Semelhança

O Teorema de tales

Teorema de Tales: importante ferramenta na determinação de medidas utilizando a proporcionalidade Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: “Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

No Teorema de Tales utilizaremos: 1 – linhas paralelas ou retas paralelas 2 – linhas transversais ou retas transversais 3 – segmentos de reta. 3 – comprimentos. 4 – razões 5 – proporções A B A//B//C C São exemplos de retas paralelas

Vamos ver as definições c b d Podemos resolver o teorema de Tales de várias maneiras diferentes. Utilizando proporção. Ex: a c b d a b = ou = = Ou ainda b d a c c d

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação: Exemplo 1 Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵′ 𝐵𝐶′ 2x - 3 5 = x + 2 6 6 . (2x – 3) = 5 . (x + 2) 12x - 18 = 5x + 10 12x - 5x = 10 + 18 7x = 28 28 x = 7 x = 4 Após encontrarmos o valor correspondente a x, substituímos este nas expressões dos segmentos, como a seguir: AB = 2x – 3 → 2.4 – 3 = 5 BC = x + 2 → 4 + 2 = 6

Exemplo 2 Determine o valor de x na figura a seguir: 4𝑥+8 4𝑥−8 = 4𝑥+20 4𝑥 multiplicando “cruzado” obtemos: 4x . (4x + 8) = (4x + 20) (4x - 8) . 16x2 + 32x = 16x2 - 32x + 80x - 160 16x2 - 16x2 + 32x + 32x - 80x = - 160 160 x = 64x - 80x = - 160 16 . - 16x = - 160 (-1) x = 10 16x = 160

Questões

1ª Questão RESOLUÇÃO R 8 6 x+5 S x+40 T 8.(x+40)= 6.(x+5)

2ª Questão RESOLUÇÃO 8x= 20.30 8x= 600 x= 600/8 x= 75 x 20 8 30 R S T

RESOLUÇÃO 3ª Questão x 8 10 4 R S T 8x= 4.10 8x= 40 x= 40/8 x= 5

RESOLUÇÃO 4ª Questão x 10 6 3 R S T 3x= 6.10 3x= 60 x= 60/3 x= 20

QUESTÃO 5 Esta planta mostra dois terrenos. As divisas laterais são perpendiculares à rua. Quais as medidas das frentes dos terrenos que dão para a avenida. Sabendo – se que a frente total para essa avenida é de 90 metros? Se a frente total para essa avenida é de 90 metros, sabemos que x + y = 90 metros. 30+45 x+y = 30 x Seguindo o mesmo raciocínio para determinar o valor do y usamos a mesma proporção 75 90 = 45 y

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

II I 8 5 x 6 10 3 5 3 x 3 x 6x 𝐼 𝐼𝐼 = = 24 = = = = 10 6 8 6 8 x = 4 x = 24/6

B A x 8 12 10 16 5 8 5 12 5 12 5x 𝐼 𝐼𝐼 = = 120 = = = = 16 10 x 10 x x = 24 x = 120/5