administração amintas paiva afonso

Unidade 04 JUROS COMPOSTOS Amintas Paiva Afonso

Relembrando o que vimos na unidade 1 INTRODUÇÃO Relembrando o que vimos na unidade 1 Principal PV Coeficiente Montante FV X = Até agora já estudamos a linguagem dos juros simples e do desconto simples. Nesta unidade iremos estudar a linguagem dos juros compostos: Juros Compostos e suas aplicações; Taxas equivalentes.

Relembrando... INTRODUÇÃO Juros Simples: Dado um principal (PV), ele deverá render juros (J) a uma taxa constante (i) por um determinado número de períodos (n), gerando um montante (FV). O juro produzido em determinado momento não rende mais juros. Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS - CONCEITO Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior, ou seja, os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Assim sendo, no transcorrer de cada período, o que era “à priori” Montante relativo a um determinado período, passa a ser o Principal no período seguinte. É o que popularmente chamamos de Juros Sobre Juros

JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS Lembrando a fórmula de juros simples: FV = PV (1 + i * n) Vamos calcular o montante acumulado a cada período (n = 1) no regime de juros compostos S1 = P (1 + i * n) = P (1 + i * 1) S1 = P (1 + i) S2 = S1 (1 + i * n) = P (1 + i) * (1 + i * 1) S2 = P (1 + i)2 S3 = S2 (1 + i * n) = P (1 + i)2 * (1 + i * 1) S3 = P (1 + i)3 S4 = S3 (1 + i * n) = P (1 + i)3 * (1 + i * 1) S4 = P (1 + i)4 Sn = P (1 + i)n

JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS FV = PV * (1+ i)n FÓRMULA DE JUROS COMPOSTOS ATENÇÃO !!! 1 - O período de capitalização deve ser compatibilizado com a taxa. 2 - A taxa é quem define o período da capitalização. Exemplo: 5% ao mês em três meses (=15,76%) é diferente de 15% ao trimestre.

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros compostos de 4% ao mês durante 4 meses. FV = PV * (1 + i )n FV = 25.000 * (1 + 0,04)4 FV = 25.000 * 1,1699 FV = 29 246,46 Resposta: No regime de juros compostos, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.246,46

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros simples de 4% ao mês durante 4 meses. FV = PV (1 + i * n) FV = 25.000 (1 + 0,04 * 4) FV = 25.000 * 1,16 FV = 29 000 Resposta: No regime de juros simples, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.000,00

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS CONCLUSÃO: O mesmo capital rendeu R$ 29.246,46 na capitalização composta e R$ 29.000,00 na capitalização simples. Os juros compostos remuneram MAIS um mesmo principal que os juros simples à mesma taxa, no mesmo período. POR QUÊ?

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS CONCLUSÕES: Taxas de juros baixas e/ou períodos de capitalização curtos não provocam grandes distorções entre juros simples e compostos. Trabalhando com taxas altas e/ou longos períodos mostram grandes diferenças entre os montantes produzidos por juros simples e compostos.

PARA PENSAR Os bancos utilizam taxas de juros simples ou juros compostos nas operações de cheque especial? Por quê?

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 1o Grupo – Dados PV, n, i, achar FV Um capital de R$ 100.000,00 estará aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação. 1,5 anos = 18 meses (taxa e prazo compatibilizados) FV = PV * (1 + i)n FV = 100.000 * (1 + 0,05)18 FV = 100.000 * 2,4066192 FV= 240.661,92 Resposta: O montante é de R$ 240.661,92

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 2o Grupo – Dados FV, n, i, achar PV A partir do montante de R$ 150.000,00, determinar o principal relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e taxa de juros compostos de 5% ao mês. FV = PV * (1 + i )n 150.000 = PV * (1 + 0,05)12 150.000 = PV * 1,7958563 PV = 150.000 / 1,7958563 = 83.525,61 Resposta: O valor do empréstimo foi de R$ 83.525,61

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 3o Grupo – Dados FV, n, PV, achar i Conhecendo o montante R$ 172.000,00, o principal de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal composta relativa ao empréstimo. 1 ano = 12 meses FV = PV * (1 + i )n 172.000 = 100.000 * (1 + i)12 172.000/100.000 = (1 + i)12 1,72 = (1 + i)12 E agora? Como resolver?

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Vamos lembrar da seguinte propriedade: (xa)b = xa.b Então aplicando a propriedade na equação ... 1,72 = (1 + i)12 1,721/12 = [(1 + i)12]1/12 1,721/12 = (1 + i)12 * 1/12 1,721/12 = (1 + i)1 1,0462 = 1 + i i = 1,0462 - 1 => i = 0,0462 Resposta: A taxa de juros do empréstimo é de 4,62% a.m.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 4o Grupo – Dados FV, PV, i, achar n Conhecendo o montante de R$ 368.000,00, o principal de R$ 200.000,00 e a taxa de juros compostos de 7% ao mês, determinar o prazo do empréstimo. FV = PV * (1 + i )n 368.000 = 200.000 * (1 + 0,07)n 368.000 / 200.000 = (1 + 0,07)n 1,84 = (1,07)n E agora? Como resolver?

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Vamos lembrar da seguinte propriedade: Log(x)a = a * Log x Então aplicando a propriedade na equação ... 1,84 = (1,07)n Log (1,84) = Log(1,07)n Log (1,84) = n * Log (1,07) n = Log (1,84) / Log (1,07) n = 0,2648 / 0,0294 n = 9,01 Resposta: O prazo do empréstimo é de 9,01 meses.

Exercícios Práticos do Mercado Financeiro Uma corretora de valores comprou um título de valor de resgate de R$ 148.000,00, prazo de 8 meses e taxa mensal composta de 5,5%. Passados dois meses, vendeu o título para um investidor na taxa composta de 3,8% a.m.. Determinar a taxa alavancada obtida pela corretora. Corretora Investidor 8 meses – 5,5% Valor de venda 2 meses 6 meses 3,8% i Valor de compra 148.000

Exercícios Práticos do Mercado Financeiro 8 meses – 5,5% 2 meses 6 meses 3,8% i 96.436,63 Valor de venda Valor de compra 118.325,29 148.000 Valor de compra FV = PV * (1 + i )n 148.000 = PV *(1 + 0,055)8 148.000 = PV * 1,0558 PV = 148.000 / 1,5347 PV = 96.436,63 Valor de Venda FV = PV * (1 + i )n 148.000 = PV *(1 + 0,038)6 148.000 = PV * 1,0386 PV = 148.000 / 1,2508 PV = 118.325,29

Exercícios Práticos do Mercado Financeiro 6 meses 3,8 % 148.000 2 meses 8 meses – 5,5% 96.436,63 118.325,29 10,77 % Taxa da corretora FV = PV * (1 + i )n 118.325,29 = 96.436,63 * (1 + i)2 118.325,29 / 96.436,63 = (1 + i)2 1,2270 = (1 + i)2 1,22701/2 = (1 + i) i = 1,1077 - 1 = > i = 0,1077 = 10,77% a.m.

Como se Ganha Dinheiro no Mercado Financeiro Uma corretora de valores comprou e vendeu, no mesmo dia, um título de valor de resgate de R$ 148.000 e prazo de 8 meses. Comprou por uma taxa de juros composta de 6,2% ao mês e vendeu por uma taxa composta de 3,5% ao mês. Determinar o lucro obtido nessa negociação. Preço pago na compra FV = PV * ( 1 + i )n 148.000 = PV * (1 + 0,062)8 PV = 148.000/ 1,6181 = 91.467,24 Preço pago na Venda FV = PV * ( 1 + i )n 148.000 = PV * (1 + 0,035)8 PV = 148.000/ 1,3168 = 112.392,91 Lucro = Preço de Venda – Preço de compra Lucro = 112.392,91 – 91.467,24 => Lucro = R$ 20.925,67

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate Aplicação inicial: R$ 100.000,00 Prazo total: 12 meses Taxa composta: 4% ao mês 1º Comprador: 3,3% ao mês em 2 meses 2º Comprador: 3,4% ao mês em 3 meses 3º Comprador: i % ao mês em 5 meses (calcular a taxa) 4º Comprador: 3,2% ao mês em 2 meses 12 meses – 4% 3,30% 2 meses 3 meses 3,40% 5 meses i % 2 meses 3,20% Valores de revenda 100.000 Valor de resgate

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 100.000 3,30% Valor de resgate 2 meses 5 meses i % 12 meses – 4% 3 meses 3,40% 3,20% 160.103,22 Valor de resgate FV = PV * (1 + i )n FV = 100.000 * (1 + 0,04)12 FV = 100.000 * 1,0412 FV = 100.000 * 1,601032 FV = 160.103,22

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 100.000 3,30% 160.103,22 2 meses 5 meses i % 12 meses – 4% 3 meses 3,40% 3,20% 106.708,90 117.967,47 1o Comprador FV = PV * (1 + i )n FV = 100.000 * (1 + 0,033)2 FV = 100.000 * 1,0332 FV = 100.000 * 1,067089 FV = 106.708,90 2o Comprador FV = PV * (1 + i )n FV = 106.708,90 * (1 + 0,034)3 FV = 106.708,90 * 1,0343 FV = 106.708,90 * 1,105507 FV = 117.967,47

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 100.000 3,30 % 160.103,22 2 meses 5 meses i % 12 meses – 4 % 3 meses 3,40 % 3,20 % i = 4,97% 106.708,90 117.967,47 150.328,27 4o Comprador FV = PV * (1 + i )n 160.103,22 = PV * (1+ 0,032)2 160.103,22 = PV * 1,0322 PV = 160.103,22 / 1,0650 PV = 150.328,27 3o Comprador - taxa FV = PV * (1 + i )n 150.328,27 = 117.967,47 * (1+ i )5 1,2743 = (1 + i)5 1,27431/5 = (1 + i) i = 1,0497 - 1 i = 0,0497 = 4,97%

www.matematiques.com.br amintas paiva afonso