VR e VL. No diagrama fasorial a tensão na resistência está em fase com a corrente, a tensão na indutância está adiantada de 90º enquanto a tensão no capacitor está atrasada de 90º

circuito rlc série - ressonância No diagrama fasorial estamos considerando, arbitrariamente, que o circuito é indutivo, e portanto VL > VC, e desta forma a corrente estará atrasada em relação à tensão. Para obter a expressão da tensão total e da impedância devemos fazer a soma vetorial das três tensões. Observe que VL e VC tem mesma direção mas sentidos oposto,  logo a resultante da operação VL - VC terá o sentido de VL.

circuito rlc série - ressonância Impedância e Ressonância Para o circuito anterior vale as seguintes expressões: Da equação que se obtém o calculo da impedância observamos que se XL= XC a impedância será igual a R, isto é, o circuito será puramente resistivo e a corrente estará em fase com a tensão. Esta situação é conhecida como ressonância, e ocorre numa freqüência f0 calculada por :

circuito rlc série - ressonância O circuito ressonante tem as seguintes características: Na freqüência de ressonância, o circuito é puramente resistivo, sendo a corrente máxima de valor V/R, estando em fase com a tensão. Abaixo da freqüência de ressonância a impedância será capacitiva (XC > XL), estando a corrente adiantada em relação à tensão. Acima da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC < XL), estando a corrente atrasada em relação à tensão.

CIRCUITO RLC PARALELO - RESSONÂNCIA Como sabemos, num circuito paralelo a tensão é a mesma em todos os elementos, veja o circuito RLC paralelo e o diagrama fasorial com a representação das três correntes e da tensão total.

circuito rlc paralelo - ressonância Considerando que IL >IC então obtemos o diagrama fasorial final onde representamos a soma vetorial das três correntes(IL, IC e IR).

circuito rlc paralelo - ressonância Para este circuito são válidas as expressões : Ressonância  Se XL = XC na expressão da impedância obteremos Z = R, isto é, o circuito será puramente resistivo sendo esta situação chamada de ressonância e isso ocorre na freqüência f0 dada por:

O circuito ressonante tem as seguintes características : Na freqüência de ressonância f0, o circuito é puramente resistivo, sendo a corrente mínima de valor V/R, estando em fase com a tensão. Abaixo da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC < XL ), estando a corrente atrasada em relação à tensão. Acima da freqüência de ressonância a impedância será capacitiva ( XC > XL ), estando a corrente adiantada em relação à tensão.

Referências http://www.lei.ucl.ac.be/multimedia/eLEE/PO/realisations/CircuitsElectriques/index.htm http://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea513/ea513.html http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/