Modelagem Matemática na Física Ensino Superior Modelagem Matemática na Física 1.2.2 - Dinâmica Amintas Paiva Afonso

Mecânica – Cinemática - Dinâmica Mecânica - É a ciência que tem como objetivo o estudo dos movimentos. Cinemática - Apenas descreve o movimento, sem investigar suas causas. Dinâmica - Pesquisa e estuda as causas que produzem e modificam os movimentos. Na Dinâmica aparece uma série de conceitos bastante intuitivos em nossa vida tais como: Força e Energia.

Conceito Dinâmico de Força A Força é a CAUSA que tem, como EFEITO DINÂMICO, a aceleração. Se um corpo possui aceleração, existe uma força responsável por esta aceleração. Retirada a FORÇA, no mesmo instante, desaparece a ACELERAÇÃO.

Observações Como a aceleração é uma grandeza vetorial, então a FORÇA também é uma GRANDEZA VETORIAL. F a ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// (causa) (efeito)

Classificação das FORÇAS 1) FORÇAS DE AÇÃO À DISTÂNCIA. São aquelas que atuam sobre os corpos mesmo quando não existe o contato entre eles. As forças de ação à distância atuam numa região do espaço denominada de CAMPO. Ex: a) Força Gravitacional (Peso) força exercida pela Terra sobre um corpo de massa m em proximidades. Características: Módulo: P = m . G Direção: Vertical Sentido: Para baixo b) Força Elétrica (Prótons / Elétrons) c) Força Magnética (Imãs)

Exemplo Força Peso (P) a) p b) p p p p c) P A B D ///////////////////////////////////////////////////// TERRA p p p C c) P /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Forças de Contato São aquelas que só atuam sobre os corpos se existir o contato entre eles. Ex: NORMAL, TRAÇÃO, FORÇA DE ATRITO. FORÇA NORMAL (N): É a força exercida pela superfície em que o corpo está apoiado. Ela atua PERPENDICULAR à superfície em que o corpo se encontra.

Exemplos de Força Normal: a) b) N N N N c) N N

Força de Tração ou Tensão (T) É uma força exercida através de um fio ou de uma corda. Ex: a) b) c) A /////////////////// ///////////////////////////////// B d) T

Princípios da Dinâmica (As leis de Newton) Princípio da Inércia ou 1ª. lei de Newton Um ponto material isolado está em REPOUSO ou em MOVIMENTO RETILÍNEO E UNIFORME. Um corpo, livre da ação de forças, se mantém em equilíbrio, por INÉRCIA. Um ponto material, não pode por si só, mudar sua velocidade vetorial.

Força de Tração e Compressão São forças que atuam em barras Tração (T): Atua no sentido de alongar a barra. Compressão (C): Atua no sentido de diminuir o comprimento da barra. T T T /////////////////////////////////////////////////////////////////// T T ////////////////////////////////////////////////////////////////////

O que é inércia de um corpo? A inércia de um corpo é a propriedade que esse corpo tem de resistir à mudança de sua velocidade. A velocidade de um corpo somente é alterada, quando aplica-se sobre ele uma força. Pode-se então dizer que: Se o corpo estiver em repouso deverá, por inércia, permanecer em repouso. Se o corpo estiver em MRU, deverá, por inércia, manter esse movimento.

Ex: Por que um corpo lançado com velocidade Vo  0, numa superfície plana horizontal, para? Isso ocorre pois, em geral, há duas forças se opondo ao movimento: a força de resistência do ar (Far) e uma força de atrito (Fat) que a superfície exerce no bloco. Se conseguirmos eliminar as duas, o bloco deveria prosseguir com Vo (cte). Sentido do movimento F ar F a t

Ex: Quando você está no interior de um ônibus com V(cte) relativo solo, o que ocorre se o motorista brecar de vez? Resposta: Você tende, por inércia, manter a mesma velocidade V em relação ao solo. Assim você é projetado para frente.

Ex: E se você estiver dentro de um ônibus, onde V = 0 (repouso), em relação ao solo, o que ocorre se ele “arrancar” de vez? Resposta: Você tende, por inércia, manter a mesma velocidade V (repouso) em relação ao solo. Assim você é projetado para trás.

Por que numa curva, você é projetado para um lado do veículo? O auto move-se em linha reta com V constante em relação ao solo. Se ele de repente entra em uma curva, você, por inércia, tende a prosseguir em linha reta com a mesma velocidade V que o auto possuía. O Auto consegue fazer a curva porque a estrada aplica uma força de atrito nas rodas que lhe muda a direção.

Princípio Fundamental da Dinâmica (ou 2ª. Lei de Newton) A RESULTANTE (Fr ou R) das forças que agem sobre um corpo é igual ao produto de sua massa (m) pela aceleração (a) adquirida. Fr = m . a OBS: a) A aceleração adquirida pelo corpo sempre possui a mesma DIREÇÃO e SENTIDO da força resultante. b) A unidade da força no S.I. é N (Newton)

Denominações de movimentos F

O que é 1 Newton? É a unidade da força no sistema MKS (ou S.I.). 1 N é uma força capaz de imprimir a um corpo de massa 1 kg uma aceleração de 1 m / s². a = 1 m / s² F = 1 N M = 1 kg 1 N = 1 kg x 1 m / s²

O que é 1 dina? É a unidade da força no sistema CGS. 1 dina é uma força capaz de imprimir a um corpo de massa 1 g uma aceleração de 1 cm / s². a = 1 cm / s² M = 1 g F = 1 dina 1 dina = 1 g x 1 cm / s²

O que é 1 kilograma – força (k.g.f)? É a unidade do sistema MkgfS. 1 kgf é uma força capaz de imprimir a um corpo de massa 1 kg uma aceleração de 9,8 m / s². É a unidade do sistema MkgfS. 1 kgf é uma força capaz de imprimir a um corpo de massa 1 kg uma aceleração de 9,8 m / s². m = 1 kg a = 9,8 m / s² F = 1 kgf 1 kgf = 1 kg x 9,8 m / s²

Relação entre NEWTON e DINA 1 N = 1 kg x 1 m / s² = 1 000g x 100cm/s² = 100 000 g x cm / s² = 10 5 g x cm / s² = 10 5 dina Logo 1 N = 10 5 dina

Relação entre KILOGRAMA-FORÇA e NEWTON 1 kgf = 1 kg x 9,8 m / s² = 9,8 ( 1 kg x 1 m/ s²) = 9,8 N. Logo: 1 kgf = 9,8 N

Principio da ação e reação Terceira Lei de Newton Principio da ação e reação A toda ação corresponde uma reação, de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto. Sempre que um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este reage exercendo em A uma outra força, de mesma intensidade e direção, mas de sentido contrário.

AÇÃO E REAÇÃO OBS: Ação e Reação são forças que nunca se anulam pois sempre agem em corpos diferentes. Ex: A Terra atrai os corpos com uma força, que é o peso do corpo (ação).Por este princípio, o corpo atrai a Terra com força de mesma intensidade e direção, mas com sentido oposto (reação). Ex: Quando chutamos uma bola, aplicamos uma força (ação) sobre ela que é correspondida com outra força (reação) aplicada sobre nosso pé.

Força de Atrito fat = µe .N Denomina-se atrito a resistência que os corpos em contato oferecem ao movimento. Temos os seguintes casos: Força de atrito estática: N N (Sentido da eminência movimento) F a t F fat = µe .N P µe Coeficiente atrito estático N Reação normal do apoio

Força de atrito dinâmica F a t = µd . N F fat P µd Coeficiente atrito dinâmico N Reação normal do apoio (Sentido do Movimento) OBS: A força de atrito entre dois corpos em contato é tangente à superfície de contato e tem sentido oposto ao do movimento (ou à “tendência” de movimento) relativo entre as superfícies.

Exercícios de sala 01) Um corpo de massa m = 400g está em mov. retilíneo acelerado de módulo a = 6 m/s². Qual o módulo da força resultante que atua no corpo?

Solução: No S.I. a unidade da massa é o kg. Assim: m = 400 g = 0,400 kg e a = 6,0 m/s² Aplicando a 2ª Lei de Newton, temos: F = m.a = (0,400).(6,0)  F = 2,4 N

Para você resolver. 02) Um corpo de massa m = 2 000 g, em M.R. acelerado em que módulo de a = 7,0 m/s². Calcular o módulo da resultante das forças que atuam neste corpo. Resp: 14 N.

03) A resultante das forças que atuam em uma partícula de massa m = 5,0 kg tem intensidade F = 60 N.Qual o módulo da aceleração? Resp: 12 m/s²

04) Uma partícula de massa m = 4,0 em M. R 04) Uma partícula de massa m = 4,0 em M.R.acelerado, sob ação de uma força de módulo F = 24 N, no instante t = 0 a partícula tem espaço so = 15 m e modulo de Vo = 20 m/s (veja fig). Calcule: 15 S(m) (t=0) F Vo m

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

92 Duas forças de módulos F1 = 8 N e F2 = 9 N formam entre si um ângulo de 60º. Sendo cos 60º = 0,5 e sen 60º = 0,87, o módulo da força resultante, em newtons, é, aproximadamente, 8,2 b) 9,4 c) 11,4 d) 14,7 e) 15,6 01 Solução

02 95 (Vunesp-SP) Observando-se o movimento de um carrinho de 0,4 kg ao longo de uma trajetória retilínea, verificou-se que sua velocidade variou linearmente com o tempo de acordo com os dados da tabela. No intervalo de tempo considerado, a intensidade da força resultante que atuou no carrinho foi, em newtons, igual a: a) 0,4 b) 0,8 c)1,0 d) 2,0 e) 5,0 t (S) 1 2 3 4 v(m/s) 10 12 14 16 18

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06 SOLUÇÃO m

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