TEORIA DOS NÚMEROS Aluno: Mauricío George – Princípio da Boa Ordenação Prof. Alexandre Moreira

PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO Vamos a algumas definições para que possamos compreender melhor o conteúdo de nossa aula: Definição: Seja A um conjunto de inteiros. Denominamos elemento mínimo de A um elemento a pertencente a A tal que a é menor ou igual a x, para todo x pertencente a A. Teorema Nr 2.1: Se a é elemento mínimo de A, então este elemento é único. O elemento mínimo de A, se existe, chamamos de menor elemento de A ou primeiro elemento de A.

PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO Exemplo Nr 2.1: O conjunto N = {1,2,3,4,5,...} dos inteiros positivos possui o 1 como elemento mínimo (mín N=1), pois 1 pertence a N e 1 é menor ou igual a n, para qualquer n pertencente a N. Exemplo Nr 2.2: O conjunto tem o elemento mínimo 9 (min A=9), pois 9 pertence a A e 9 é menor ou igual a x, para todo x pertencente a A.

PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO Exemplo Nr 2.3: O conjunto Z- = {0, -1, -2, -3, -4, ...} dos números inteiros não positivos não tem elemento mínimo, já que não existe a pertencente ao conjunto tal que a seja menor ou igual a x, para todo x pertencente a Z- . Exemplo Nr 2.4: O conjunto tem o elemento mínimo 3 (mín J = 3), pois 3 pertence a J (3 divide 9) e

PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA Teorema Nr 2.2: Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaça às seguintes condições: P(1) é verdadeira; Para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k+1) também é verdadeira. Assim, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n.

EXEMPLOS E EXERCÍCIOS Exercício Nr 2.1: Mostre que: P(n): 1+3+5+7+...+(2n-1) = n2, Solução: P(1) é verdadeira, pois 1 = 12. A hipótese de indução é que a proposição: P(k): 1+3+5+...+(2k-1) = k2, k N é verdadeira. Adicionando 2k+1 a ambos os membros da igualdade, obtemos: 1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = k2 + (2k+1) = (k+1)2, o que mostra que P(k+1) é verdadeira.

EXEMPLOS E EXERCÍCIOS Exercício Nr 2.2: Demonstre a proposição abaixo: Solução: P(1) é verdade, pois = Nossa hipótese de indução é: é verdadeira

EXEMPLOS E EXERCÍCIOS Somando a ambos os lados da equação anterior, teremos: Ou seja, significa que a proposição P(k+1) é verdadeira. Assim, P(n) é verdade para todo inteiro positivo n.

P(k): 3|(22k-1), k N é verdadeira. Portanto: EXEMPLOS E EXERCÍCIOS Exercício Nr 2.3: Demonstre que: P(n): 3|(22n-1), Solução: P(1) é verdadeira, pois 3|(22.1-1) A hipótese de indução é que a proposição: P(k): 3|(22k-1), k N é verdadeira. Portanto: 22k-1 = 3q, com q Z; Assim: 22(k+1)-1 = 22.22k -1 = 4. 22k – 1= 4. 22k – 4 + 4 – 1 = = 4(22k – 1) +3 = 4.3q + 3 = 3(4q+1) - Logo, a proposição P(k+1) é verdadeira. Assim, P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n.

EXEMPLOS E EXERCÍCIOS Exercício Nr 2.4: Prove que a seguinte afirmação A(n) é verdadeira para todo n pertencente a Z com n maior ou igual a 1: A(n): A soma dos primeiros n números inteiros positivos é dada por: 1+2+3+4+5+...+n = n.(n-1)/2.

EXEMPLOS E EXERCÍCIOS Solução: P(1) é verdadeira, pois 1(1+1)/2 = 2/2 = 1. A hipótese de indução é que a proposição: P(k): 1+2+3+4+5+...+k = k(k+1)/2, k N é verdadeira. Adicionando k+1 a ambos os membros da igualdade, obtemos: 1+2+3+4+5+...+k +(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = = (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2, o que mostra que P(k+1) é verdadeira, e P(n) é verdadeira para todo n Z com n 1.